李 彬，夏 虹

(哈爾濱工程大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150001)

反應(yīng)堆主冷卻劑泵作為核電廠的一個(gè)重要組成部分，其運(yùn)行狀態(tài)直接關(guān)系核電廠的運(yùn)行安全，從第一座核電站運(yùn)行至今，由于主冷卻劑泵的故障引起的核電廠停堆事故達(dá)到多起，造成了重大經(jīng)濟(jì)損失。而作為主冷卻劑泵的一個(gè)主要核心部件——轉(zhuǎn)子的特性直接決定了主泵的運(yùn)行狀態(tài)，所以對轉(zhuǎn)子故障特征的監(jiān)測與識(shí)別能夠及時(shí)有效地保證反應(yīng)堆的安全運(yùn)行以及減少不必要的維護(hù)費(fèi)用。

小波分析方法由于其良好的分析特性己經(jīng)在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷中得到了廣泛應(yīng)用，但是其在工程應(yīng)用中仍然有一個(gè)重要的難題沒有解決——小波基的選擇問題。不同的小波基具有不同的性質(zhì)，對信號(hào)的分析能力也不同，對同一信號(hào)采用不同的小波基得到的結(jié)果也不同［1－3］，在小波應(yīng)用中，多數(shù)采用離散的 db小波或者h(yuǎn)aar小波，也有少部分利用連續(xù)的morlet小波［4］。眾多學(xué)者也積極對這一領(lǐng)域開展研究，例如，Yang等［5］利用最大形狀匹配的原則來確定適合振動(dòng)信號(hào)的小波基，Schukin等［4］利用最小總誤差和時(shí)頻分辨率的規(guī)則來選擇適合沖擊信號(hào)的小波基，但是多數(shù)研究結(jié)果也都只是從某一方面來確定適合特定信號(hào)的小波基。

小波變換后的小波系數(shù)表明了小波與被處理信號(hào)之間的相似程度，如果小波系數(shù)較大，則表明小波和信號(hào)的波形相似程度較大;反之則比較小。所以，本文提出基于小波系數(shù)與信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)的方法來選取合適的小波基。通過對反應(yīng)堆主冷卻劑泵裂紋故障進(jìn)行建模仿真，獲取故障信號(hào)，然后利用選取的小波基信號(hào)進(jìn)行故障特征識(shí)別。

1 最大互相關(guān)系數(shù)法

將任意L2(R)空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換(CWT)，其表達(dá)式為［6］:

我們稱WTf(a，b)為小波系數(shù)，它反映信號(hào)與小波基的相似程度為連續(xù)小波基函數(shù)，通過調(diào)整尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b，可以得到具有不同時(shí)－頻寬度的小波以匹配被測信號(hào)的任意位置，達(dá)到對信號(hào)的時(shí)－頻局部化分析的目的。

小波變換實(shí)質(zhì)上就是分析信號(hào)與小波基在不同尺度上的相似性，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，我們引入了互相關(guān)系數(shù)——用來描述兩個(gè)變量相互之間密切程度的數(shù)字特征量。由于小波系數(shù)能夠描述被測信號(hào)的局部特征，所以其就成為了聯(lián)系小波基與信號(hào)的紐帶，而小波系數(shù)與信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)自然也就能夠刻畫小波基與被測信號(hào)的相似程度，即當(dāng)互相關(guān)系數(shù)絕對值越接近1時(shí)，表示小波基與被測信號(hào)越相似。

結(jié)合互相關(guān)系數(shù)的定義，我們重新給出小波系數(shù)與被測信號(hào)之間互相關(guān)系數(shù)的公式:

其中，N是被測信號(hào)x(n)的序列長度，WT(a，k)是被測信號(hào)x(n)在尺度a上的第k個(gè)小波系數(shù)，WT(a)和—x分別表示為尺度a上的小波系數(shù)和被測信號(hào)的平均值。利用這個(gè)公式，我們能夠計(jì)算出在尺度a上小波系數(shù)與被測信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)，然后，再通過比較不同的小波基與被測信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)，確定使互相關(guān)系數(shù)最大的小波基作為最優(yōu)小波基，我們稱這種方法為最大互相關(guān)系數(shù)法。本文中主要從以下18種小波基中選擇被測信號(hào)的最優(yōu)小波基，它們分別為:haar、meyr、morl、mexh、db2、db4、db6、db8、db10、db12、db16、sym2、sym4、sym6、sym8、coif1、coif2、coif3 等，它們的特點(diǎn)如下表1中所示:

