吳志峰

“年年歲歲考相似，歲歲年年題不同”，又是一年高考時.2014年高考廣東數(shù)學(xué)試卷延續(xù)了往年的風(fēng)格——注重基礎(chǔ)，穩(wěn)中有變.文科數(shù)學(xué)整份卷子難度不大，多為考查基本概念的理解和基本方法的應(yīng)用，有利于基礎(chǔ)扎實的考生正常發(fā)揮.理科難度較去年有所增加，更加注重考生的各種能力的考查.數(shù)列作為高考年年必考的內(nèi)容，今年繼續(xù)以一個填空題和一個解答題的形式出現(xiàn)，而且都是在中等難度題，特別是解答題連續(xù)三年出現(xiàn)在了19題的位置上，難度也相對適中，屬于同學(xué)們跳一跳就能夠摘到的那種難度，漸漸成了每個考生志在必得的一類題目.所以說“數(shù)中等難題，還看數(shù)列”.下面讓我們一起來分析一下今年廣東高考中的數(shù)列題目吧.

一、常規(guī)題目，注重交匯

試題1. （2014年高考廣東文第13題）等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)， 且a1a5=4， 則log2 a1+log2 a2+log2 a3+log2 a4+log2 a5=

.

解析：因為：數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a5=4，

所以a1a5=a2a4=a32=4， 所以a3=2， 所以a1a2a3a4a5=a35=25，

所以log2 a1+log2 a2+log2 a3+log2 a4+log2 a5=log2（a1a2a3a4a5）=log2 25=5.

試題2. （2014年高考廣東理第13題）若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則ln a1+ln a2+…+ln a20=_______.

解析：因為數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a10a11+a9a12=2e5，

所以a1a20=a2a19=…=a10a11=a9a12=e5，所以a1a2a3…a20=（a10a11）10=e50，

所以：ln a1+ln a2+…+ln a20=ln（a1a2a3…a20）=ln e50=50.

點評：試題1、試題2是個姐妹題，是一個數(shù)列的常規(guī)題目，把數(shù)列知識與對數(shù)的知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，體現(xiàn)了“常規(guī)題目，注重交匯”的特點.主要考查等比數(shù)列的基本概念和性質(zhì)的理解，指數(shù)及對數(shù)的運(yùn)算，考查考生綜合分析的能力和運(yùn)算求解能力.本題解題的切入點是等比數(shù)列的性質(zhì)：“當(dāng)m+n=p+q時，有aman=apaq”，結(jié)合了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).考生要熟練掌握等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，指數(shù)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)才可以答對這一題.本題是填空題的最后一題（除選做題外），但是并沒有小壓軸題給人的那種陌生感.雖然也是多知識綜合的一個題，但卻是平時考生經(jīng)常練的一個題型，非常注重基礎(chǔ)知識的理解和應(yīng)用，屬中等難度題.

文理科進(jìn)行比較，考查的知識點和方法基本一樣，理科相對較難一些，所求式子的項數(shù)也多一些，運(yùn)算難度更大，對考生的能力要求更高一些，特別是運(yùn)算求解的能力要求上有明顯提高.這符合高考數(shù)學(xué)對文理科考生的不同要求，理科數(shù)學(xué)要求高于文科數(shù)學(xué)，且更加注重數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算求解能力的考查.這里也提醒理科考生在平時的學(xué)習(xí)中應(yīng)該更加注重數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算求解能力的培養(yǎng)，以高標(biāo)準(zhǔn)要求自己，為高考做準(zhǔn)備.

二、通法通性，注重思想

試題3. （2014年高考廣東文第19題）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足[Sn][2]-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?.

（1）求a1的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）證明：對一切正整數(shù)n，有++…+<.

