鄭繼周，張 艷，賀國(guó)華，侯加林

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,山東 泰安 271018；2.山東省園藝機(jī)械與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 泰安 271018；3.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院,山東 泰安 271018)

作為一種智能材料,壓電陶瓷已應(yīng)用于很多場(chǎng)合,如微定位、精密加工、結(jié)構(gòu)故障診斷、振動(dòng)主動(dòng)控制等。這主要?dú)w功于其良好的動(dòng)力學(xué)特性及其它特點(diǎn),如結(jié)構(gòu)緊湊、易于集成、無需維護(hù)以及較長(zhǎng)的使用壽命等。

由于壓電效應(yīng),壓電片與主體結(jié)構(gòu)結(jié)合后,二者之間呈現(xiàn)出明顯的機(jī)電耦合特性。針對(duì)這種特性,已有很多學(xué)者進(jìn)行研究,并提出了很多數(shù)學(xué)模型,主要有靜態(tài)等效力模型[1]、有限元模型[2]和阻抗模型[3～5]等。與靜態(tài)法或者有限元法相比,基于阻抗的建模方法更適合于機(jī)電耦合系統(tǒng)建模,更能反映系統(tǒng)的物理本質(zhì)。這是因?yàn)?對(duì)于壓電驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu),作動(dòng)器產(chǎn)生的力依賴于壓電元件和主體結(jié)構(gòu)的阻抗特性。

壓電疊層作動(dòng)器具有出力大、響應(yīng)快、低電壓、作動(dòng)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),適合于柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制。Flint等[6]應(yīng)用阻抗法和轉(zhuǎn)換方程法研究了壓電疊層作動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)特性。通過假設(shè)作動(dòng)器外殼的阻抗遠(yuǎn)大于壓電片和預(yù)緊彈簧的阻抗,從而得到固定-自由邊界條件。李俊寶等[7]利用力學(xué)等效原理建立了壓電主動(dòng)構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)模型。鄭凱等[8]實(shí)驗(yàn)研究了預(yù)緊力對(duì)壓電疊層作動(dòng)器性能的影響。Wang 等[9]設(shè)計(jì)了一種π型壓電疊層作動(dòng)器,并應(yīng)用熱-彈類比理論對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行建模。靳宏等[10]用阻抗測(cè)試法分析了壓電疊層作動(dòng)器的動(dòng)態(tài)特性。

受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā),本文考慮了更具一般性的情況。在工程實(shí)際應(yīng)用中,壓電疊層作動(dòng)器往往用于梁、板以及桁架等柔性結(jié)構(gòu)中。在這種情況下,作動(dòng)器兩端的外部阻抗均為有限值。因此,采用兩端自由的桿來模擬壓電疊層作動(dòng)器更符合實(shí)際情況。以壓電材料的本構(gòu)關(guān)系和一維桿模型為基礎(chǔ),推導(dǎo)了短路機(jī)械阻抗矩陣(包括原點(diǎn)阻抗和跨點(diǎn)阻抗)、電導(dǎo)納以及壓電疊層作動(dòng)器兩端的轉(zhuǎn)換系數(shù)。利用這些參數(shù),構(gòu)造了矩陣形式的轉(zhuǎn)換方程,并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了模型的合理性。

1 壓電疊層作動(dòng)器阻抗模型

1.1 作動(dòng)器描述

圖1為壓電疊層作動(dòng)器的結(jié)構(gòu)示意圖。作動(dòng)器由很多壓電片逐層疊放而成。各壓電片用粘性材料粘接在一起,兩片之間依次焊接有正負(fù)電極。這樣,各壓電片電壓相同,而作動(dòng)器的位移是每片壓電片的位移之和。

為敘述方便,建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系。作動(dòng)器的兩端分別處于z=0和z=tn位置。其中,t為壓電片的厚度(假設(shè)厚度一致),n為壓電片的層數(shù)。

圖1 壓電疊層作動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 作動(dòng)器與外部結(jié)構(gòu)的阻抗示意圖

