廖支斌

那是一次令人難忘的學(xué)生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點(diǎn)的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因?yàn)橹本€與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點(diǎn)，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.

乙同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設(shè)知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結(jié)束，我與同學(xué)們進(jìn)行了對(duì)話：

教師：兩種答案擺在了同學(xué)們面前，哪位同學(xué)的解答正確呢？

學(xué)生（異口同聲地）說：甲（這時(shí)，我看到乙同學(xué)的頭慢慢低了下去）.我及時(shí)調(diào)節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學(xué)生.

教師：哪位同學(xué)的解法簡捷呢？

學(xué)生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學(xué)的解法（這時(shí)乙同學(xué)的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯(cuò)了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯(cuò)了，還談什么簡捷！學(xué)生嘩然哄笑.

教師：乙同學(xué)的解法的確簡捷，但錯(cuò)在哪里呢？將問題再次拋給學(xué)生.學(xué)生分小組研究討論……

過了一會(huì)，丙同學(xué)站起來說：我按乙同學(xué)得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點(diǎn)，故以點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.（一片掌聲）但有的學(xué)生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時(shí)丁同學(xué)上講臺(tái)一邊畫圖，一邊進(jìn)行了解釋：直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，當(dāng)然就不存在以B（1，1）為中點(diǎn)的弦.這時(shí)，我就抓住難得鍛煉學(xué)生思維的契機(jī)，提出：將點(diǎn)改為A（2，1），以A為中點(diǎn)的弦存在嗎？請(qǐng)同學(xué)們用乙同學(xué)的解法并結(jié)合丙同學(xué)的補(bǔ)充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點(diǎn)的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對(duì)于點(diǎn)在曲線開口內(nèi)時(shí)，以此點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，但對(duì)于點(diǎn)在雙曲線的外部（不含焦點(diǎn)的區(qū)域）時(shí)的弦有可能不存在，因此，對(duì)于求得的直線要進(jìn)行檢驗(yàn).

教師：看來，乙同學(xué)的解法是個(gè)妙極的方法.他給了我們一個(gè)很好的啟示，若檢驗(yàn)一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個(gè)“設(shè)點(diǎn)而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學(xué)對(duì)乙投向了贊許的目光（這時(shí)我發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)會(huì)心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學(xué)不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實(shí)展示.這種解法獨(dú)辟蹊徑，獨(dú)創(chuàng)新穎.他雖錯(cuò)猶“榮”，給了我們解決與”中點(diǎn)”有關(guān)的問題解法的有益補(bǔ)充.（當(dāng)我的目光再次觸及他時(shí)，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學(xué)上數(shù)學(xué)課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對(duì)數(shù)學(xué)也是“情有獨(dú)鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚(yáng)”自我，對(duì)有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨(dú)到之處.他的數(shù)學(xué)成績逐步提高，還積極報(bào)名參加了數(shù)學(xué)興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學(xué)習(xí)，參加全國數(shù)學(xué)奧賽獲得了全國一等獎(jiǎng)，免試進(jìn)入了華中科技大學(xué).他工作后的第一個(gè)春節(jié)來看望我時(shí)，仍然談到了那次板演評(píng)價(jià)，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學(xué)習(xí)狀況，令他永生難忘.

反思：走進(jìn)我們的課堂，學(xué)生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神.也有的教師常常對(duì)學(xué)生的種種創(chuàng)新（當(dāng)然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤，是一種來源于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)本身，具有特殊教育作用的學(xué)習(xí)材料.