思路分析：第（1）問把n=1代入式子中解方程即可求得，難度不大.第（2）問求通項公式需要對式子[Sn][2]-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?進(jìn)行正確的解讀.很多考生可能由于無法正確處理式子中的[Sn][2]而難以下筆，其實本問的關(guān)鍵是把上式看成是一個關(guān)于Sn一元二次方程，那么利用因式分解可以求出Sn的表達(dá)式是Sn=n2+n， 然后再利用an與Sn的關(guān)系就可以輕松求得數(shù)列的通項公式an=2n. 第（3）問考查數(shù)列不等式的證明，而且是右邊是一個常數(shù)的數(shù)列不等式，方法選擇上主要考慮放縮法證明不等式.首先思考如何把左邊的式子通過放大轉(zhuǎn)化成一個可以求和的式子，且放大的結(jié)果要小于，不難想到<，則有+++…+<+++…+.但是求和的結(jié)果是（1-）卻大于，此時說明我們放得太大了一些，應(yīng)該考慮從第二項或后幾項才開始放大，本題選擇從第二項開始放大就可以達(dá)到證明，這也是放縮法常用的放縮技巧.當(dāng)然也可以選擇其它放縮方法以達(dá)到證明不等式的目的.

解析：（1）令n=1，得S12+S1-6=0，解得：S1=2或S1=-3，又因為an>0，所以S1>0，所以S1=2，即a1=2.

（2）由Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，得（Sn+3）[Sn-（n2+n）]=0，

解得：Sn=-3或Sn=n2+n.又因為an>0，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n.

又因為a1=2=2×1，

所以an=2n（n∈N?）.

（3）當(dāng)n∈N?時，有=<.

所以++…+

=+++…+

<+++…+

=+[（-）+（-）+…+（-）]

=+（-）

=+-<.

解法2：（3）當(dāng)n∈N?時，n2+n>n2+n-=（n-）（n+）.

所以==×<×=×.

所以 ++…+

=+++…+

<[++…+]endprint

=[-+-+…+-]

=[-]<×=.

點評：試題3是一個關(guān)于函數(shù)、數(shù)列、不等式證明的一個綜合性問題，是個中等偏難題，全省平均分只有3.01分.主要考查數(shù)列的基本概念、一元二次方程根的計算、數(shù)列通項公式的計算、數(shù)列前n項和Sn及通項an的關(guān)系、以及數(shù)列不等式的證明，考查函數(shù)與方程的思想、整體的思想、以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查考生綜合分析能力、運(yùn)算求解能力、推理論證的能力.設(shè)問方式和去年高考類似，第一問考查數(shù)列的基本概念，求a1的值，難度不大，給考生得分的機(jī)會，增加信心，同時第一問求a1的過程用到的解一元二次方程的方法也為第二問求Sn提供了解題方法的提示，為第二問的解題提供幫助.這也是高考命題的一種常見風(fēng)格，解答題前面的問題為后面的問題提供幫助或解題的方向，所以我們常說“題中有路探為徑”.只要我們深入探索，多角度觀察，常常會有意外的收獲.第二問求數(shù)列通項公式，不需要構(gòu)造，但是需要先由己知條件求出Sn，直接利用Sn求an，題目來源于“人教版必修五課2.3等差數(shù)列的前n項和中的例3”.第三問考查放縮法證明數(shù)列不等式，是以數(shù)列為背景的不等式證明問題，是數(shù)列的綜合題，體現(xiàn)了在知識交匯點命題的特點.雖然這個題目所考查的內(nèi)容是放縮法中較常見的分式型的數(shù)列放縮問題，與去年的廣東高考理科試題類似，解法和難度上都沒有變化.但是對于文科生來說，考查放縮法證明數(shù)列不等式，對考生數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的要求都比較高，很多文科生往往對這一部分內(nèi)容望而生畏，難以取得高分.其實只要掌握放縮法的特點及一些常用技巧，在平時的訓(xùn)練中多加練習(xí)，掌握這一方法還是可以做到的.

試題4.（2014年高考廣東理第19題）設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式.

思路分析：第（1）問求數(shù)列前3項的值，可以分別把n等于1和2代入題目所給的式子中并結(jié)合條件列得一個方程組，解方程組可以求得.計算思路比較靈活，習(xí)慣上是由第一項往后推其它項，本題卻是反過來，先算出第三項，再算第一、第二項.第（2）問求數(shù)列{an}的通項公式，首先考慮利用數(shù)列前n項和Sn及通項an的關(guān)系把題目條件轉(zhuǎn)化為2nan+1=（2n-1）an+6n+1，n∈N?，再根據(jù)這個遞推公式思考如何求通項公式.常規(guī)想法可能是構(gòu)造一個等差或等比數(shù)列，但是此題在構(gòu)造的過程中難度很大，如果考生一昧地往這一方向思考的話可能會出現(xiàn)花了力氣而又得不到分的情況.此時如果能夠轉(zhuǎn)換視角，思考第（1）問算出的a1=3，a2=5，a3=7，從中歸納猜想an=2n+1，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，那么這道題就簡單很多了.