1.2 短路機(jī)械阻抗

短路機(jī)械阻抗是壓電疊層作動(dòng)器的機(jī)械屬性,這是因?yàn)樵诙搪窏l件下電壓為零。這時(shí)作動(dòng)器可以作為一個(gè)純機(jī)械系統(tǒng)來處理。對(duì)于大多數(shù)的壓電疊層作動(dòng)器,只能承受軸向載荷。因此,本文只關(guān)注沿z方向的振動(dòng)。粘接層和電極層的影響可通過改變壓電材料的彈性模量來體現(xiàn),因此不予考慮?；谶@些假設(shè),作動(dòng)器可以看成一根均質(zhì)連續(xù)的等截面直桿。

桿的縱向振動(dòng)方程

(1)

其中:w為任意一點(diǎn)沿z方向的位移,c為波速:

(2)

分離變量,運(yùn)動(dòng)方程的解可表示成如下形式

w=(Asinλz+Bcosλz)ejωt

(3)

在文獻(xiàn)[6]中,通過假設(shè)剛性殼體而得到固定-自由邊界條件,從而B=0。然而,殼體往往由金屬片制成,厚度有限,其阻抗不可能為無窮大。同時(shí),壓電疊層作動(dòng)器通常會(huì)通過鉸鏈或者萬(wàn)向節(jié)之類的隔離裝置與主體結(jié)構(gòu)相連,以免在壓電片中產(chǎn)生彎矩而使其破碎。這些裝置一般體量不大,其阻抗也是有限值?？紤]到這些實(shí)際情況,采用兩端自由邊界條件。

根據(jù)機(jī)械阻抗的定義,作動(dòng)器兩端的軸向力與相應(yīng)的速度可用下式描述

(4)

其中:負(fù)號(hào)表示正的位移(或者速度)產(chǎn)生壓縮力。

假設(shè)壓電片內(nèi)的應(yīng)力均勻分布,則有:

(5)

其中:Tz、F分別為某個(gè)壓電片沿z方向的應(yīng)力和力,Ap為壓電片的橫截面面積。

壓電材料的本構(gòu)方程為[11]

(6)

(7)

根據(jù)彈性體的本構(gòu)關(guān)系,應(yīng)變也可寫成如下形式:

(8)

從方程(3)～(6)、(8)可解出未知量A和B

(9a)

(9b)

其中:Z11，Z12,Z22為作動(dòng)器的機(jī)械阻抗

(10a)

(10b)

(10c)

其中:Z11，Z12分別為兩端自由條件下的原點(diǎn)阻抗和跨點(diǎn)阻抗；Z22為固定-自由條件下的原點(diǎn)阻抗。

從而得到壓電疊層作動(dòng)器的短路機(jī)械阻抗矩陣[12]

(11)

顯然,在利用該式計(jì)算軸向力或者速度時(shí),需要同時(shí)考慮原點(diǎn)阻抗和跨點(diǎn)阻抗。

式(9)既包括了作動(dòng)器的阻抗又包括了外部阻抗,而且外部阻抗的值可以是有限值,也可以是無窮大,因此是一個(gè)通用表達(dá)式。未知量A和B與外部阻抗的取值密切相關(guān),下面討論一些特殊情況。

工況1：作動(dòng)器一端置于剛性地基上,另一端與柔性結(jié)構(gòu)相連。在這種情況下,剛性基礎(chǔ)的阻抗為無窮大而柔性結(jié)構(gòu)的阻抗為有限值。對(duì)于作動(dòng)器,這實(shí)際上對(duì)應(yīng)于固定-自由邊界條件。不妨假設(shè)Ze1=∞,代入式(9)可得

這正是文獻(xiàn)[6]給出的結(jié)果。在這種情況下,短路機(jī)械阻抗矩陣將退化成一個(gè)標(biāo)量,即Z=Z22。

工況2：作動(dòng)器未連接到任何結(jié)構(gòu),即Ze1=Ze2=0。顯然,這是理想的自由-自由邊界條件。此時(shí)有

工況3：作動(dòng)器兩端均連接到一個(gè)剛性結(jié)構(gòu)上。在這種兩端固定條件下,作動(dòng)器不會(huì)有任何位移,即w≡0。因此,A=B=0。

