雷娜，吳志強

（天津大學(xué)機械學(xué)院力學(xué)系，天津300072）

分段線性減振系統(tǒng)的防跳躍及減振性能

雷娜，吳志強

（天津大學(xué)機械學(xué)院力學(xué)系，天津300072）

為分析一類單自由度分段線性減振系統(tǒng)性能。先用平均法求得系統(tǒng)在主共振激勵下的幅頻響應(yīng)方程，并基于約束分岔理論計算轉(zhuǎn)遷集。再定性地分析轉(zhuǎn)遷集各區(qū)域系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)類型，得到避免跳躍的參數(shù)臨界條件。數(shù)值計算驗證了理論分析的可靠性。此外還討論了阻尼比和激勵幅值在非跳躍參數(shù)區(qū)域變化時，對系統(tǒng)力傳遞率及系統(tǒng)幅頻響應(yīng)峰值點力傳遞率的影響。研究結(jié)果證明較小激勵情況下，阻尼比越大，減振系統(tǒng)的抗振動性能越好。

振動與波；分段線性；轉(zhuǎn)遷集；跳躍；分岔；減振

分段線性減振系統(tǒng)是一類特殊的非線性系統(tǒng)，普遍存在于工程實際中[1]，如重載列車轉(zhuǎn)向架懸掛系統(tǒng)，柴油機軸系安裝的分段線性緩沖器，振動篩和振動輸送機等采用的分組彈簧。采用此類非線性系統(tǒng)可在不改變減振系統(tǒng)固有頻率的前提下，避免干擾頻率與固有頻率吻合，從而迅速降低響應(yīng)峰值，極大的改善了系統(tǒng)的振動特性。

跳躍和滯后現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)受迫振動的重要特征。非線性受迫振動系統(tǒng)減振設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，就是預(yù)防有潛在危險的跳躍現(xiàn)象。因為跳躍現(xiàn)象可能引起某些設(shè)備或器件振動突然變得劇烈而遭到破壞，或者振動突然減弱而不能正常運轉(zhuǎn)，所以對于分段線性減振系統(tǒng)，研究如何利用非線性特點且避免跳躍具有重要工程實際意義。

文[2]分析了分段線性系統(tǒng)的非光滑向量場對龐加萊映射的影響以及由此產(chǎn)生的復(fù)雜動力學(xué)行為；文[3]使用多項式擬合的方法將一類典型的分段線性系統(tǒng)的彈性力表示為級數(shù)形式，進而利用多尺度法對改造后的非線性方程求解，得到分段線性保守自治系統(tǒng)解析解的通用公式；文[4]研究了減振器中彈性限位器的設(shè)計，指出傳統(tǒng)設(shè)計在小阻尼情況下非常危險，會出現(xiàn)意想不到的主共振、亞諧共振和混沌響應(yīng)；文[5]應(yīng)用奇異性理論分析了分段線性非線性汽車懸架系統(tǒng)的分岔行為，由系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)的分岔解間的關(guān)系，得到不同參數(shù)下系統(tǒng)的運動特性；文[6]研究了阻尼以及2階初始位置等參數(shù)對分段線性減振系統(tǒng)的振動性能和抗沖擊性能的影響；文[7-9]以非線性發(fā)動機懸架模型為研究對象，根據(jù)只要頻響曲線出現(xiàn)兩個垂直斜坡（即臨界振幅），就會發(fā)生跳躍的思路提出了避免跳躍的圖形標(biāo)準(zhǔn)，即通過繪制幅頻響應(yīng)跳躍與非跳躍的參數(shù)邊界平面來優(yōu)化力學(xué)參數(shù)。這種方案雖然得到了頻響跳躍與非跳躍的臨界條件，但是求解過程較復(fù)雜，有必要發(fā)展新的方法。

針對對稱分段線性減振系統(tǒng)，本文基于約束分岔理論[10]，計算轉(zhuǎn)遷集，確定系統(tǒng)可能的幅頻響應(yīng)類型，從而更細致地給出不同參數(shù)組合區(qū)域內(nèi)的非線性振動特性；討論在非跳躍區(qū)，阻尼比和激幅值對系統(tǒng)力傳遞率和系統(tǒng)幅頻響應(yīng)峰值點力傳遞率的影響，以及如何確定分段減振系統(tǒng)的特性參數(shù)，使其更好地發(fā)揮作用。