解析：（1）因為：Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.

所以：S1=2a2-7，

S2=4a3-20，

S3=15， 即 a1=2a2-7，

a1+a2=4a3-20，

a1+a2+a3=15，

解得：a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時，ak=2k+1，

因為：Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，

所以：Sn-1=2（n-1）an-3（n-1）2-4（n-1），n∈N?，n≥2，

兩式相減得：2nan+1=（2n-1）an+6n+1，n∈N?，n≥2，

又因為a1=3，a2=5滿足2a2=a1+7，

所以2nan+1=（2n-1）an+6n+1對n∈N?都成立，

所以2kak+1=（2k-1）（2k+1）+6k+1=4k2+6k，

解得ak+1=2k+3=2（k+1）+1，

即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.

由①②知，?n∈N?，an=2n+1.

解法2：（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n≤k時，ak=2k+1，

所以Sk=3+5+7+…+（2k+1）==k2+2k，

又因為Sk=2kak+1-3k2-4k，

所以k2+2k=2kak+1-3k2-4k，

解得ak+1=2k+3=2（k+1）+1，

即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立.

由①②知，?n∈N?，an=2n+1.

點評：試題4與試題3有些類似，也是一個中等難度題，全省平均分為5.4分.主要考查方程組的計算、數(shù)學(xué)歸納法求通項公式以及數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系，考查函數(shù)與方程的思想、整體的思想、以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查考生綜合分析能力、運(yùn)算求解能力，歸納猜想的能力和推理論證的能力.前兩問設(shè)問方式和去年高考類似，第一問考查數(shù)列的基本概念，求a1，a2，a3的值，難度不大，給考生得分的機(jī)會，增強(qiáng)信心，也給第二問的歸納猜想提供了方向.第二問求數(shù)列通項公式.沒有考查數(shù)列不等式的證明，稍稍讓人有點意外，給未來數(shù)列命題的方向留下了更多的想象的空間.這一題的第二問求數(shù)列的通項公式主要考查數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用，這是一個不?？嫉闹R點，很多考生合情推理意識不夠，思維定勢嚴(yán)重，在得到遞推公式后嘗試用構(gòu)造法去求解，結(jié)果是浪費(fèi)了很多時間而得不到分.其實本題從題目設(shè)計意圖上來看就是想考查數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列求通項中的應(yīng)用.考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查學(xué)生在常規(guī)方法受挫的時候能不能夠轉(zhuǎn)換視角，選擇正確的方法.這其實是數(shù)學(xué)解題的常見思維，也是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)考生的一種能力.還有一部分同學(xué)雖然想到了數(shù)學(xué)歸納法，但是由于疏于訓(xùn)練在數(shù)學(xué)歸納法證明過程中書寫不規(guī)范而造成失分.其實數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)列問題中的一種常用方法，它在一些較難問題中發(fā)揮著重要作用，常用來證明數(shù)列求通項，求和以及一些與數(shù)列有關(guān)的證明問題.數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是：觀察——歸納——證明.考查考生歸納、觀察和合情推理能力，值得考生關(guān)注.endprint

文理科的19題進(jìn)行比較，雖然考查的基礎(chǔ)知識和解題方法有所不同，但是考查的數(shù)學(xué)基本思想和基本能力是一致的，注重函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想的考查，注重運(yùn)算求解能力，推理論證的能力，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值. 在解題方法上注重對通法通性的考查，彰顯了通法通性在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“通法通性，注重思想”的特點.從考查的角度來看，文理科略有不同，文科更加注重基礎(chǔ)知識、基本方法的理解和應(yīng)用，理科更加注重數(shù)學(xué)思維能力的考查，考查學(xué)生提出問題和解決問題的能力，這也是同學(xué)們應(yīng)該從數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)中學(xué)到的本領(lǐng).

其實，理科19題第二問也可以利用構(gòu)造法進(jìn)行求解，只是過程與常見的一些模型不同，也有點巧合的感覺，筆者也把它寫出來供各位考生比較參考.

解法3：（構(gòu)造法）.

