張素平

摘 要： 本文根據(jù)常微分方程課程的特點(diǎn)，結(jié)合安徽建筑大學(xué)常微分方程課程教學(xué)的現(xiàn)狀，從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的應(yīng)用能力與創(chuàng)新能力的角度出發(fā)，提出在常微分方程教學(xué)中，重視緒論課，分層教學(xué)，在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模思想，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容等四方面內(nèi)容。

關(guān)鍵詞： 常微分方程 數(shù)學(xué)建模 教學(xué)方法 學(xué)習(xí)興趣

常微分方程是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是學(xué)習(xí)泛函微分方程，隨機(jī)微分方程、偏微分方程等的基礎(chǔ)課，在自然科學(xué)和工程技術(shù)研究中，許多現(xiàn)象都用微分方程作為其數(shù)學(xué)模型。常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具。它在幾何、力學(xué)、物理、化學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。在大量的實(shí)際問(wèn)題中遇到的一些較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，變量之間的函數(shù)關(guān)系不能直接寫(xiě)出來(lái)，而比較容易建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系式，這種關(guān)系式就是微分方程。在微分方程中，如果自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，就是常微分方程。我們通過(guò)求解微分方程就可以得到變量之間的函數(shù)關(guān)系式。學(xué)習(xí)常微分方程的重點(diǎn)是掌握常微分方程的一些基本理論和各種類型方程的求解方法，那么怎么才能讓學(xué)生較好地掌握這些理論和求解方法呢？這是廣大高校常微分方程教學(xué)工作者不得不思考的問(wèn)題。

目前，高校很多課程都面臨縮減學(xué)時(shí)的問(wèn)題，在安徽建筑大學(xué)常微分方程這門課只有40學(xué)時(shí)，而教學(xué)實(shí)踐表明，要用40學(xué)時(shí)把這門課上完時(shí)間是相當(dāng)緊張的。如果按照常規(guī)的方法教學(xué)，則穩(wěn)定性這部分內(nèi)容都來(lái)不及講，而這部分內(nèi)容是我們學(xué)習(xí)后繼課程比較重要的一部分內(nèi)容。怎樣用較少的授課時(shí)間獲得較高的教學(xué)質(zhì)量？在廣大教師研究成果的基礎(chǔ)上，我結(jié)合在常微分方程教學(xué)過(guò)程中的感受和體會(huì)，對(duì)于如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量提出看法和見(jiàn)解。

我認(rèn)為教學(xué)效果不理想，不能簡(jiǎn)單地歸因于學(xué)生，我自己常常在想一個(gè)問(wèn)題：能考上安徽建筑大學(xué)的學(xué)生基礎(chǔ)應(yīng)該不會(huì)太差，為什么有的學(xué)生有些課學(xué)不會(huì)呢？所以還要從老師自身找原因。著名教育家陳鶴琴先生曾說(shuō)：“沒(méi)有教不好的學(xué)生，只有不會(huì)教的老師?！蔽艺J(rèn)為這句話很有道理。

1.高校常微分方程教學(xué)中存在的問(wèn)題

（1）學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性不高。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“興趣是最好的老師?！边@句話自從我有了自己的孩子后感受就更深刻。每個(gè)孩子都是不同的，因此他們的興趣也不盡相同，通過(guò)對(duì)孩子觀察，我發(fā)現(xiàn)只要是他感興趣的事情，他都做得很好。所以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣非常重要。目前，高校學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性不高似乎是一種普遍現(xiàn)象，具體表現(xiàn)在平時(shí)很少有學(xué)生提問(wèn)題，有的學(xué)生不做作業(yè)，多數(shù)學(xué)生只做老師布置的作業(yè)，甚至出現(xiàn)抄襲的現(xiàn)象。對(duì)老師講的知識(shí)自己不多練習(xí)、多思考，很難做到舉一反三，融會(huì)貫通。出現(xiàn)這種現(xiàn)象，我認(rèn)為原因是多方面的，比如，很多大學(xué)生進(jìn)入高校感覺(jué)很迷茫，失去了努力的方向，不知道為什么學(xué)習(xí)。另外，現(xiàn)在大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)壓力很大，而我們所教的一些課程，尤其是一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，短時(shí)間內(nèi)看不出它有什么用，有些學(xué)生認(rèn)為學(xué)得好不一定能找到好工作。當(dāng)然這與教師的課堂教學(xué)引導(dǎo)也有很大關(guān)系。