表1 不同小波基函數(shù)的特點(diǎn)Tab.1 Characteristics of different wavelet basis functions

圖1 裂紋模型Fig.1 Model of crack

2 反應(yīng)堆主冷卻劑泵裂紋轉(zhuǎn)子振動(dòng)模型

目前，大多數(shù)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的研究是基于水平轉(zhuǎn)子［7－8］，而反應(yīng)堆主冷卻劑泵一般情況下是垂直安裝，所以要充分考慮軸承和基礎(chǔ)對轉(zhuǎn)子的影響，基于此，本研究結(jié)合有關(guān)裂紋轉(zhuǎn)子的剛度模型［9］(圖1)建立了垂直安裝主泵的裂紋轉(zhuǎn)子－軸承－基礎(chǔ)的振動(dòng)模型，如圖2所示，其中m1為泵體等效質(zhì)量;O1為m1的質(zhì)心;c1為泵體支撐阻尼;k1為泵體支撐剛度;m3為軸等效質(zhì)量;O3為m3的質(zhì)心;m2為等效圓盤質(zhì)量;Oe為等效圓盤質(zhì)心;y表示徑向;O2為軸心;c2為轉(zhuǎn)子阻尼;2kp為轉(zhuǎn)軸剛度。該模型的振動(dòng)微分方程如公式5所示，式中:x、y為各個(gè)等效質(zhì)量的徑向振幅;c、k分別為阻尼和剛度;e為等效圓盤的偏心距;m為各個(gè)等效質(zhì)量;w為軸轉(zhuǎn)速;t為時(shí)間;φ為初始相位角。

圖2 反應(yīng)堆主冷卻劑泵裂紋轉(zhuǎn)子模型Fig.2 Model of the cracked rotor of RCP

在上面的微分方程中，裂紋轉(zhuǎn)子的剛度表示為如下式子:

其中，f(θ)為開關(guān)函數(shù)，其表達(dá)式如下［8］:

在公式(4)和(5)中，θ=wt+φ+β－，其中 可由tan=得到，β為轉(zhuǎn)子偏心方向與裂紋方向的夾角，α可以通過cosα=求出，R、T分別為軸直徑和裂紋深度，k0為無裂紋時(shí)的初始剛度，Δkη、Δkξ為有裂紋時(shí)的剛度變量。R－T

3 主泵轉(zhuǎn)子裂紋故障特征識(shí)別

由于主泵垂直安裝，重力在徑向幾乎不起作用，在動(dòng)撓度遠(yuǎn)大于靜撓度的前提下，可采用開裂紋形式［10］，即開關(guān)函數(shù)f(θ)=1。而由于轉(zhuǎn)子裂紋的出現(xiàn)，使轉(zhuǎn)軸的剛度不對稱，從而引發(fā)非線性振動(dòng)，出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)頻率的1倍、2倍、3倍等高倍分量。

現(xiàn)設(shè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速w=2 200 r/min，m1=200 kg，m2=220 kg，m3=30 kg，c1=4 300 N·s/m，c2=9 300 N·s/m，c3=3 000 N·s/m，k1=5.26×107N/m，k2=2.104 ×108N/m，k3=5 ×107N/m，e=0.2 mm，φ =0，α=，β=0，這里裂紋取在 ξ方向上，kη=2.004×108N/m，kξ=1.8×108N/m。其仿真信號(hào)及其傅里葉變換如圖3和圖4所示，其中采樣頻率為2 000 Hz。從原始信號(hào)的傅里葉變換圖中，可以清晰地看出轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)頻率，其值為36.7 Hz，并不能識(shí)別出裂紋轉(zhuǎn)子的高倍分量故障特征。

圖3 轉(zhuǎn)速2 000 r/min開裂紋信號(hào)Fig.3 The open crack signal at the speed of 2 000 r/min

