劉自新，王 森

（大連大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

三角范數(shù)是取值于[0,1]上的二元函數(shù)，它首先是由Menger于1942年在研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)提出的[1]，20世紀(jì)60年代，Schweizer和Sklar在研究概率度量空間時(shí)也涉及到三角范數(shù)和三角余范數(shù)的概念[2,3]，1998年E.P.Klement和R.Mesiar對(duì)三角范數(shù)的概念進(jìn)行了新的闡述，并對(duì)其作了較系統(tǒng)的研究[4]。三角范數(shù)理論在概率論、決策論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、博弈論、函數(shù)方程等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用價(jià)值[5-6]。

模糊集和凸模糊集的概念是1965年由L A Zadeh首先提出來(lái)的[7]，其后一些學(xué)者在Zadeh定義的基礎(chǔ)上進(jìn)行了擴(kuò)展研究，1971年 Rosenfeld[8]提出了模糊群的概念，1979年Anthony和Sherwood[9]用T-范數(shù)對(duì)模糊群重新進(jìn)行了定義，此后眾多學(xué)者又據(jù)此得到了模糊子群的若干性質(zhì)。1977年 Katsaras和 Liu[10]提出了向量空間的模糊子空間的概念。文獻(xiàn)[11]中用T-范數(shù)推廣了凸模糊集和模糊子空間的研究成果。1986年K.Atanassov[12]在模糊集定義的基礎(chǔ)上，提出了直覺(jué)模糊集的概念，許多學(xué)者對(duì)直覺(jué)模糊集的理論和應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究，使直覺(jué)模糊集理論得到了快速的發(fā)展。文獻(xiàn)[13,14]中提出了直覺(jué)模糊子空間和直覺(jué)模糊仿射空間的概念，并對(duì)有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了討論。本文將文獻(xiàn)[13,14]中所用的算子進(jìn)行了推廣，用T -范數(shù)和S-范數(shù)給出了凸直覺(jué)模糊集和直覺(jué)模糊子空間、直覺(jué)模糊仿射集的定義，并討論了它們之間的關(guān)系，所以本文也是對(duì)文獻(xiàn)[13-14]的繼續(xù)深入和推廣。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè) ?a,b,c,d∈[0,1]， 如 果 映 射T:[0,1]×[0,1]→ [0,1]， 滿 足 條 件(1)T(a,b) =T(b,a)；(2)T(T(a,b),c) =T(a,T(b,c))；(3)a≤c,b≤d?T(a,b) ≤T(c,d)； (4)T( 1,a) =a，則稱T為T-范數(shù)。如果映射S:[0,1]×[0,1]→ [0,1]， 滿 足 條 件(1)S(a,b) =S(b,a)；(2)S(S(a,b),c) =S(a,S(b,c))；(3)a≤c,b≤d?S(a,b) ≤S(c,d)； (4)S(a, 0)=a，則稱S為T-余范數(shù),或稱為S-范數(shù)。顯然，min{a,b}為最大的T-范數(shù)，而max{a,b}為最小的S -范數(shù)。設(shè)N: [0,1]→ [0,1]且對(duì)任意a∈[0,1]，N(a) = 1 ?a，則稱N 為[0,1]上的偽補(bǔ)。在偽補(bǔ)的定義下，如果已知一個(gè)T-范數(shù)，容易證明S(a,b) = 1 ?T( 1 ?a, 1?b為S-范數(shù)，而如果已知一個(gè)S-范數(shù)，則T(a,b) = 1 ?S( 1 ?a, 1 ?b)為T-范數(shù)，稱此時(shí)的S -范數(shù)和T-范數(shù)為對(duì)偶范數(shù)。

集合A= {(x, μA(x) )|x∈X}稱為論域X上的一個(gè)模糊子集[7]，其中μA( ·):X→[0,1]稱為模糊子集A 的隸屬函數(shù)，在不致誤解的情況下，模糊子集A和它的隸屬函數(shù)μA(x)將不加區(qū)分，同時(shí)模糊子集也常簡(jiǎn)稱為模糊集。對(duì)任意λ∈[0,1]，x,y∈X，如果 μA(λx+ ( 1 ? λ )y) ≥ min{μA(x) ,μA(y)}，則稱A 為 凸 模 糊 集 ； 如 果μA(λx+ (1 ?λ)y) ≤ max{μA(x) ,μA(y)}，則稱A 為凹模糊集。設(shè)*表示一個(gè)T-范數(shù)，模糊集μ:Rn→[0,1]稱為*-凸模糊集[11]，如果對(duì)任意x,y∈Rn，λ∈[0,1]，都有μ(λx+ ( 1 ?λ)y) ≥μ(x) *μ(y)，稱A=(X,μA,νA)為X 上的一個(gè)直覺(jué)模糊集[12]，如果μA:X→[0,1]，νA:X→[0,1]為兩個(gè)映射且μA(x) +νA(x) ≤ 1，?x∈X。為簡(jiǎn)便，記直覺(jué)模糊集A=(μA,νA)。論域X上的所有直覺(jué)模糊集記為IF(X)。設(shè)A∈IF(X)，若至少存在一點(diǎn)x∈X，使得μA(x) = 1，νA(x) = 0，則稱A為正規(guī)的直覺(jué)模糊集。設(shè)A=(μA,νA)，如果μA為X上的凸模糊集且vA為X 上的凹模糊集，則稱A 為X上的凸直覺(jué)模糊集[15]。