可以看出,對(duì)于后面兩種情況,A、B中均未出現(xiàn)作動(dòng)器的機(jī)械阻抗,這是因?yàn)椴淮嬖诹蛘咚俣取?/p>

1.3 電阻抗

在壓電疊層作動(dòng)器中,壓電片逐層疊放,總位移是每片位移之和,即各壓電片為串聯(lián)關(guān)系。因此,推導(dǎo)機(jī)械阻抗時(shí)把作動(dòng)器作為一根桿來處理。然而,施加于每片壓電片的電壓相同,即電學(xué)屬性為并聯(lián),因此需要分別處理?；诖丝紤],把式(7)寫成如下形式

(12)

式(6)對(duì)任意一片壓電片均成立。整理得

(13)

由式(3)、(8)可得第k層壓電片的平均應(yīng)變

(14)

把式(14)代入式(13),再把結(jié)果代入式(12),有

(15)

利用下面的數(shù)學(xué)公式(式(16)),上式可簡(jiǎn)化為

(16a)

(16b)

(17)

一般情況下,流經(jīng)壓電片的電流密度只取決于壓電片沿z方向的位置,而與坐標(biāo)x、y無關(guān)。因此,流經(jīng)壓電片的電流(電流密度在壓電片表面的積分)為

(18)

把式(9)代入式(17)和(18),可得作動(dòng)器的電導(dǎo)納,即電流與所施加電壓之比

(19)

此式也是一個(gè)通用表達(dá)式,同時(shí)包含了作動(dòng)器和外部結(jié)構(gòu)的阻抗。根據(jù)外部阻抗的取值,對(duì)三種特殊情況進(jìn)行類似的討論。

工況1：Ze1=∞,Ze2為有限值。電導(dǎo)納為

(20a)

與文獻(xiàn)[6]在固定-自由條件下得到的表達(dá)式完全相同。

工況2：Ze1=Ze2=0。這種情況下得到的為自由電導(dǎo)納

工況3：作動(dòng)器兩端固定,即外部結(jié)構(gòu)的阻抗為無窮大?？梢缘玫姐Q制電導(dǎo)納

(20c)

如果只考慮一片壓電片,即n=1,則式(20)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。為便于比較,引入兩個(gè)常用的定義式

其中:C為壓電片的電容,k33為壓電片的機(jī)電耦合系數(shù)。

利用這兩個(gè)定義,式(20)可以寫成

(21a)

(21b)

(21c)

這三個(gè)表達(dá)式均與壓電理論基本公式[11]一致。而且,當(dāng)ω→0時(shí),tanλt/λt→1,式(21a)可簡(jiǎn)化成

這恰好就是準(zhǔn)靜態(tài)條件下壓電片的電導(dǎo)納,Liang等[3]，Giurgiutiu等[13]都描述或利用過這一公式。因此,式(19)可以看作是這些結(jié)果的通用表示。通過改變其中的參數(shù)可以揭示一些重要的現(xiàn)象或者事實(shí)。

根據(jù)阻抗的定義,即導(dǎo)納的逆或者倒數(shù),可以得到壓電疊層作動(dòng)器的電阻抗

(22)

1.4 轉(zhuǎn)換系數(shù)

把式(9)代入式(3),并利用關(guān)系式E=U/t,可得

(23a)

(23b)

其中:φ1、φ2分別為作動(dòng)器兩端的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

一般情況下,作動(dòng)器兩端的速度均不為零,因此這兩個(gè)轉(zhuǎn)換系數(shù)都存在。這樣,我們可以得到向量形式的轉(zhuǎn)換系數(shù):

(24)

式(23)也包含外部阻抗。同樣討論三種特殊情況。

工況1：Ze1=∞,Ze2為有限值。有

該式說明,在作動(dòng)器的固定端,由于端面固定,即使有電壓輸入,位移和速度也為零。因此轉(zhuǎn)換系數(shù)為零。同樣地,在文獻(xiàn)[6]中也給出了相同的結(jié)果。