1.及時(shí)捕捉“錯(cuò)誤”，建構(gòu)正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

心理學(xué)家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”因此，教師要獨(dú)具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯(cuò)誤，引導(dǎo)他們分析掌握其錯(cuò)誤思想的運(yùn)行軌跡，摸清其錯(cuò)誤源頭，對(duì)“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構(gòu)起正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.認(rèn)真剖析“錯(cuò)誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因是多方面的，但學(xué)生的“錯(cuò)解”往往就是他真實(shí)思維的流露，而也只有這種真實(shí)的思維才是學(xué)生自己的東西，才是學(xué)生能保持長久的東西.教師一定要認(rèn)真剖析學(xué)生“錯(cuò)解”中合理的成分，哪怕只是一小點(diǎn)，也要予以充分肯定和贊賞，以保護(hù)學(xué)生的自尊、樹立學(xué)生的自信.對(duì)學(xué)生勇于展示錯(cuò)誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對(duì)錯(cuò)誤給其他學(xué)生帶來的經(jīng)驗(yàn)或提示表示感謝，讓本以為錯(cuò)誤的信息表現(xiàn)出它的價(jià)值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎(chǔ)上做些補(bǔ)救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯(cuò)誤”，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維.

要讓學(xué)生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時(shí)間讓學(xué)生暴露思維過程，及時(shí)挖掘其中的價(jià)值.創(chuàng)新思維是指一個(gè)人在已有經(jīng)驗(yàn)和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎(chǔ)上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學(xué)生的錯(cuò)誤，挖掘錯(cuò)誤中蘊(yùn)含的創(chuàng)新因素，適時(shí)適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，能幫助學(xué)生突破眼前的思維障礙，進(jìn)入創(chuàng)新求異的新境界，讓學(xué)生體驗(yàn)思維的價(jià)值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯(cuò)誤”，提高學(xué)生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學(xué)生真正參與到知識(shí)的探索中，不能以教師的教代替學(xué)生的學(xué)，要讓學(xué)生親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成功與失?。灰惨鹬貙W(xué)生的思維選擇，不要讓學(xué)生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學(xué)生的思維軌跡，拓展學(xué)生的思維，特別是學(xué)生提出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案的獨(dú)特想法時(shí)，要尊重學(xué)生的選擇，沿著學(xué)生的思路前進(jìn)，而不是一味地摒棄，毫無道理地強(qiáng)行納入自己的思維軌道.

總之，學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)過程中，總會(huì)有一些認(rèn)識(shí)上的偏差，對(duì)于學(xué)生生成的錯(cuò)誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數(shù)學(xué)的角度上重新審視，挖掘其內(nèi)在的“閃光點(diǎn)”，靈活地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，最大限度地發(fā)揮學(xué)生錯(cuò)誤的作用，為學(xué)生創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，為學(xué)生的成長與發(fā)展提供新的教育契機(jī)，給我們的數(shù)學(xué)課堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人難忘的學(xué)生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點(diǎn)的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因?yàn)橹本€與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點(diǎn)，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.

乙同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設(shè)知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結(jié)束，我與同學(xué)們進(jìn)行了對(duì)話：

教師：兩種答案擺在了同學(xué)們面前，哪位同學(xué)的解答正確呢？

學(xué)生（異口同聲地）說：甲（這時(shí)，我看到乙同學(xué)的頭慢慢低了下去）.我及時(shí)調(diào)節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學(xué)生.

教師：哪位同學(xué)的解法簡捷呢？

學(xué)生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學(xué)的解法（這時(shí)乙同學(xué)的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯(cuò)了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯(cuò)了，還談什么簡捷！學(xué)生嘩然哄笑.