圖4 信號(hào)傅里葉變換Fig.4 FFT of the signal

下面，我們采用最大互相關(guān)系數(shù)法來選取原始信號(hào)的最優(yōu)小波基。首先，我們利用上面的18種小波基分別與信號(hào)計(jì)算互相關(guān)系數(shù)，如圖5所示。我們?nèi)∑渲谢ハ嚓P(guān)系數(shù)最大的db8小波、互相關(guān)系數(shù)較小的meyer小波以及互相關(guān)系數(shù)與db8較為接近的db12小波這3種代表性的小波分別對信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，并將小波變換結(jié)果以功率譜的形式刻畫出來，如圖6、圖7和圖8，對比分析結(jié)果確定最優(yōu)小波基以及開裂紋信號(hào)的故障特征。

從db8小波的分析圖中可以清晰地分辨出除了作為旋轉(zhuǎn)頻率的1倍頻外，還存在3倍頻與5倍頻(5倍頻的能量相對較小)，因此db8小波能夠識(shí)別出裂紋轉(zhuǎn)子的高倍頻分量，除此之外，隨著尺度的變化，功率譜的光滑性也說明了db8小波在不同尺度上的識(shí)別能力都比較好。meyer小波對信號(hào)的分析結(jié)果如圖7所示，雖然識(shí)別出了3倍頻，但是其沒能識(shí)別出5倍頻，并且，該小波在不同尺度上對故障特征的識(shí)別能力也相差較大。而互相關(guān)系數(shù)與db8相差不大的db12小波，如圖8所顯示的，能夠識(shí)別出3倍頻和5倍頻，但是其在低尺度上的識(shí)別能力較差。所以，作為互相關(guān)系數(shù)最大的db8小波，不僅有效識(shí)別出了裂紋轉(zhuǎn)子的故障特征，而且在不同尺度上都能夠很好地實(shí)現(xiàn)對故障特征的識(shí)別，因此，db8小波可以作為該仿真信號(hào)的最優(yōu)小波基，并且從功率譜上也能夠確定3倍頻是其主要故障特征。

圖5 信號(hào)與不同小波基的互相關(guān)系數(shù)Fig.5 Cross-correlation coefficients between the signal and various wavelet basis

圖6 db8連續(xù)小波變換功率譜Fig.6 Power spectrum of db8 CWT

圖7 meyer連續(xù)小波變換功率譜Fig.7 Power spectrum of meyer CWT

圖8 db12連續(xù)小波變換功率譜Fig.8 Power spectrum of db12 CWT

為了更好地驗(yàn)證最大互相關(guān)系數(shù)法能夠選取分析信號(hào)的最優(yōu)小波基，我們不妨取另一組開裂紋振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，現(xiàn)設(shè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為1 100 r/min，所得到的仿真信號(hào)以及傅里葉變換結(jié)果如圖9、10。

從信號(hào)的傅里葉變換結(jié)果中，我們能夠觀測到，信號(hào)的旋轉(zhuǎn)頻率為18.3 HZ，并且除了旋轉(zhuǎn)頻率外，還存在一個(gè)3倍頻。接下來，我們采用最大互相關(guān)系數(shù)法計(jì)算信號(hào)與不同小波基的互相關(guān)系數(shù)，如圖11所示，系數(shù)最大的為mexh小波。我們?nèi)匀贿x取與mexh小波較為接近的coif1小波以及互相關(guān)系數(shù)最小的db10對信號(hào)進(jìn)行分析對比，結(jié)果如圖12、13和14所示，mexh小波不僅能夠識(shí)別信號(hào)的旋轉(zhuǎn)頻率和3倍頻，而且識(shí)別出了5倍頻以及7倍頻(能量較小)，并且在各個(gè)尺度上，都有較好的識(shí)別能力。coif1小波雖然也能夠識(shí)別出信號(hào)的3倍頻、5倍頻以及7倍頻，但是隨著尺度的增加，其識(shí)別能力變差，而db10小波的分析結(jié)果明顯較差。

因此，作為互相關(guān)系數(shù)最大的mexh小波，不僅能夠識(shí)別裂紋信號(hào)的3倍頻、5倍頻等故障特征，而且其在不同尺度上都具有較好的識(shí)別能力，所以，mexh小波可以作為該仿真信號(hào)的最優(yōu)小波基，此外，從小波分析結(jié)果中，我們也能夠得出3倍頻是該振動(dòng)信號(hào)的主要故障特征。

圖9 轉(zhuǎn)速1 100 r/min開裂紋信號(hào)Fig.9 The open crack signal at the speed of 1 100 r/min