（2）教師教學(xué)方法不當(dāng)?，F(xiàn)在多數(shù)老師還是采取教師傳授為主的教學(xué)模式，學(xué)生只管聽(tīng)，被動(dòng)地接受知識(shí)。不管面對(duì)什么樣的班級(jí)，什么樣的專業(yè)，采取的都是千篇一律的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，這樣很難取得好的教學(xué)效果。我認(rèn)為針對(duì)不同的學(xué)生，應(yīng)該采取不同的教學(xué)方法，最好把我們所教的課程與他們的專業(yè)緊密聯(lián)系起來(lái)。

（3）教學(xué)內(nèi)容的處理不合理。老師要想把一門課教好，首先要對(duì)該課程了如指掌；其次，對(duì)教材的處理很重要。怎樣在規(guī)定的課時(shí)內(nèi)把本門課的內(nèi)容較好地呈現(xiàn)給學(xué)生，是每一位教師都應(yīng)該深思的問(wèn)題?，F(xiàn)在由于學(xué)時(shí)減少了，如果不對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)處理，就根本無(wú)法達(dá)到大綱要求。

2.如何在常微分方程教學(xué)中解決問(wèn)題

下面我結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐及安徽建筑大學(xué)常微分方程課程教學(xué)的現(xiàn)狀，從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣出發(fā)，提出解決教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題的措施。

（1）重視緒論課。好的開(kāi)始是成功的一半。緒論課是一門課的開(kāi)始，怎樣通過(guò)緒論課激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常方程的興趣是相當(dāng)重要的。常微分方程是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，按照課程的要求，我們要把注意力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面，這是本課程的重點(diǎn)，也是我們解決實(shí)際問(wèn)題的必要工具。但考慮到常微分方程是一門與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)課程，我們自然應(yīng)該注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用。

我認(rèn)為在常微分方程教學(xué)中緒論課是必不可少的。首先，緒論介紹了常微分方程的一些實(shí)際背景和方程的建立問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)習(xí)常微分方程這門課背景與意義，它對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)效果都有著重大影響。其次，緒論里介紹了本課程的研究對(duì)象，學(xué)習(xí)重點(diǎn)，給學(xué)生一個(gè)整體的印象。另外，緒論里通過(guò)具體的例子講述了常微分方程的一些基本概念。這肯定比單純的講那些概念效果要好得多。

我校對(duì)數(shù)學(xué)建模比較重視，也取得了較好的成績(jī)。許多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型恰好是微分方程，解決這些實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為常微分方程的求解問(wèn)題。為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣，教師在講授緒論課的過(guò)程中，多介紹一些微分方程的來(lái)源，如：人口增長(zhǎng)模型、環(huán)境污染問(wèn)題、遺傳學(xué)模型及傳染病模型等，讓學(xué)生知道微分方程的用途，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

（2）優(yōu)化常微分方程的教學(xué)內(nèi)容。教師上課絕不是一字不差甚至連一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)都不錯(cuò)的寫(xiě)在黑板上，如果能做到這樣，就只能說(shuō)明這位老師的記憶力很好，不能說(shuō)明他教得好，當(dāng)然也不一定有好的教學(xué)效果。教師不僅要對(duì)教學(xué)內(nèi)容很熟悉，當(dāng)然這是最基本的要求，最重要的是要根據(jù)常微分方程知識(shí)體系的要求合理分配教學(xué)時(shí)間，詳略得當(dāng)?shù)匕呀虒W(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，充分發(fā)揮教為主導(dǎo)、學(xué)為主體的作用，使學(xué)生的身心得到最大限度的發(fā)展。教師準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容要盡量精辟、簡(jiǎn)練。endprint

由于課時(shí)減少，如果教師不恰當(dāng)?shù)貙?duì)教材內(nèi)容進(jìn)行處理，就很難把大綱要求的內(nèi)容講完，因此教師可以根據(jù)教材內(nèi)容，兼顧不同層次的學(xué)生，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分塊。我認(rèn)為可以分為四個(gè)模塊。第一個(gè)模塊，主要講緒論，把微分方程的基本概念，微分方程的來(lái)源和應(yīng)用講清楚；第二個(gè)模塊，主要包括一階微分方程的初等解法、高階微分方程解的結(jié)構(gòu)與解法和線性微分方程組的一般理論，通過(guò)這一模塊的講解，讓學(xué)生掌握一階微分方程的常見(jiàn)類型與解法，知道高階微分方程可以通過(guò)變換化為線性微分方程組，這樣高階微分方程的許多定理和公式和線性微分方程組的相應(yīng)定理和結(jié)論只要講一個(gè)即可；第三個(gè)模塊，主要講解一階微分方程的解的存在定理和線性微分方程組的存在定理；把拉普拉斯變換求解方程和方程組，非線性方程和穩(wěn)定性理論及需要補(bǔ)充的知識(shí)放在第四模塊。