教師：乙同學(xué)的解法的確簡捷，但錯(cuò)在哪里呢？將問題再次拋給學(xué)生.學(xué)生分小組研究討論……

過了一會(huì)，丙同學(xué)站起來說：我按乙同學(xué)得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點(diǎn)，故以點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.（一片掌聲）但有的學(xué)生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時(shí)丁同學(xué)上講臺(tái)一邊畫圖，一邊進(jìn)行了解釋：直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，當(dāng)然就不存在以B（1，1）為中點(diǎn)的弦.這時(shí)，我就抓住難得鍛煉學(xué)生思維的契機(jī)，提出：將點(diǎn)改為A（2，1），以A為中點(diǎn)的弦存在嗎？請(qǐng)同學(xué)們用乙同學(xué)的解法并結(jié)合丙同學(xué)的補(bǔ)充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點(diǎn)的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對(duì)于點(diǎn)在曲線開口內(nèi)時(shí)，以此點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，但對(duì)于點(diǎn)在雙曲線的外部（不含焦點(diǎn)的區(qū)域）時(shí)的弦有可能不存在，因此，對(duì)于求得的直線要進(jìn)行檢驗(yàn).

教師：看來，乙同學(xué)的解法是個(gè)妙極的方法.他給了我們一個(gè)很好的啟示，若檢驗(yàn)一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個(gè)“設(shè)點(diǎn)而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學(xué)對(duì)乙投向了贊許的目光（這時(shí)我發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)會(huì)心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學(xué)不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實(shí)展示.這種解法獨(dú)辟蹊徑，獨(dú)創(chuàng)新穎.他雖錯(cuò)猶“榮”，給了我們解決與”中點(diǎn)”有關(guān)的問題解法的有益補(bǔ)充.（當(dāng)我的目光再次觸及他時(shí)，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學(xué)上數(shù)學(xué)課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對(duì)數(shù)學(xué)也是“情有獨(dú)鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚(yáng)”自我，對(duì)有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨(dú)到之處.他的數(shù)學(xué)成績逐步提高，還積極報(bào)名參加了數(shù)學(xué)興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學(xué)習(xí)，參加全國數(shù)學(xué)奧賽獲得了全國一等獎(jiǎng)，免試進(jìn)入了華中科技大學(xué).他工作后的第一個(gè)春節(jié)來看望我時(shí)，仍然談到了那次板演評(píng)價(jià)，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學(xué)習(xí)狀況，令他永生難忘.

反思：走進(jìn)我們的課堂，學(xué)生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神.也有的教師常常對(duì)學(xué)生的種種創(chuàng)新（當(dāng)然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤，是一種來源于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)本身，具有特殊教育作用的學(xué)習(xí)材料.

1.及時(shí)捕捉“錯(cuò)誤”，建構(gòu)正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

心理學(xué)家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”因此，教師要獨(dú)具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯(cuò)誤，引導(dǎo)他們分析掌握其錯(cuò)誤思想的運(yùn)行軌跡，摸清其錯(cuò)誤源頭，對(duì)“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構(gòu)起正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.認(rèn)真剖析“錯(cuò)誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因是多方面的，但學(xué)生的“錯(cuò)解”往往就是他真實(shí)思維的流露，而也只有這種真實(shí)的思維才是學(xué)生自己的東西，才是學(xué)生能保持長久的東西.教師一定要認(rèn)真剖析學(xué)生“錯(cuò)解”中合理的成分，哪怕只是一小點(diǎn)，也要予以充分肯定和贊賞，以保護(hù)學(xué)生的自尊、樹立學(xué)生的自信.對(duì)學(xué)生勇于展示錯(cuò)誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對(duì)錯(cuò)誤給其他學(xué)生帶來的經(jīng)驗(yàn)或提示表示感謝，讓本以為錯(cuò)誤的信息表現(xiàn)出它的價(jià)值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎(chǔ)上做些補(bǔ)救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯(cuò)誤”，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維.