工況2：Ze1=Ze2=0。對(duì)于這種情況,有

實(shí)際上,兩個(gè)外部阻抗不管取何值(零或者非零),只要滿足Ze1=Ze2,就可以得到φ2=-φ1的結(jié)論。根據(jù)前面的敘述可知,壓電疊層作動(dòng)器在z方向是對(duì)稱的,如果外部阻抗相等,那么兩端的約束條件也是對(duì)稱的。這樣,作動(dòng)器在電場(chǎng)作用下的變形也是對(duì)稱的,即兩端的速度等值反向。所以φ2=-φ1。

工況3：作動(dòng)器兩端固定。這時(shí)作動(dòng)器兩端的位移和速度均為零,因此轉(zhuǎn)換系數(shù)也為零。

1.5 轉(zhuǎn)換方程

如前所述,壓電元件與主體結(jié)構(gòu)之間由于壓電效應(yīng)而相互耦合。在研究機(jī)電耦合特性方面,轉(zhuǎn)換方程是比較有效的。轉(zhuǎn)換方程有多種表達(dá)形式,下面的互易形式是最方便的[11]

(25)

(26)

機(jī)械阻抗、電阻抗以及轉(zhuǎn)換系數(shù)的表達(dá)式在前面各節(jié)中已經(jīng)給出。剩下的四個(gè)變量中,如果已經(jīng)知道兩個(gè),比如已知力和電壓,則通過這兩個(gè)方程可求出另外兩個(gè)變量。應(yīng)該指出,力和速度一般情況下是包含兩個(gè)元素的向量,因此式(25)實(shí)際上是矩陣方程。

值得一提的是,前面所有的推導(dǎo)都是針對(duì)壓電疊層作動(dòng)器本身的。封裝壓電片所用的殼體、預(yù)緊彈簧、輸出桿以及被控結(jié)構(gòu)等外部結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響都包含在外部阻抗中。對(duì)于一個(gè)具體的作動(dòng)器,可以根據(jù)這些結(jié)構(gòu)的連接形式,利用下述公式得到外部阻抗

其中:Z為總阻抗,Zi為每個(gè)子結(jié)構(gòu)的阻抗。這兩個(gè)公式分別用于并聯(lián)和串聯(lián)。

2 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證模型的正確性,并研究外部阻抗對(duì)這些參數(shù)的影響,以上述公式為基礎(chǔ),進(jìn)行了數(shù)值模擬。為便于比較,選用文獻(xiàn)[6]中使用的材料屬性,列于表1中。

表1 壓電作動(dòng)器材料屬性[6]

圖3所示為壓電疊層作動(dòng)器的機(jī)械阻抗隨頻率的變化曲線?？梢钥闯?隨著頻率的增加,不同邊界條件下的原點(diǎn)阻抗表現(xiàn)出不同的變化規(guī)律。兩條曲線關(guān)于某條水平線對(duì)稱。在某一頻率上,一個(gè)(兩端自由情況)處于反共振狀態(tài),而另一個(gè)(固定-自由情況)則處于共振狀態(tài)。這一點(diǎn)亦可從式(10)得出,即當(dāng)Z11=0時(shí)，Z22→∞,反之亦然。至于兩端自由條件下的跨點(diǎn)阻抗,其幅值隨頻率的變化則不像這兩個(gè)阻抗那么劇烈,在圖示頻率范圍內(nèi),既沒有共振也沒有反共振。

圖4給出的是外部阻抗對(duì)電阻抗的影響。圖例中的數(shù)值為外部阻抗之比,即Ze1/Ze2。圖5和圖6中圖例與此相同。當(dāng)兩個(gè)外部阻抗恰好相等時(shí),在較高的頻率(大約10 kHz)處出現(xiàn)共振。然而,如果兩個(gè)阻抗不相等,第一階共振頻率則急劇降低,而且在圖示頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率。隨著阻抗比的增大,這兩個(gè)共振頻率相互靠近。當(dāng)一個(gè)阻抗遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另外一個(gè)時(shí),兩個(gè)共振頻率合并為一個(gè)。這時(shí)的曲線(圖中的實(shí)線)與文獻(xiàn)[6]中所描述的完全一致。

