李海燕
摘 要:函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。主要以技工院校的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱為依據(jù),分別對(duì)函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的判別方法及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用四方面進(jìn)行探討。
關(guān)鍵詞:奇函數(shù);偶函數(shù);函數(shù)的奇偶性
函數(shù)是技工院校公共基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一,而函數(shù)的奇偶性則是函數(shù)的一大特性。學(xué)好函數(shù)的奇偶性,可用它簡化作圖,而且在后續(xù)學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中也有廣泛應(yīng)用。因此,筆者認(rèn)為有必要對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行探討。
二、關(guān)于函數(shù)奇偶性的性質(zhì)問題
根據(jù)函數(shù)奇偶性定義,可總結(jié)函數(shù)奇偶性幾個(gè)重要性質(zhì)。①對(duì)稱性。奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域沒有限定是什么,它可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,也可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的離散的點(diǎn)集。②整體性:函數(shù)的奇偶性是整體性質(zhì),對(duì)定義域內(nèi)任一個(gè)x都必須成立。僅在定義域內(nèi)的一個(gè)真子集中討論函數(shù)的奇偶性是沒有意義的。③可逆性:f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù),f(-x)= f(x)?f(x)是偶函數(shù) 函數(shù)是技工院校公共基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)》的核心內(nèi)容之一,而函數(shù)的奇偶性則是函數(shù)的一大特性。學(xué)好函數(shù)的奇偶性,可用它簡化作圖,而且在后續(xù)學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》中也有廣泛應(yīng)用。因此,筆者認(rèn)為有必要對(duì)此性質(zhì)進(jìn)行探討。
一、關(guān)于函數(shù)奇偶性的定義問題
(1)如何定義函數(shù)奇偶性。①一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)在定義域M內(nèi)的任一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫偶函數(shù)。②一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)在定義域M內(nèi)的任一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)叫奇函數(shù)。
(2)學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的定義應(yīng)注意如下幾點(diǎn)。①x∈M,且為任意實(shí)數(shù),而不是某一個(gè)。不少同學(xué)常用具體某一個(gè)數(shù)代入計(jì)算來判斷函數(shù)奇偶性,這是對(duì)函數(shù)奇偶性定義的片面理解造成的。②-x必須在定義域M內(nèi)。③f(-x)與f(x)有且只有兩種情況:相反或相等。
二、關(guān)于函數(shù)奇偶性的性質(zhì)問題
根據(jù)函數(shù)奇偶性定義,可總結(jié)函數(shù)奇偶性幾個(gè)重要性質(zhì)。①對(duì)稱性。奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。定義域沒有限定是什么,它可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,也可以是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的離散的點(diǎn)集。②整體性:函數(shù)的奇偶性是整體性質(zhì),對(duì)定義域內(nèi)任一個(gè)x都必須成立。僅在定義域內(nèi)的一個(gè)真子集中討論函數(shù)的奇偶性是沒有意義的。③可逆性:f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函數(shù),f(-x)= f(x)?f(x)是偶函數(shù)。④等價(jià)性:f(-x)=-f(x)?f(-x)+ f(x)=0, f(-x)=f(x)?f(-x)- f(x)=0. ⑤圖像的對(duì)稱性:1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。但如果反過來說還成立嗎?3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像是奇函數(shù)。4)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像是偶函數(shù)。顯然,這樣的說法是錯(cuò)誤的,例如以原點(diǎn)為圓心的單位圓x2+y2=1,它的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱也關(guān)于y軸對(duì)稱,而它的圖像卻是由兩個(gè)偶函數(shù)的圖像拼接而成,可見x2+y2=1并不具有奇偶性。然而,這樣的兩個(gè)結(jié)論也是正確的:5)如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。6)如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。因?yàn)檫@兩點(diǎn)說明了所論的曲線為某函數(shù)的圖像,由函數(shù)定義知道,它與平行y軸的直線只有一個(gè)公共點(diǎn),即有唯一的值。
三、關(guān)于函數(shù)奇偶性的判別方法問題
如何判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性?其實(shí),函數(shù)奇偶性的判別方法有很多種,下面筆者將以定義判定法為例進(jìn)行分析。判斷函數(shù)的奇偶性有兩個(gè)重要的步驟:①先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),再驗(yàn)證f(-x)=-f(x)或f(-x)= f(x)對(duì)于定義域中的任意x是否成立。兩個(gè)步驟中,第一步最重要,如果不能滿足第一條件,即使第二條件成立也不能判斷函數(shù)的奇偶性。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,很多學(xué)生只利用第二步來判斷函數(shù)的奇偶性,這是錯(cuò)誤的做法。根據(jù)上述步驟,我們可以把函數(shù)按奇偶性分為:奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)四種類型。
總之,函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的過程中,應(yīng)深刻理解函數(shù)奇偶性的概念,靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的判斷方法,在應(yīng)用上才能得心應(yīng)手,運(yùn)用自如。
參考文獻(xiàn):
[1]張淼.函數(shù)奇偶性的判定方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2012(9).
[2]王賽.函數(shù)奇偶性的判定及其應(yīng)用[J].教育界,2013(27).
(廣東湛江市技師學(xué)院)
總之,函數(shù)奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的過程中,應(yīng)深刻理解函數(shù)奇偶性的概念,靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的判斷方法,在應(yīng)用上才能得心應(yīng)手,運(yùn)用自如。
參考文獻(xiàn):
[1]張淼.函數(shù)奇偶性的判定方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2012(9).
[2]王賽.函數(shù)奇偶性的判定及其應(yīng)用[J].教育界,2013(27).
(廣東湛江市技師學(xué)院)