詹欣豪+何小亞

1前言

數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的數(shù)學(xué)演繹證明方法.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)方法很重要，對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)有幫助，對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的性質(zhì)也有裨益，同時(shí)可以幫助我們深思.”[1]法國(guó)數(shù)學(xué)家H.Poincare同樣十分推崇數(shù)學(xué)歸納法，稱(chēng)它是“數(shù)學(xué)中全部?jī)?yōu)點(diǎn)的根源”，并認(rèn)為這個(gè)有限到無(wú)限的飛躍，既超越了經(jīng)驗(yàn)的歸納，也超越了純粹的演繹.

數(shù)學(xué)歸納法有許多形式，比如第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、倒推數(shù)學(xué)歸納法，等等.在基礎(chǔ)教育階段，只要求學(xué)生學(xué)習(xí)第一數(shù)學(xué)歸納法.一直以來(lái)，世界各國(guó)的課程都將數(shù)學(xué)歸納法列為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容：

2003年，我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生：“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.”[2]

1989年，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）要求學(xué)生更加關(guān)注數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)樗请x散數(shù)學(xué)中很重要的一種證明方法[3].2000年，NCTM在其修訂的標(biāo)準(zhǔn)中，要求學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法原理去證明一些特定類(lèi)型的題目，因?yàn)榉磸?fù)演算和遞推方法的應(yīng)用很廣泛[4].

2009年，日本高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)要求學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法，用其來(lái)證明簡(jiǎn)單的命題，并活用于事物現(xiàn)象的考察[5].

Bourbaki指出，單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，卻沒(méi)有試圖洞察獲取這一連串推導(dǎo)的背后意念，并不算理解了那個(gè)數(shù)學(xué)證明.

數(shù)學(xué)歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來(lái)，共經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間.與數(shù)學(xué)歸納法漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程相比，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用似乎顯得駕輕就熟.這背后，學(xué)生究竟是只知道“兩步一結(jié)論”的程式化操作，還是真正理解和掌握了原理呢？

2數(shù)學(xué)歸納法難在何處

數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)是一個(gè)世界難題，中外的研究[6—8]表明，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)歸納法時(shí)面臨著許多心理困難，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）分不清數(shù)學(xué)歸納法與歸納法；

（2）難以認(rèn)同把無(wú)限步的三段論推理轉(zhuǎn)化為有限步的驗(yàn)證；

（3）不理解“假設(shè)結(jié)論成立，然后再去證明結(jié)論成立”；

（4）不理解兩個(gè)步驟的必要性；

（5）“奠基”的初值與歸納假設(shè)要求的初值脫節(jié)；

（6）遞推關(guān)系證明的數(shù)學(xué)困難.

其中，尤以（3）為甚，學(xué)生面臨的心理困難是：第二步的證明過(guò)程整個(gè)建立在一個(gè)命題p（k）上，而它本身未被預(yù)先證明，并且在推理過(guò)程中不加以證明.實(shí)際上，該心理困難與理解“蘊(yùn)含關(guān)系”存在密切的關(guān)系，其本質(zhì)在于：證明所關(guān)注的不是p（k）和p（k+1）是否分別成立，而是它們之間是否存有蘊(yùn)含關(guān)系，即該蘊(yùn)含關(guān)系的真值是否為真與p（k）和p（k+1）是否成立沒(méi)有關(guān)系.

3理解困難的原因

3.1演繹證明思維方式的負(fù)遷移

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前所進(jìn)行的論證，其證明思路和表達(dá)方式都類(lèi)似于日常生活中的推理，即：①?gòu)哪硞€(gè)事實(shí)出發(fā)，去證明另一個(gè)事實(shí)；②從某個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)與實(shí)際情況的比較去證明它.而數(shù)學(xué)歸納法是一種全新的、與以往完全不同的演繹證明方式，許多學(xué)生也許從來(lái)沒(méi)有想過(guò)可以這樣來(lái)說(shuō)明一件事情的真實(shí)性，這也叫證明嗎？[9]

3.2數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)無(wú)“法”可依

圖1

無(wú)“法”可依體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上是基于自然數(shù)的歸納公理，然而中學(xué)教材中并沒(méi)有皮亞諾公理或最小數(shù)原理作前提；②數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知圖式涉及函數(shù)圖式與邏輯圖式（圖1），而學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于同化數(shù)學(xué)歸納法無(wú)論是數(shù)學(xué)知識(shí)還是邏輯知識(shí)都不夠充分.

3.3“考教悖論”的影響

面對(duì)高考，一方面，一線教師的態(tài)度是“考什么就教什么”；另一方面，命題專(zhuān)家的態(tài)度是“教什么就考什么”.這兩種矛盾的現(xiàn)象就構(gòu)成了所謂的“考教悖論”.我國(guó)2003年的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)學(xué)選修22中，但這一模塊要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（24學(xué)時(shí)）、推理與證明（8學(xué)時(shí)）、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（4學(xué)時(shí)）.數(shù)學(xué)歸納法放在推理與證明中，由于只要求達(dá)到了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，加上高考主要以導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為重頭戲，許多省份很少考數(shù)學(xué)歸納法（廣東省除外），導(dǎo)致許多學(xué)校只講數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟甚至不講數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容.

3.4教材的編排不合理

Bell對(duì)證明進(jìn)行了以下分類(lèi)：①個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)；②權(quán)威的認(rèn)可；③觀察到的實(shí)例；④舉不出反例；⑤結(jié)論的有效性；⑥數(shù)學(xué)的邏輯演繹推理[10].也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)證明只是眾多證明方式中的一種.證明學(xué)習(xí)，除了學(xué)習(xí)形式推理之外，更重要的是理解數(shù)學(xué)證明的必要性與合理性.然而，教材的呈現(xiàn)太過(guò)突然，學(xué)生不知道為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，而且他們也缺少遞推的過(guò)程性經(jīng)驗(yàn).

3.5教學(xué)法的顛倒

數(shù)學(xué)歸納法誕生的歷史發(fā)展過(guò)程是先水平數(shù)學(xué)化，然后再垂直數(shù)學(xué)化，但教師們的教學(xué)卻跳過(guò)了水平數(shù)學(xué)化，直奔垂直數(shù)學(xué)化，而且教師的教學(xué)采取了公理演繹式的教學(xué)方式，這恰恰是Freudenthal所反對(duì)的“教學(xué)法的顛倒”.

3.6教育文化的影響

受教育文化的影響，我國(guó)學(xué)生不喜歡質(zhì)疑與提出問(wèn)題，寧愿懵懵懂懂一知半解，也不會(huì)把心中的問(wèn)題搞得水落石出.

4教學(xué)對(duì)策

教學(xué)設(shè)計(jì)成果是設(shè)計(jì)者教育思想的結(jié)晶，反映著一定的教育價(jià)值取向.本設(shè)計(jì)體現(xiàn)了追求理解的數(shù)學(xué)教育價(jià)值取向，其設(shè)計(jì)理念為：“既要教操作步驟，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重點(diǎn)放在對(duì)蘊(yùn)含關(guān)系p→q的理解上.”

4.1相識(shí)：創(chuàng)設(shè)情境，使其一見(jiàn)鐘情

回顧：在前面學(xué)習(xí)歸納推理的時(shí)候，我們遇到過(guò)這樣的一個(gè)問(wèn)題：

例已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an1+an.試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題1大家還記得當(dāng)時(shí)我們是怎樣解決的嗎？

學(xué)生是在學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的，該問(wèn)題起到了先行組織者的作用.

問(wèn)題2我們當(dāng)時(shí)的猜想真的正確嗎？能證明嗎？

引發(fā)矛盾：正整數(shù)無(wú)限，即使窮盡一生，也無(wú)法一一驗(yàn)證.

問(wèn)題3怎樣才能進(jìn)行無(wú)限的驗(yàn)證呢？必須找到新的方法！

正所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，為了解決有限與無(wú)限的矛盾，學(xué)生便會(huì)面向生活與實(shí)踐，為解決問(wèn)題而學(xué)習(xí).

評(píng)注Freudenthal指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的正確途徑是，向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學(xué)歸納法才能解決的問(wèn)題，迫使他們直觀地去用這個(gè)方法，從而發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法.該例存在明顯的遞推關(guān)系，符合數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)；同時(shí)制造認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生“饑餓”之感.

4.2勾魂：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，使其欲罷不能

問(wèn)題4在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們有遇到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？

以立體幾何中證明“線面垂直”為例.

①按定義證：即證明直線與平面內(nèi)的“任意一條”直線都垂直——“無(wú)限”的驗(yàn)證！

②按判定定理證：證明直線與平面內(nèi)的“兩條”相交直線垂直——“有限”的驗(yàn)證！

問(wèn)題5由這個(gè)例子，你們可以得到什么啟發(fā)？

思考的方向：能不能找到一種方法，只要通過(guò)對(duì)有限個(gè)步驟的驗(yàn)證，就能確保對(duì)無(wú)限個(gè)步驟也能成立？

評(píng)注數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之一是“把無(wú)限步的驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為對(duì)有限步的驗(yàn)證”，通過(guò)類(lèi)比立體幾何中線面垂直的定義中的無(wú)限性與判定定理的有限性之間的轉(zhuǎn)化，可以克服這一難點(diǎn).

4.3相知：解決問(wèn)題，使其豁然開(kāi)朗

教師指出：究竟該通過(guò)“怎樣的有限步”才能確保無(wú)限步成立呢？為解決這個(gè)問(wèn)題，引入多米諾骨牌的三次實(shí)驗(yàn)！

實(shí)驗(yàn)一：如圖2，課件展示動(dòng)畫(huà)，老師用手推倒第1塊骨牌，然后第2塊骨牌、第3塊骨牌……緊跟著全部倒下，實(shí)驗(yàn)成功.

圖2

問(wèn)題6思考為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果？

圖3

實(shí)驗(yàn)二：如圖3，課件展示動(dòng)畫(huà)，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距和實(shí)驗(yàn)1相同，老師用手推第1塊骨牌，沒(méi)有推倒，自然第2塊骨牌、第3塊骨牌……也就沒(méi)有倒下，實(shí)驗(yàn)失敗.