圖3 機(jī)械阻抗的幅值隨頻率的變化

圖4 電阻抗的幅值隨頻率的變化

如前所述,壓電疊層作動(dòng)器為對(duì)稱結(jié)構(gòu),若外部阻抗也相同,則作動(dòng)器的變形是對(duì)稱的,即作動(dòng)器中部將保持靜止不動(dòng)。這時(shí),整個(gè)作動(dòng)器可看成是由兩個(gè)具有固定-自由邊界的作動(dòng)器以背靠背的方式串聯(lián)而成。而當(dāng)兩個(gè)外部阻抗相差非常大時(shí),則是整個(gè)作動(dòng)器兩端的約束為固定-自由條件,因此在較低的頻率(大約6 kHz)處出現(xiàn)共振。

從圖5中可以看出,外部阻抗對(duì)轉(zhuǎn)換系數(shù)φ2有類似的影響。當(dāng)兩個(gè)阻抗相等時(shí),共振頻率較高；二者不等時(shí),在較低頻率出現(xiàn)兩個(gè)共振頻率。隨著阻抗比的增大,兩個(gè)共振頻率互相靠近,最終合并成一個(gè)。不過,轉(zhuǎn)換系數(shù)與電阻抗隨頻率的總體變化趨勢(shì)不同——隨著頻率增加,電阻抗基本上是減小的,而轉(zhuǎn)換系數(shù)基本上是增大的。

圖5 轉(zhuǎn)換系數(shù)φ2的幅值隨頻率的變化

圖6 轉(zhuǎn)換系數(shù)φ1的幅值隨頻率的變化

對(duì)比圖6和圖5,可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)換系數(shù)φ1隨頻率的變化與φ2類似,但有兩點(diǎn)明顯的不同。首先,較低的共振頻率隨阻抗比的增大而增大,但第一階反共振頻率卻保持不變。其次,隨著阻抗比的增大,轉(zhuǎn)換系數(shù)φ1迅速減小。這就意味著當(dāng)外部阻抗足夠大時(shí),此處的位移和速度將非常小,可近似為固定邊界條件。

3 結(jié) 論

以阻抗法為基礎(chǔ),采用更接近于實(shí)際的兩端自由桿的縱向振動(dòng)方程,建立了壓電疊層作動(dòng)器的機(jī)電耦合模型。在短路機(jī)械阻抗矩陣中,不僅包括了原點(diǎn)阻抗,還考慮了兩端之間的跨點(diǎn)阻抗。與之相適應(yīng),作動(dòng)器兩端的轉(zhuǎn)換系數(shù)也以向量的形式給出。同時(shí)推導(dǎo)出更具一般意義的電阻抗表達(dá)式。以這些參數(shù)為基礎(chǔ),構(gòu)建了矩陣形式的轉(zhuǎn)換方程。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)不同邊界條件下的短路機(jī)械阻抗表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)。原點(diǎn)阻抗與跨點(diǎn)阻抗的特點(diǎn)也不同。

(2)作動(dòng)器兩端的外部阻抗對(duì)電阻抗和轉(zhuǎn)換系數(shù)有重要影響。當(dāng)兩個(gè)外部阻抗相同或者差別非常大時(shí),作動(dòng)器兩端的邊界條件可視為固定-自由條件。此時(shí),短路機(jī)械阻抗、電阻抗和轉(zhuǎn)換系數(shù)的表達(dá)式可大大簡(jiǎn)化。其它情況則需考慮外部阻抗的影響。

(3)作動(dòng)器兩端的轉(zhuǎn)換系數(shù)不同。如果某端的外部阻抗足夠大,該處的轉(zhuǎn)換系數(shù)則會(huì)接近于零。

(4)本文開發(fā)的模型可用于振動(dòng)主動(dòng)控制以及其它應(yīng)用,相關(guān)研究將在后續(xù)論文中討論。

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