2 (T, S )-凸直覺(jué)模糊集

定義2.1

設(shè)A= (μA,νA)∈IF(X)，T,S為對(duì)偶范數(shù)，若對(duì)?x,y∈Rn，t∈[0,1]，都有

則稱A 為(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。

特別地，如果S=∨，T=∧，則稱A 為(∧,∨)-凸直覺(jué)模糊集。

顯然，(∧,∨)-凸直覺(jué)模糊集一定是(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。

R 上每個(gè)正規(guī)的(T,S)-凸直覺(jué)模糊集都是(∧,∨)-凸直覺(jué)模糊集。

定理2.1

對(duì)兩個(gè)(T,S)-凸直覺(jué)模糊集A,B，定義(T(μA,μB) ,S(νA,νB))為:

證明：

假設(shè)(μi,νi)，1≤i≤n是R 上(T,S)-凸直覺(jué)模糊 集 序 列 ，(x1,… ,xn)∈Rn， 定 義(λ,μ) :Rn→ [0 ,1]×[0,1]為

定理2.2

則(λ,μ)為Rn上的(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。

證明：由定理2.1及數(shù)學(xué)歸納法可證。

定理2.3

(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。

證明：

設(shè)(x, y) ∈ Rn，t∈[0,1]。對(duì)所有i∈ I，都有

即(∧iμi∈I, ∨i∈Iνi)為(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。

定理2.4

假設(shè)A 是一個(gè)(T,S)-凸直覺(jué)模糊集，為非負(fù)實(shí)數(shù)有限序列且，則

證明：

當(dāng)r=1和r=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。

假設(shè)r = k時(shí)不等式成立。

即r=k+1時(shí)不等式也成立。

3 (T, S )-直覺(jué)模糊子空間

定義3.1

Rn上的一個(gè)直覺(jué)模糊集A 稱為(T,S)-直覺(jué)模糊子空間，如果對(duì)?x,y∈Rn，?a,b∈R，有

定理3.1

x∈ Rn

(2)μA(ax) = μA(x) ,νA(ax) = νA(x)，a為非零實(shí)數(shù)，

(3)A為(T,S)-凸直覺(jué)模糊集，

則A 為(T,S)-直覺(jué)模糊子空間。

如果A為正規(guī)的直覺(jué)模糊集，則定理的必要性成立。

如果一個(gè)直覺(jué)模糊集A滿足下面的條件：

證明：

設(shè)直覺(jué)模糊集A滿足條件(1)～(3)。

令x,y∈Rn，a, b ∈ R+，則

因 為 對(duì)x∈Rn， 有 μ(?x) = μ(x),

A

A νA(?x) = νA(x)，所以上述不等式在a,b∈R?時(shí)也成立。

同樣，當(dāng)a· b＜0時(shí)也成立。

如果a=b=0，我們有

因此A 是(T,S)-直覺(jué)模糊子空間。

如果A 為正規(guī)的直覺(jué)模糊集，則存在y' ∈Rn，有μA(y')=1,νA(y') = 0。

條件3是顯然的。

在(T,S)-直覺(jué)模糊子空間的定義中，令b= 0 ,y=y'，有

顯然，對(duì)所有x∈Rn，非零實(shí)數(shù)a有

從而條件2成立。

令a=b= 0 ,y=y'，則對(duì)任意x，

由此可得，μA(0)=1,νA( 0) = 0，故條件1成立。

定義3.2

設(shè)z∈Rn,z + A表示直覺(jué)模糊集A的平移，對(duì)任意x∈Rn，定義

定義3.3

設(shè)A 為直覺(jué)模糊集，如果對(duì)?x,y∈Rn，t∈R,都有

則稱A 為一個(gè)(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集。

定理3.2

(1)如果A 為(T,S)-直覺(jué)模糊子空間，則其平移是(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集。

(2)每個(gè)正規(guī)的(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集的平移是一個(gè)(T,S)-直覺(jué)模糊子空間。

證明:

(1)設(shè)A 為(T,S)-直覺(jué)模糊子空間，則對(duì)?x,y∈Rn，z0∈Rn,t∈R，

由定義3.3知，A為(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集。

(2)設(shè)A 為Rn上的正規(guī)的直覺(jué)模糊仿射集，則存在y' ∈Rn，使μA(y')=1,νA(y') = 0。

對(duì)任意x∈Rn，定義B= ?y' +A。設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，則

由此可推得μB(ax) = μB(x)，νB(ax) = νB(x)。

由(1)知，B 是(T,S)-凸直覺(jué)模糊集。再由定理3.1知，B 是(T,S)-直覺(jué)模糊子空間。

4 結(jié)論

本文用T -范數(shù)和S -范數(shù)定義了(T,S)-凸直覺(jué)模糊集，(T,S)-直覺(jué)模糊子空間和(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集，并討論了(T,S)-凸直覺(jué)模糊集的一些性質(zhì)，(T,S)-直覺(jué)模糊子空間和(T,S)-直覺(jué)模糊仿射集之間的關(guān)系。這些結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[13,14]的繼續(xù)深入和推廣。

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