1 非線性動力學(xué)模型的建立

1.1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1所示為對稱分段線性彈簧系統(tǒng)，當(dāng)振幅小于間隙時，只有主彈簧起作用，系統(tǒng)作線性振動；當(dāng)振幅大于間隙時，質(zhì)量塊與副彈簧反復(fù)接觸后又分離，因而系統(tǒng)的振動是非線性的。系統(tǒng)振動微分方程為

其中F(X)是彈簧非線性恢復(fù)力-位移函數(shù)

式中M為質(zhì)量塊質(zhì)量，K1、K2為彈簧剛度，C1為彈簧阻尼，W、P分別為激振角頻率和幅值，D為間隙值。

為得到振動方程的無量綱形式，引入如下變換及組合參數(shù)

代入方程(1)和可得(2)

由于無量綱過程中特征長度選為十倍的間隙，使得無量綱間隙為0.1，這為系統(tǒng)主共振周期響應(yīng)的近似分析奠定了基礎(chǔ)。

1.2 平均法求取幅頻響應(yīng)方程

為考慮主共振(w=1)情況，將系統(tǒng)的振動方程改寫為

假設(shè)系統(tǒng)存在一次近似解形式如

其中j=wt+q，應(yīng)用平均法[11]可將方程化成振幅、相位為未知量的標(biāo)準(zhǔn)方程，因振幅和相位的導(dǎo)數(shù)都是O(e)量級的周期函數(shù)，可代之以一個周期的平均值得到

其中

對于非線性系統(tǒng)，通常關(guān)心的是系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)態(tài)值，于是令

圖1 動力學(xué)模型示意圖

消除變量j，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)方程為

解出w可得

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)給定時，由方程(9)或(10)可得幅頻響應(yīng)曲線。不同的參數(shù)值，可對應(yīng)不同類型曲線，(也可能對應(yīng)相同類型曲線)。為討論參數(shù)對曲線類型的影響，奇異性方法是很好的工具。由于方程是分段的，因此要用約束分岔理論分析方法。

2 幅頻響應(yīng)分類及跳躍臨界條件

為分析參數(shù)變化時，幅頻響應(yīng)曲線類型的變化，選擇振幅y為狀態(tài)變量，激勵頻率w為分岔參數(shù)，阻尼比z1和激勵幅值p為開折參數(shù)，根據(jù)約束分岔理論可求得非空轉(zhuǎn)遷集[8]包括

約束分岔集BI

滯后集H

雙極限點集DLI

其中

上述轉(zhuǎn)遷集將無量綱參數(shù)空間劃分為4個區(qū)域如圖2所示。

根據(jù)奇異性理論，參數(shù)在同一個區(qū)域內(nèi)取值時，幅頻響應(yīng)的定性特征是保持不變的，因而分別從不同區(qū)域內(nèi)取一組(ζ1，p)值，畫對應(yīng)的分岔曲線，就得到參數(shù)變化時所有不同類型的分岔圖(圖3實線所示)，共有四種。在圖3給出了幅頻響應(yīng)數(shù)值計算結(jié)果(圖3星號所示)以便比較。顯然數(shù)值結(jié)果與平均法結(jié)果吻合較好，說明基于平均法結(jié)果的后續(xù)分析是可靠的。

圖2 轉(zhuǎn)遷集(k=0.5)

綜合以上分析可見，與文[7―9]采用的方法相比，分岔分析的奇異性方法更簡便，并能得到更豐富的信息。

工程中為避免跳躍現(xiàn)象引起機械設(shè)備性能突變甚至破壞，就須在非跳躍區(qū)選擇系統(tǒng)參數(shù)，也就是說在滯后集H右側(cè)選擇參數(shù)是避免跳躍的有效措施。激勵強度增加時，非跳躍區(qū)向小阻尼方向擴展。跳躍現(xiàn)象只出現(xiàn)在較小阻尼、較小激勵的情況下，因此適當(dāng)增大阻尼，都可以防止激勵強度更大時出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。

3 系統(tǒng)隔振效果分析

由約束分岔理論分析可知，在圖2轉(zhuǎn)遷集的非跳躍區(qū)域2取參數(shù)能保證分段減振系統(tǒng)充分發(fā)揮非線性彈簧作用，而且幅頻響應(yīng)不出現(xiàn)跳躍和滯后現(xiàn)象。