第一步：由己知條件得到遞推關(guān)系（同解法1）.

根據(jù)題意得到遞推關(guān)系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1對n∈N?都成立，

第二步：構(gòu)造一個新數(shù)列.

設(shè)2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通項.

令bn=an-2n-1，則b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等難度，穩(wěn)中有變

從表格可以看出，近三年廣東高考在數(shù)列知識的考查體現(xiàn)了“中等難度，穩(wěn)中有變”的特點.近三年都是以一個小題和一個大題的考查形式，分值為19分，占總分的12.5%左右.小題喜歡考等差、等比數(shù)列的基本概念、基本公式及基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，注重數(shù)列和其它知識的交匯，全都出現(xiàn)在填空題，突出“小而巧”的特點，考查考生基礎(chǔ)知識的掌握程度，難度中等偏低. 解答題全部出現(xiàn)在19題的位置，以綜合題型為主，習(xí)慣設(shè)問方式是兩問或三問，第一問考查數(shù)列的基本概念，第二問考查數(shù)列通項公式，第三問考查數(shù)列不等式證明.考查較為全面，在考查基本概念、基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.雖然每年所考的知識點和解題方法都有所不同，但是設(shè)問形式類似，穩(wěn)中有變，注重數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，彰顯了通法通性在解題中的重要作用，難度中等偏高.

近幾年高考廣東數(shù)學(xué)試題的總體特點是：風(fēng)格獨特，容易題非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.難題往往比較難，考查角度較靈活，如果方法不得當(dāng)，訓(xùn)練再多也未必能夠得分.而數(shù)列的考查卻是穩(wěn)定在中等難度題，成為決定很多考生數(shù)學(xué)成績的重要知識板塊.只要我們在平時的備考中方向正確，方法得當(dāng)，訓(xùn)練到位，高考中在數(shù)列知識上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考綱，科學(xué)備考

考綱對數(shù)列的要求為：① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③ 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)廣東省的考綱以及對近三年廣東高考數(shù)列知識的考查分析，各位考生應(yīng)該對數(shù)列的備考有了一些新的認(rèn)識，本人建議數(shù)列的備考應(yīng)該做到以下幾點.

1. 注重基礎(chǔ)知識，關(guān)注知識交匯.

從考綱的要求來看，數(shù)列的研究則以等差、等比數(shù)列的研究為主.近三年廣東高考對數(shù)列的考查漸漸回到考綱的要求上來，以中等難度題為主，主要考查等差、等比數(shù)列的概念、基本量的運(yùn)算及由概念推導(dǎo)出的一些重要性質(zhì)，以及等差、等比數(shù)列學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，要求考生要在基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的掌握和運(yùn)用上下功夫，訓(xùn)練的重點應(yīng)該放在基礎(chǔ)題和中等題，不搞偏題和怪題.只有注重基礎(chǔ)知識，才能夠在考試中以不變應(yīng)萬變，把數(shù)列的分?jǐn)?shù)拿到手.同時數(shù)列知識的滲透能力很強(qiáng)，它可以與很多其它知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，增加試題的新意和難度，就像今年高考廣東文理科的13題是一個數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，文科的19題數(shù)列與不等式相結(jié)合的題目.在平時的備考中，多關(guān)注知識交匯，在解題時分析清楚每一個知識的概念及題目的思路，提高解題的成功率.

2. 注重思想方法，重視通法通性.

首先，數(shù)列本身就是一個函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式和前n 項和公式與一次函數(shù)和二次函數(shù)有關(guān)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式與指數(shù)函數(shù)有關(guān).而且等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多地方具有可類比之處.所以在研究數(shù)列的時候一定要樹立數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的事實.在等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出函數(shù)與方程的思想，在遞推數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出化歸與轉(zhuǎn)化的思想.同時，數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點，常涉及數(shù)列的通項和前n項和的問題，解決這種問題要利用好化歸與轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題來解決.其次，從近三年的廣東數(shù)列知識的分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列知識的考查中彰顯了通法通性在解題中的應(yīng)用.通法通性是解決問題的基本方法，具有普遍的指導(dǎo)意義.在平時的備考中強(qiáng)調(diào)通法通性在解題中的作用，有利于幫助考生把知識形成網(wǎng)絡(luò)，將方法形成規(guī)律，提高數(shù)學(xué)解題能力.所以每個同學(xué)應(yīng)該熟練掌握數(shù)列解題中的常用方法，在平時的訓(xùn)練中一定要把通法通性當(dāng)作解題的一種習(xí)慣，練好通法通性.只有注重數(shù)學(xué)思想方法，重視通法通性，才能走出茫茫題海，在高考的解題中融會貫通，在中等難度題——數(shù)列的求解上取得突破.