要讓學(xué)生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時(shí)間讓學(xué)生暴露思維過程，及時(shí)挖掘其中的價(jià)值.創(chuàng)新思維是指一個(gè)人在已有經(jīng)驗(yàn)和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎(chǔ)上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學(xué)生的錯(cuò)誤，挖掘錯(cuò)誤中蘊(yùn)含的創(chuàng)新因素，適時(shí)適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，能幫助學(xué)生突破眼前的思維障礙，進(jìn)入創(chuàng)新求異的新境界，讓學(xué)生體驗(yàn)思維的價(jià)值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯(cuò)誤”，提高學(xué)生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學(xué)生真正參與到知識(shí)的探索中，不能以教師的教代替學(xué)生的學(xué)，要讓學(xué)生親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成功與失?。灰惨鹬貙W(xué)生的思維選擇，不要讓學(xué)生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學(xué)生的思維軌跡，拓展學(xué)生的思維，特別是學(xué)生提出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案的獨(dú)特想法時(shí)，要尊重學(xué)生的選擇，沿著學(xué)生的思路前進(jìn)，而不是一味地摒棄，毫無道理地強(qiáng)行納入自己的思維軌道.

總之，學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)過程中，總會(huì)有一些認(rèn)識(shí)上的偏差，對(duì)于學(xué)生生成的錯(cuò)誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數(shù)學(xué)的角度上重新審視，挖掘其內(nèi)在的“閃光點(diǎn)”，靈活地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，最大限度地發(fā)揮學(xué)生錯(cuò)誤的作用，為學(xué)生創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，為學(xué)生的成長與發(fā)展提供新的教育契機(jī)，給我們的數(shù)學(xué)課堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人難忘的學(xué)生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點(diǎn)的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因?yàn)橹本€與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點(diǎn)，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.

乙同學(xué)的解法：假設(shè)以B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設(shè)知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點(diǎn)，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結(jié)束，我與同學(xué)們進(jìn)行了對(duì)話：

教師：兩種答案擺在了同學(xué)們面前，哪位同學(xué)的解答正確呢？

學(xué)生（異口同聲地）說：甲（這時(shí)，我看到乙同學(xué)的頭慢慢低了下去）.我及時(shí)調(diào)節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學(xué)生.

教師：哪位同學(xué)的解法簡捷呢？

學(xué)生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學(xué)的解法（這時(shí)乙同學(xué)的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯(cuò)了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯(cuò)了，還談什么簡捷！學(xué)生嘩然哄笑.

教師：乙同學(xué)的解法的確簡捷，但錯(cuò)在哪里呢？將問題再次拋給學(xué)生.學(xué)生分小組研究討論……

過了一會(huì)，丙同學(xué)站起來說：我按乙同學(xué)得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點(diǎn)，故以點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在.（一片掌聲）但有的學(xué)生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時(shí)丁同學(xué)上講臺(tái)一邊畫圖，一邊進(jìn)行了解釋：直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，當(dāng)然就不存在以B（1，1）為中點(diǎn)的弦.這時(shí)，我就抓住難得鍛煉學(xué)生思維的契機(jī)，提出：將點(diǎn)改為A（2，1），以A為中點(diǎn)的弦存在嗎？請(qǐng)同學(xué)們用乙同學(xué)的解法并結(jié)合丙同學(xué)的補(bǔ)充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點(diǎn)的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對(duì)于點(diǎn)在曲線開口內(nèi)時(shí)，以此點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，但對(duì)于點(diǎn)在雙曲線的外部（不含焦點(diǎn)的區(qū)域）時(shí)的弦有可能不存在，因此，對(duì)于求得的直線要進(jìn)行檢驗(yàn).

教師：看來，乙同學(xué)的解法是個(gè)妙極的方法.他給了我們一個(gè)很好的啟示，若檢驗(yàn)一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個(gè)“設(shè)點(diǎn)而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學(xué)對(duì)乙投向了贊許的目光（這時(shí)我發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)會(huì)心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學(xué)不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實(shí)展示.這種解法獨(dú)辟蹊徑，獨(dú)創(chuàng)新穎.他雖錯(cuò)猶“榮”，給了我們解決與”中點(diǎn)”有關(guān)的問題解法的有益補(bǔ)充.（當(dāng)我的目光再次觸及他時(shí)，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學(xué)上數(shù)學(xué)課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對(duì)數(shù)學(xué)也是“情有獨(dú)鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚(yáng)”自我，對(duì)有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨(dú)到之處.他的數(shù)學(xué)成績逐步提高，還積極報(bào)名參加了數(shù)學(xué)興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學(xué)習(xí)，參加全國數(shù)學(xué)奧賽獲得了全國一等獎(jiǎng)，免試進(jìn)入了華中科技大學(xué).他工作后的第一個(gè)春節(jié)來看望我時(shí)，仍然談到了那次板演評(píng)價(jià)，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學(xué)習(xí)狀況，令他永生難忘.