隔振系統(tǒng)對動態(tài)力的消減程度常用無量綱的力傳遞率來表示，即傳遞到基礎(chǔ)上的力幅值與設(shè)備上激勵幅值之比。由和可知傳遞到基礎(chǔ)上的動荷載為

其中

式中sin(q)由方程的第二式可確定為

于是，傳到基礎(chǔ)上最大的動荷載值為

圖3 不同類型幅頻響應(yīng)

非線性系統(tǒng)的力傳遞率為

分別變化參數(shù)p、ζ1得到相應(yīng)的Tr曲線，見圖4。

當(dāng)ζ1=0.09時，激勵幅值系數(shù)p的變化對低頻和高頻區(qū)的力傳遞率都沒有影響，對共振區(qū)有影響，此時共振峰逐漸增大，且峰值向右移。

當(dāng)p=0.06時，隨著阻尼比ζ1的增加，共振區(qū)的力傳遞率峰值迅速降低，阻尼比的影響逐漸減弱。

為分析幅頻響應(yīng)峰值點的力傳遞率，對方程(9)中的ω求一次導(dǎo)，得峰值點(ωm，ym)值

將(15)代入(14)，即求得幅頻響應(yīng)共振峰值點的傳遞率為

圖4 參數(shù)p、z1分別對Tr的影響

由此可繪制響應(yīng)峰值點傳遞率關(guān)于阻尼比ζ1和激勵幅值p變化的等高線圖(圖5所示)。結(jié)合轉(zhuǎn)遷集圖2，可在等高線圖中繪制相應(yīng)的非空轉(zhuǎn)遷集，并且由前面約束分岔理論可知約束分岔集BI曲線將等高線圖面分為線性部分與非線性部分。

由圖5可見，當(dāng)阻尼比取定值時，對于線性系統(tǒng)，激勵幅值的增加對響應(yīng)峰值點傳遞率沒有影響；對于非線性系統(tǒng)，隨著激勵幅值的增加響應(yīng)峰值點傳遞率先快速增大而逐漸趨向定值。

圖5 等高線

4 結(jié)語

利用平均法理論、約束分岔理論分析了對稱的分段線性彈簧系統(tǒng)的主共振響應(yīng)，得到如下結(jié)論：

（1）利用約束分岔理論定性地分析系統(tǒng)可能發(fā)生的響應(yīng)類型，更細致地劃分了跳躍區(qū)的響應(yīng)；

（2）得到系統(tǒng)產(chǎn)生跳躍的參數(shù)臨界條件滯后集H，將開折參數(shù)平面分為跳躍區(qū)和非跳躍區(qū)，為系統(tǒng)設(shè)計提供了參考；

（3）阻尼比和激勵幅值都對共振頻率區(qū)的力傳遞率有影響，且在較小激勵情況下，阻尼值越大，減振系統(tǒng)的抗振動性能越好。

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Analysis of JumpAvoidance and Vibration Reduction Performances of a Piecewise Linear Single DOF System

LEINa,WU Zhi-qiang

(School of Mechanical Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

The damping performance of a single DOF system with piecewise linear terms under primary resonance excitation is studied.Employing the averaging method,an implicit function of the amplitude-frequency response equation under the primary resonance excitation is obtained.The transition sets can be calculated from this function on the basis of constraint bifurcation theory.The parametric critical condition to avoid jumping is calculated by qualitative analysis of the amplitude-frequency response equation in the sub-regions of the transition sets.Numerical calculation verifies the feasibility of this method.In addition,the influence of damping ratio and external excitation amplitude within the jump-free region on the global force transmissibility and the force transmissibility at the peak point of the amplitude-frequency response curve is discussed.The results show that under small excitation,large damping ratio can enhance the vibration resistance effect of the system.

vibration and wave;piecewise linearity;transition set;jumping;bifurcation;vibration reduction

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.02.004

1006-1355(2014)02-0012-05

2013-03-06

國家自然科學(xué)基金：(11172198)；973項目：（2013CB035402）

雷娜(1987-)，女，湖南耒陽人，碩士，目前從事非線性振動、分岔與混沌方面研究。

E-mail:zhiqwu@tju.edu.cn