（作者單位：佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅endprint

文理科的19題進(jìn)行比較，雖然考查的基礎(chǔ)知識和解題方法有所不同，但是考查的數(shù)學(xué)基本思想和基本能力是一致的，注重函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想的考查，注重運(yùn)算求解能力，推理論證的能力，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值. 在解題方法上注重對通法通性的考查，彰顯了通法通性在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“通法通性，注重思想”的特點.從考查的角度來看，文理科略有不同，文科更加注重基礎(chǔ)知識、基本方法的理解和應(yīng)用，理科更加注重數(shù)學(xué)思維能力的考查，考查學(xué)生提出問題和解決問題的能力，這也是同學(xué)們應(yīng)該從數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)中學(xué)到的本領(lǐng).

其實，理科19題第二問也可以利用構(gòu)造法進(jìn)行求解，只是過程與常見的一些模型不同，也有點巧合的感覺，筆者也把它寫出來供各位考生比較參考.

解法3：（構(gòu)造法）.

第一步：由己知條件得到遞推關(guān)系（同解法1）.

根據(jù)題意得到遞推關(guān)系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1對n∈N?都成立，

第二步：構(gòu)造一個新數(shù)列.

設(shè)2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通項.

令bn=an-2n-1，則b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等難度，穩(wěn)中有變

從表格可以看出，近三年廣東高考在數(shù)列知識的考查體現(xiàn)了“中等難度，穩(wěn)中有變”的特點.近三年都是以一個小題和一個大題的考查形式，分值為19分，占總分的12.5%左右.小題喜歡考等差、等比數(shù)列的基本概念、基本公式及基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，注重數(shù)列和其它知識的交匯，全都出現(xiàn)在填空題，突出“小而巧”的特點，考查考生基礎(chǔ)知識的掌握程度，難度中等偏低. 解答題全部出現(xiàn)在19題的位置，以綜合題型為主，習(xí)慣設(shè)問方式是兩問或三問，第一問考查數(shù)列的基本概念，第二問考查數(shù)列通項公式，第三問考查數(shù)列不等式證明.考查較為全面，在考查基本概念、基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.雖然每年所考的知識點和解題方法都有所不同，但是設(shè)問形式類似，穩(wěn)中有變，注重數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，彰顯了通法通性在解題中的重要作用，難度中等偏高.

近幾年高考廣東數(shù)學(xué)試題的總體特點是：風(fēng)格獨特，容易題非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.難題往往比較難，考查角度較靈活，如果方法不得當(dāng)，訓(xùn)練再多也未必能夠得分.而數(shù)列的考查卻是穩(wěn)定在中等難度題，成為決定很多考生數(shù)學(xué)成績的重要知識板塊.只要我們在平時的備考中方向正確，方法得當(dāng)，訓(xùn)練到位，高考中在數(shù)列知識上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考綱，科學(xué)備考

考綱對數(shù)列的要求為：① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③ 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)廣東省的考綱以及對近三年廣東高考數(shù)列知識的考查分析，各位考生應(yīng)該對數(shù)列的備考有了一些新的認(rèn)識，本人建議數(shù)列的備考應(yīng)該做到以下幾點.

1. 注重基礎(chǔ)知識，關(guān)注知識交匯.

從考綱的要求來看，數(shù)列的研究則以等差、等比數(shù)列的研究為主.近三年廣東高考對數(shù)列的考查漸漸回到考綱的要求上來，以中等難度題為主，主要考查等差、等比數(shù)列的概念、基本量的運(yùn)算及由概念推導(dǎo)出的一些重要性質(zhì)，以及等差、等比數(shù)列學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，要求考生要在基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的掌握和運(yùn)用上下功夫，訓(xùn)練的重點應(yīng)該放在基礎(chǔ)題和中等題，不搞偏題和怪題.只有注重基礎(chǔ)知識，才能夠在考試中以不變應(yīng)萬變，把數(shù)列的分?jǐn)?shù)拿到手.同時數(shù)列知識的滲透能力很強(qiáng)，它可以與很多其它知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，增加試題的新意和難度，就像今年高考廣東文理科的13題是一個數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，文科的19題數(shù)列與不等式相結(jié)合的題目.在平時的備考中，多關(guān)注知識交匯，在解題時分析清楚每一個知識的概念及題目的思路，提高解題的成功率.