反思：走進(jìn)我們的課堂，學(xué)生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)精神.也有的教師常常對(duì)學(xué)生的種種創(chuàng)新（當(dāng)然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯(cuò)誤”.學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤，是一種來源于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)本身，具有特殊教育作用的學(xué)習(xí)材料.

1.及時(shí)捕捉“錯(cuò)誤”，建構(gòu)正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

心理學(xué)家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過最富有成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”因此，教師要獨(dú)具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯(cuò)誤，引導(dǎo)他們分析掌握其錯(cuò)誤思想的運(yùn)行軌跡，摸清其錯(cuò)誤源頭，對(duì)“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構(gòu)起正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.認(rèn)真剖析“錯(cuò)誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因是多方面的，但學(xué)生的“錯(cuò)解”往往就是他真實(shí)思維的流露，而也只有這種真實(shí)的思維才是學(xué)生自己的東西，才是學(xué)生能保持長久的東西.教師一定要認(rèn)真剖析學(xué)生“錯(cuò)解”中合理的成分，哪怕只是一小點(diǎn)，也要予以充分肯定和贊賞，以保護(hù)學(xué)生的自尊、樹立學(xué)生的自信.對(duì)學(xué)生勇于展示錯(cuò)誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對(duì)錯(cuò)誤給其他學(xué)生帶來的經(jīng)驗(yàn)或提示表示感謝，讓本以為錯(cuò)誤的信息表現(xiàn)出它的價(jià)值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎(chǔ)上做些補(bǔ)救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯(cuò)誤”，激活學(xué)生的創(chuàng)新思維.

要讓學(xué)生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時(shí)間讓學(xué)生暴露思維過程，及時(shí)挖掘其中的價(jià)值.創(chuàng)新思維是指一個(gè)人在已有經(jīng)驗(yàn)和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎(chǔ)上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學(xué)生的錯(cuò)誤，挖掘錯(cuò)誤中蘊(yùn)含的創(chuàng)新因素，適時(shí)適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，能幫助學(xué)生突破眼前的思維障礙，進(jìn)入創(chuàng)新求異的新境界，讓學(xué)生體驗(yàn)思維的價(jià)值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯(cuò)誤”，提高學(xué)生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學(xué)生真正參與到知識(shí)的探索中，不能以教師的教代替學(xué)生的學(xué)，要讓學(xué)生親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)的成功與失?。灰惨鹬貙W(xué)生的思維選擇，不要讓學(xué)生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學(xué)生的思維軌跡，拓展學(xué)生的思維，特別是學(xué)生提出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案的獨(dú)特想法時(shí)，要尊重學(xué)生的選擇，沿著學(xué)生的思路前進(jìn)，而不是一味地摒棄，毫無道理地強(qiáng)行納入自己的思維軌道.

總之，學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)過程中，總會(huì)有一些認(rèn)識(shí)上的偏差，對(duì)于學(xué)生生成的錯(cuò)誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數(shù)學(xué)的角度上重新審視，挖掘其內(nèi)在的“閃光點(diǎn)”，靈活地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，最大限度地發(fā)揮學(xué)生錯(cuò)誤的作用，為學(xué)生創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，為學(xué)生的成長與發(fā)展提供新的教育契機(jī)，給我們的數(shù)學(xué)課堂注入新的生命力.endprint