圖10 信號(hào)傅里葉變換Fig.10 FFT of the signal

圖11 信號(hào)與不同小波基的互相關(guān)系數(shù)Fig.11 Cross-correlation coefficients between the signal and various wavelet basis

圖12 mexh連續(xù)小波變換功率譜Fig.12 Power spectrum of mexh CWT

圖13 coif1連續(xù)小波變換功率譜Fig.13 Power spectrum of coif1 CWT

圖14 db10連續(xù)小波變換功率譜Fig.14 Power spectrum of db10 CWT

4 結(jié)論

本文基于主冷卻劑泵的裂紋轉(zhuǎn)子的振動(dòng)仿真模型，通過從小波基庫中選取18種不同的小波基，分別計(jì)算這些小波基與兩組不同轉(zhuǎn)速的開裂紋故障信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)，并選取3種具有代表性的小波基分別對故障信號(hào)進(jìn)行小波變換，從分析結(jié)果中可以得出:

(1)最大互相關(guān)系數(shù)法能夠?qū)崿F(xiàn)兩組不同轉(zhuǎn)速的開裂紋故障信號(hào)的最優(yōu)小波基，分別為db8與mexh小波;

(2)在該仿真模型下，雖然轉(zhuǎn)速不同，但是轉(zhuǎn)子開裂紋信號(hào)的主要故障特征頻率都是3倍頻。

由于本文只是從18種不同的小波基中選取信號(hào)的最優(yōu)小波基，所以在小波基的選擇范圍上還有待擴(kuò)展。此外，只考慮了開裂紋故障信號(hào)，并沒有將噪聲的影響考慮在內(nèi)，所以今后還需要進(jìn)行更加深入的探討研究。

［1］鄭鈞，侯銳鋒.小波去噪中小波基的選擇［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21(2):108－110.ZHENG Jun，HOU Rui-feng.Selection of wavelet base in denoising of wavelet transform［J］.Journal of Shenyang University，2009，21(2):108 －110.

［2］孔國杰，張培林，徐龍?zhí)茫?信號(hào)奇異性檢測中的小波基選擇及其工程應(yīng)用［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009，28(4):542－545.KONG Guo-jie，ZHANG Pei-lin，XU Long-tang，et al.Selection of wavelet base in signal singularity detection and its application［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2009，28(4):542 －545.

［3］田幕玲，王曉玲.電機(jī)故障診斷中的小波分析方法及小波基選?。跩］.煤礦機(jī)械，2007，28(5):176－178.TIAN Mu-ling，WANG Xiao-ling.Wavelet analysis method applied in fault diagnosis of motor and selection of wavelet base［J］.Coal Mine Machinery，2007，28(5):176 － 178.

［4］ Schukin E L，Zamaraev R U，Schukin L I，The optimization of wavelet transform for the impulsive analysis in vibration signals［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2004，18(6):1315 －1333.

［5］Yang W X，Ren X M，Detecting impulses in mechanical signals by wavelets［J］.EURASIP Journal on Applied Signal Processing，2004，8:1156 －1162.

［6］楊建國.小波分析及其工程應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2005.6.

［7］聞邦椿，顧家柳，夏松波，等.高等轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1998.

［8］楊丹，甘春標(biāo)，楊世錫，等.含橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子剛度及動(dòng)力學(xué)特性研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(15):121－126.YANG Dan，GAN Chun-biao，YANG Shi-xi，etl.Stiffness and dynamical behavior of Jeffcott rotor with cross crack［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(15):121 －126.

［9］高建民，朱曉梅.轉(zhuǎn)軸上裂紋開閉模型的研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，1992，9(1):108 －112.GAO Jian-min，ZHU Xiao-mei.Study on the Model of the shaft crack opening and closing［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1992，9(1):108 －112.

［10］夏虹，黃華，陳志輝，等.基于頻率補(bǔ)償小波的屏蔽主泵裂紋轉(zhuǎn)子識(shí)別［J］.原子能科學(xué)技術(shù)，2010，44(7):841－847.XIA Hong，HUANG Hua，CHEN Zhi-hui.Identification of cracked rotor of canned motor pump based on wavelet analysis of frequency compensation［J］.Atomic Energy Science and Technology，2010，44(7):841 －847.