2. 注重思想方法，重視通法通性.

首先，數(shù)列本身就是一個函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式和前n 項和公式與一次函數(shù)和二次函數(shù)有關(guān)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式與指數(shù)函數(shù)有關(guān).而且等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多地方具有可類比之處.所以在研究數(shù)列的時候一定要樹立數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的事實.在等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出函數(shù)與方程的思想，在遞推數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出化歸與轉(zhuǎn)化的思想.同時，數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點，常涉及數(shù)列的通項和前n項和的問題，解決這種問題要利用好化歸與轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題來解決.其次，從近三年的廣東數(shù)列知識的分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列知識的考查中彰顯了通法通性在解題中的應(yīng)用.通法通性是解決問題的基本方法，具有普遍的指導(dǎo)意義.在平時的備考中強(qiáng)調(diào)通法通性在解題中的作用，有利于幫助考生把知識形成網(wǎng)絡(luò)，將方法形成規(guī)律，提高數(shù)學(xué)解題能力.所以每個同學(xué)應(yīng)該熟練掌握數(shù)列解題中的常用方法，在平時的訓(xùn)練中一定要把通法通性當(dāng)作解題的一種習(xí)慣，練好通法通性.只有注重數(shù)學(xué)思想方法，重視通法通性，才能走出茫茫題海，在高考的解題中融會貫通，在中等難度題——數(shù)列的求解上取得突破.

（作者單位：佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅endprint

文理科的19題進(jìn)行比較，雖然考查的基礎(chǔ)知識和解題方法有所不同，但是考查的數(shù)學(xué)基本思想和基本能力是一致的，注重函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想的考查，注重運(yùn)算求解能力，推理論證的能力，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值. 在解題方法上注重對通法通性的考查，彰顯了通法通性在解決數(shù)列問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了“通法通性，注重思想”的特點.從考查的角度來看，文理科略有不同，文科更加注重基礎(chǔ)知識、基本方法的理解和應(yīng)用，理科更加注重數(shù)學(xué)思維能力的考查，考查學(xué)生提出問題和解決問題的能力，這也是同學(xué)們應(yīng)該從數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)中學(xué)到的本領(lǐng).

其實，理科19題第二問也可以利用構(gòu)造法進(jìn)行求解，只是過程與常見的一些模型不同，也有點巧合的感覺，筆者也把它寫出來供各位考生比較參考.

解法3：（構(gòu)造法）.

第一步：由己知條件得到遞推關(guān)系（同解法1）.

根據(jù)題意得到遞推關(guān)系：2nan+1=（2n-1）an+6n+1對n∈N?都成立，

第二步：構(gòu)造一個新數(shù)列.

設(shè)2n[an+1+k（n+1）+b]=（2n-1）（an+kn+b），

整理得2nan+1=（2n-1）an-3kn-b.

所以-3k=6，-b=1，即k=-2，b=-1，

所以2n[an+1-2（n+1）-1]=（2n-1）（an-2n-1），n∈N?，

第三步：利用迭乘法求通項.

令bn=an-2n-1，則b1=a1-2-1=0，

所以2nbn+1=（2n-1）bn，n∈N?，

所以bn+1=bn，n∈N?，

所以bn=××…×××b1=0，

所以?n∈N?，an=2n+1.