（3）分層教學(xué)。由于個(gè)體差異及每個(gè)學(xué)生的基礎(chǔ)、興趣愛(ài)好及將來(lái)想從事的職業(yè)不同，我認(rèn)為采取一刀切的教學(xué)方式是不妥當(dāng)?shù)摹０凑找坏肚械慕虒W(xué)模式，一個(gè)學(xué)生的某門課考不過(guò)并不能代表這個(gè)學(xué)生就是“差生”，而現(xiàn)在多數(shù)大學(xué)生恰恰就因?yàn)槟骋婚T或兩門課沒(méi)考過(guò)拿不到學(xué)位。我認(rèn)為在此政策下，老師可以采取靈活的教學(xué)方法，分層教學(xué)法不失為一種可行的方法。文獻(xiàn)中作者通過(guò)具體實(shí)踐說(shuō)明了這一點(diǎn)。根據(jù)對(duì)常微分方程教學(xué)內(nèi)容的分塊，我們可以把全班學(xué)生分層三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)和考核，把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱，以后從事的工作與常微分方程關(guān)系不大的作為第一層次。對(duì)于這一層次的學(xué)生，我們著重考察他們對(duì)第二模塊知識(shí)的掌握；把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，但對(duì)常微分方程感興趣的同學(xué)作為第二層次，對(duì)于他們可以考察對(duì)第二模塊、第三模塊知識(shí)的掌握情況，著重培養(yǎng)他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力；最后，把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，對(duì)常微分方程有濃厚興趣，以后可能從事這方面問(wèn)題的研究的學(xué)生視為第三層次。對(duì)于這一類學(xué)生，除了要求他們掌握大綱要求的基本內(nèi)容外，老師還可以引導(dǎo)他們看一些微分方程的其他書(shū)籍，讓他們了解有關(guān)微分方程的前沿問(wèn)題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

（4）在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想。一些學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，就是因?yàn)樗麄兛床坏剿鶎W(xué)課程的用途。在常微分方程的教學(xué)中，如果老師只是按照大綱要求把基本知識(shí)點(diǎn)講完，學(xué)生未必能掌握。實(shí)際上常微分方程是和實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系緊密的一門數(shù)學(xué)課程，我們可以把這些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋。這樣不僅能讓學(xué)生掌握常微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)，而且有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更利于提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和科研能力，綜合素質(zhì)大大提高，因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程課程教學(xué)中能收到事半功倍的效果。

在常微分方程教學(xué)中融入的每一個(gè)數(shù)學(xué)模型都應(yīng)反映出常微分方程知識(shí)的本質(zhì)，通過(guò)講解這些模型讓學(xué)生對(duì)常微分方程的知識(shí)點(diǎn)有充分的認(rèn)識(shí)和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)常微分方程的興趣。考慮到學(xué)生的心理特征和認(rèn)知水平，模型的選取應(yīng)具有時(shí)代性、實(shí)際性和適用性。例如，在講常微分方程通解和特解的基本概念時(shí)，可以介紹物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)擺模型等，從而使學(xué)生自然地理解常微分方程定解問(wèn)題的概念；在講解一階微分方程的初等解法時(shí)，可以介紹R-C電路模型，放射性廢物處理問(wèn)題等；在講一階微分方程解的存在定理時(shí)，可以介紹人口的發(fā)展預(yù)測(cè)模型；在講高階微分方程時(shí)，可以引入懸鏈線問(wèn)題，質(zhì)點(diǎn)擺動(dòng)模型；在講線性微分方程組時(shí)，可以介紹藥物在體內(nèi)的分布與排除模型，一般戰(zhàn)爭(zhēng)模型等；在介紹常微分方程定性和穩(wěn)定性理論時(shí)，可以分析捕食—被捕食模型。這樣通過(guò)與實(shí)際的例子結(jié)合起來(lái)，不但能使學(xué)生很容易理解書(shū)中的基本知識(shí)，還能使他們了解學(xué)習(xí)微分方程的意義，這樣會(huì)大大調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。所以我認(rèn)為在常微分方程教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)建模的思想很重要。

3.結(jié)語(yǔ)

以上是我在廣大教師研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己在常微分方程教學(xué)過(guò)程中的感受和體會(huì)，對(duì)于如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量提出的看法和見(jiàn)解。究竟如何提高常微分方程的教學(xué)質(zhì)量，我認(rèn)為沒(méi)有一個(gè)固定的模式，它涉及很多方面，如教學(xué)條件、學(xué)生的實(shí)際情況及對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)要求等，具體如何取得令人滿意的教學(xué)效果，我認(rèn)為每個(gè)教師可以根據(jù)實(shí)際情況摸索出適合自己的教學(xué)方法。

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