問(wèn)題7對(duì)比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)二，討論實(shí)驗(yàn)失敗的原因？

結(jié)論：實(shí)驗(yàn)成功所需具備的第一個(gè)條件是：第1塊骨牌必須倒下.……①

圖4

實(shí)驗(yàn)三：如圖4，課件展示動(dòng)畫(huà)，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，將其中兩塊骨牌的間距拉開(kāi)足夠大，而其它間距保持不變.老師用手推倒第1塊骨牌，還是沒(méi)有全部倒下，實(shí)驗(yàn)失敗.

問(wèn)題8對(duì)比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)三，討論實(shí)驗(yàn)失敗的原因？

結(jié)論：實(shí)驗(yàn)成功所需具備的第二個(gè)條件是：任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

問(wèn)題9如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述上述結(jié)論？

改寫(xiě)結(jié)論：若第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.……②

評(píng)注數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之二是“理解兩步驟的必要性”，通過(guò)多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)一、二、三的對(duì)比操作分析展示：有1沒(méi)2不行；有2沒(méi)1也不行；有1且有2才行，直觀地化解了這一難點(diǎn).數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之三是“對(duì)蘊(yùn)含關(guān)系p（k）→p（k+1）的不理解”，我們的作法是通過(guò)“擺好的”多米諾骨牌來(lái)搭建理解的腳手架，為此要做兩件事：一是通過(guò)一些沒(méi)擺好的骨牌作為反例來(lái)強(qiáng)化什么叫擺好；二是通過(guò)“擺好的”骨牌說(shuō)明這一關(guān)系與第k塊倒沒(méi)倒下沒(méi)有關(guān)系.

4.4動(dòng)情：欣賞數(shù)學(xué)，使其念念不忘

教師指出：多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)使我們看到方法的影子，但畢竟不能用來(lái)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要抽出蘊(yùn)含的原理，遷移到數(shù)學(xué)問(wèn)題.

遷移一：將骨牌實(shí)驗(yàn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，回到最初的例子.

要證明猜想an=1n，即證明下面與正整數(shù)有關(guān)的無(wú)限多個(gè)等式成立：

a1=11，a2=12，a3=13，…，ak=1k，…

問(wèn)題10類(lèi)比多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)的思維過(guò)程，概括證明該猜想的步驟.

遷移二：讓學(xué)生就該數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行具體嘗試.

問(wèn)題11能否做到這兩步？

證明：①我們已經(jīng)驗(yàn)證第一個(gè)等式成立.②若第k個(gè)等式成立，即ak=1k，則：ak+1=ak1+ak=1k1+1k=1k+1，可推出第k+1個(gè)等式成立.

事實(shí)告訴我們，這樣的方法是可行的！我們并沒(méi)有對(duì)所有情況進(jìn)行一一驗(yàn)證，而是利用遞推思想，完美實(shí)現(xiàn)了無(wú)限到有限的轉(zhuǎn)化.

概括提煉，得出數(shù)學(xué)歸納法的形式化模型（略）.

評(píng)注從多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)歸納法原理，清晰地反映了生活問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡.學(xué)生經(jīng)歷了將生活中蘊(yùn)含的原理逐級(jí)抽象為數(shù)學(xué)原理的水平數(shù)學(xué)化全過(guò)程.

5數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)價(jià)值

5.1方法論的價(jià)值

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種獨(dú)特的證明方法，它是解決求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理、整除問(wèn)題等問(wèn)題的新方法.它充分體現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證關(guān)系與轉(zhuǎn)化思想，是溝通有限與無(wú)限的橋梁，為學(xué)生增添了一種有力的工具.

5.2思維品質(zhì)的訓(xùn)練

我們認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，最有價(jià)值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)一種思維方式，也就是說(shuō)，要先從個(gè)別樣例中的觀察、思考中去探索規(guī)律，再?gòu)囊话阈陨蟻?lái)進(jìn)行邏輯證明，實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)到繁，由有限到無(wú)限的突破.同時(shí)，讓學(xué)生借助具體問(wèn)題與直觀模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的的“再創(chuàng)造”過(guò)程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究的意識(shí).但我國(guó)的高中課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)要求僅僅列為“了解”層次，造成了舍本求末的現(xiàn)狀，建議在修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將其調(diào)整為“理解”層次.

5.3情感領(lǐng)域目標(biāo)的落實(shí)

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒(méi)有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過(guò)，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂(lè)，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無(wú)限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過(guò)“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

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[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒(méi)有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過(guò)，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂(lè)，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無(wú)限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過(guò)“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

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[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學(xué)?。?009）.高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.（見(jiàn)張奠宙等.《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關(guān)于理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難的實(shí)驗(yàn)報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒(méi)有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過(guò)，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂(lè)，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無(wú)限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過(guò)“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

參考文獻(xiàn)

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[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

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[5]日本文部科學(xué)?。?009）.高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

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[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.（見(jiàn)張奠宙等.《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關(guān)于理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難的實(shí)驗(yàn)報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.