三、中等難度，穩(wěn)中有變

從表格可以看出，近三年廣東高考在數(shù)列知識的考查體現(xiàn)了“中等難度，穩(wěn)中有變”的特點.近三年都是以一個小題和一個大題的考查形式，分值為19分，占總分的12.5%左右.小題喜歡考等差、等比數(shù)列的基本概念、基本公式及基本性質(zhì)的理解與應(yīng)用，注重數(shù)列和其它知識的交匯，全都出現(xiàn)在填空題，突出“小而巧”的特點，考查考生基礎(chǔ)知識的掌握程度，難度中等偏低. 解答題全部出現(xiàn)在19題的位置，以綜合題型為主，習(xí)慣設(shè)問方式是兩問或三問，第一問考查數(shù)列的基本概念，第二問考查數(shù)列通項公式，第三問考查數(shù)列不等式證明.考查較為全面，在考查基本概念、基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.雖然每年所考的知識點和解題方法都有所不同，但是設(shè)問形式類似，穩(wěn)中有變，注重數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查，彰顯了通法通性在解題中的重要作用，難度中等偏高.

近幾年高考廣東數(shù)學(xué)試題的總體特點是：風(fēng)格獨特，容易題非常容易，只在掌握基本概念和基本方法就可以得分.難題往往比較難，考查角度較靈活，如果方法不得當(dāng)，訓(xùn)練再多也未必能夠得分.而數(shù)列的考查卻是穩(wěn)定在中等難度題，成為決定很多考生數(shù)學(xué)成績的重要知識板塊.只要我們在平時的備考中方向正確，方法得當(dāng)，訓(xùn)練到位，高考中在數(shù)列知識上取得突破是完成有可能的.

四、抓住考綱，科學(xué)備考

考綱對數(shù)列的要求為：① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.③ 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)廣東省的考綱以及對近三年廣東高考數(shù)列知識的考查分析，各位考生應(yīng)該對數(shù)列的備考有了一些新的認(rèn)識，本人建議數(shù)列的備考應(yīng)該做到以下幾點.

1. 注重基礎(chǔ)知識，關(guān)注知識交匯.

從考綱的要求來看，數(shù)列的研究則以等差、等比數(shù)列的研究為主.近三年廣東高考對數(shù)列的考查漸漸回到考綱的要求上來，以中等難度題為主，主要考查等差、等比數(shù)列的概念、基本量的運(yùn)算及由概念推導(dǎo)出的一些重要性質(zhì)，以及等差、等比數(shù)列學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，要求考生要在基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的掌握和運(yùn)用上下功夫，訓(xùn)練的重點應(yīng)該放在基礎(chǔ)題和中等題，不搞偏題和怪題.只有注重基礎(chǔ)知識，才能夠在考試中以不變應(yīng)萬變，把數(shù)列的分?jǐn)?shù)拿到手.同時數(shù)列知識的滲透能力很強(qiáng)，它可以與很多其它知識相結(jié)合，在知識的交匯處命題，增加試題的新意和難度，就像今年高考廣東文理科的13題是一個數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，文科的19題數(shù)列與不等式相結(jié)合的題目.在平時的備考中，多關(guān)注知識交匯，在解題時分析清楚每一個知識的概念及題目的思路，提高解題的成功率.

2. 注重思想方法，重視通法通性.

首先，數(shù)列本身就是一個函數(shù)，等差數(shù)列的通項公式和前n 項和公式與一次函數(shù)和二次函數(shù)有關(guān)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式與指數(shù)函數(shù)有關(guān).而且等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多地方具有可類比之處.所以在研究數(shù)列的時候一定要樹立數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的事實.在等差、等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出函數(shù)與方程的思想，在遞推數(shù)列的學(xué)習(xí)中突出化歸與轉(zhuǎn)化的思想.同時，數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點，常涉及數(shù)列的通項和前n項和的問題，解決這種問題要利用好化歸與轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題來解決.其次，從近三年的廣東數(shù)列知識的分析可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列知識的考查中彰顯了通法通性在解題中的應(yīng)用.通法通性是解決問題的基本方法，具有普遍的指導(dǎo)意義.在平時的備考中強(qiáng)調(diào)通法通性在解題中的作用，有利于幫助考生把知識形成網(wǎng)絡(luò)，將方法形成規(guī)律，提高數(shù)學(xué)解題能力.所以每個同學(xué)應(yīng)該熟練掌握數(shù)列解題中的常用方法，在平時的訓(xùn)練中一定要把通法通性當(dāng)作解題的一種習(xí)慣，練好通法通性.只有注重數(shù)學(xué)思想方法，重視通法通性，才能走出茫茫題海，在高考的解題中融會貫通，在中等難度題——數(shù)列的求解上取得突破.

（作者單位：佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅endprint