王天予+芮媛媛

摘要：我們用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點、原理和方式方法去認識、理解和解決初等數(shù)學(xué)中存在的問題，使我們可以進一步地充實初等數(shù)學(xué)的某些理論的論述深度及內(nèi)涵，以及可以進一步熟練掌握用初等方法解決問題的技能。微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部份，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相銜接的具體內(nèi)容的一部分，所以說本文將從微積分的角度簡單地論述高等數(shù)學(xué)知識對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。微積分是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，是研究函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，探求函數(shù)的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具。本文通過對微分在解決一些初等函數(shù)單調(diào)性、求曲線的切線以及幾個初等數(shù)學(xué)命題的積分證明等問題的討論，為我們解決一些初等數(shù)學(xué)問題提供了一些新的思想，使微積分對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用得到具體體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：微分；積分；初等數(shù)學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）44-0209-04

1 引言

高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)概念、原理、方法和思想的演變，最終成為一門高度抽象、邏輯嚴密的科學(xué)體系。用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點、原理和方法去認識、理解和解決初等數(shù)學(xué)問題，可以進一步地充實初等數(shù)學(xué)的某些理論的論述深度，以及進一步熟練地掌握用初等方法解決問題的技能。微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部份，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)相銜接的具體內(nèi)容之一，所以本文將從微積分的角度簡單地論述高等數(shù)學(xué)知識對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。微積分是數(shù)學(xué)中的重要組成部分，是研究函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，探求函數(shù)的極值、最值，求曲線的斜率和解決一些物理問題的有力工具。微積分的應(yīng)用為解決數(shù)學(xué)問題提供了新的思路，新的方法和新的途徑，可以說微積分是打開數(shù)學(xué)知識大門的一把鑰匙。

2 微積分的應(yīng)用

2.1微積分的介紹

將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。它既是一門基礎(chǔ)學(xué)科，又是一門應(yīng)用廣泛的學(xué)科。要想掌握高等數(shù)學(xué)的任何一個分支不熟悉微積分是不可能的，因此，研究微積分的一些性質(zhì)及應(yīng)用具有很大的必要性。

2.1.1微積分的思想。微積分成為一門學(xué)科是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了.公元前3世紀，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287～前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。極限理論作為微積分的基礎(chǔ)早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形，圓的面積就是無窮多個三角形面積之和，這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。

2.1.2微積分的創(chuàng)立。由于17世紀工業(yè)革命的直接推動，英國科學(xué)家牛頓和德國科學(xué)家萊布尼茨在許多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分，他們?yōu)樽兞拷⒘艘环N新型的行之有效的運算規(guī)則，去描述因變量在一個短暫瞬間相對于自變量的變化率，以及在自變量的某個變化過程中因變量作用的整體積累，前者稱為微商，后者稱為積分，統(tǒng)稱微積分。此后，數(shù)學(xué)的發(fā)展逐漸出現(xiàn)了一日千里之勢，形成了內(nèi)容豐富的高等代數(shù)、高等幾何、與數(shù)學(xué)分析三大分支，在此基礎(chǔ)上，還出現(xiàn)了一些其他分支。

2.2微分的應(yīng)用

2.2.1用微分法判斷初等函數(shù)的單調(diào)性。用初等方法研究初等函數(shù)的單調(diào)性，多是用定義或從函數(shù)圖像加以判斷的。但對于一些復(fù)雜的函數(shù)，用定義來判斷其單調(diào)性，并不是一件容易的事；而對于一些用初等方法畫不出圖像的函數(shù)，要用函數(shù)圖像研究它的單調(diào)性，更加無從談起。而微分中值定理卻給出了一個研究函數(shù)單調(diào)性的高等方法。有了微分中值定理對初等函數(shù)單調(diào)性的研究，求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，便可以通過求導(dǎo)的方法來實現(xiàn)，與初等數(shù)學(xué)方法比較，這種方法既顯得高出一等，又可以解決一些用初等數(shù)學(xué)的方法無法解決的較為復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性問題。

（1）函數(shù)連續(xù)的定義。

定義：若函數(shù)fx在x■的附近包括x■點本身有定義，并且■ f （x）=f （x■），則稱f（x）在x■連續(xù)，或稱x■點是fx的連續(xù)點。

（2）導(dǎo)數(shù)的定義。

定義：設(shè)有函數(shù)y=f（x），在x■附近有定義，對應(yīng)于自變量的任一改變量Δx，函數(shù)的改變量為：

Δy=f（x■+Δx）-f （x■），此時，如果極限：■■=

■■存在，則極限值就稱為函數(shù)在x■的導(dǎo)數(shù)。記為：f'（x■）。

（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=f（x）在點x的切線斜率。因為f '（x■）表示曲線y=f（x）在x■點的切線斜率，故運用上述切線的一般定義和結(jié)論，可以處理與切線有關(guān)的許多問題。

（4）拉格朗日中值定理。

定理：若函數(shù)f（x）滿足：（i）在[a，b]連續(xù)；（ii）在

（a，b）可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使：f'（ξ）=■。

（5）拉格朗日中值定理之推論。

推論：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果對于任意的x∈（a，b）有f '（x■）>0，則f（x）在（a，b）內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；如果對于任意的x∈（a，b），有f'（x■）<0，則f （x■）在（a，b）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)。endprint

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數(shù)的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數(shù)的最值和極值證明不等式適用在某區(qū)間上成立的不等式，與利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數(shù)F（x）的處理上：利用函數(shù)的單調(diào)性的證明方法比較的是函數(shù)的端點值，而該方法是要考慮函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)必在該閉區(qū)間上取得最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當(dāng)函數(shù)取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結(jié)論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構(gòu)造合適的輔助函數(shù)F（x）；

（2）求F（x）在所給區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)，從而判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號；

（3）根據(jù)輔助函數(shù)在此區(qū)間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結(jié)論。

不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它反映了變量之間很重要的一種關(guān)系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值的判定法，定積分的性質(zhì)，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應(yīng)用

2.3.1定積分的定義。設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數(shù)，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設(shè)m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關(guān)運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設(shè)曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設(shè)f（x）在

[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應(yīng)用舉例

3.1微分的應(yīng)用舉例

例1：確定函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區(qū)間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)。

例2：已知a∈R，求函數(shù)F（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間

解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（2）當(dāng)a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間-∞，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當(dāng)a<0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間0，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，+∞內(nèi)為減函數(shù)。

3.2積分的應(yīng)用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結(jié)束語

綜上所述，利用高等數(shù)學(xué)的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究有著很大的指導(dǎo)作用，也可以進一步加深我們對高等數(shù)學(xué)中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，只有用高等數(shù)學(xué)的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態(tài)勢，審視初等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，才能使初等數(shù)學(xué)的教學(xué)達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。對于微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數(shù)學(xué)，可以擴大初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，初等數(shù)學(xué)的面貌也就會發(fā)生很大的變化。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數(shù)學(xué)的一些問題[J].河池師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復(fù)習(xí)魔法數(shù)學(xué)（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數(shù)的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數(shù)的最值和極值證明不等式適用在某區(qū)間上成立的不等式，與利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數(shù)F（x）的處理上：利用函數(shù)的單調(diào)性的證明方法比較的是函數(shù)的端點值，而該方法是要考慮函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)必在該閉區(qū)間上取得最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當(dāng)函數(shù)取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結(jié)論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構(gòu)造合適的輔助函數(shù)F（x）；

（2）求F（x）在所給區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)，從而判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號；

（3）根據(jù)輔助函數(shù)在此區(qū)間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結(jié)論。

不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它反映了變量之間很重要的一種關(guān)系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值的判定法，定積分的性質(zhì)，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應(yīng)用

2.3.1定積分的定義。設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數(shù)，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設(shè)m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關(guān)運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設(shè)曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設(shè)f（x）在

[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應(yīng)用舉例

3.1微分的應(yīng)用舉例

例1：確定函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區(qū)間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)。

例2：已知a∈R，求函數(shù)F（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間

解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（2）當(dāng)a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間-∞，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當(dāng)a<0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間0，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，+∞內(nèi)為減函數(shù)。

3.2積分的應(yīng)用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結(jié)束語

綜上所述，利用高等數(shù)學(xué)的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究有著很大的指導(dǎo)作用，也可以進一步加深我們對高等數(shù)學(xué)中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，只有用高等數(shù)學(xué)的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態(tài)勢，審視初等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，才能使初等數(shù)學(xué)的教學(xué)達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。對于微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數(shù)學(xué)，可以擴大初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，初等數(shù)學(xué)的面貌也就會發(fā)生很大的變化。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]李長明，周煥山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數(shù)學(xué)的一些問題[J].河池師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復(fù)習(xí)魔法數(shù)學(xué)（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

2.2.2用微分法求曲線的切線。在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個交點的直線，但把這一定義用到其他曲線上就不行了。如直線y=0與拋物線y=x■2只有一個交點，y=0是y=x■2的切線，但x=0與拋物線y=x■2也只有一個交點，但x=0卻不是y=x■2的切線，由此可見，用“一個交點”來定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識后，就可以給出曲線切線的一般定義了。

2.2.3用微分法求最值和不等式。函數(shù)的最值和極值不僅在實際問題中占有重要的地位，對于證明不等式來說也是一個常用而有效的證明方法。函數(shù)的最值和極值證明不等式適用在某區(qū)間上成立的不等式，與利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式相似，但二者又有明顯的不同，不同處在于對所作的輔助函數(shù)F（x）的處理上：利用函數(shù)的單調(diào)性的證明方法比較的是函數(shù)的端點值，而該方法是要考慮函數(shù)在區(qū)間上的最值和極值，需利用最值定理（若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)必在該閉區(qū)間上取得最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)取得最小值m時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≥m，而當(dāng)函數(shù)取得最大值M時，對任意的x∈[a，b]有f（x）≤M）對最值進行判斷，從而得出證明結(jié)論。

證明步驟為：

（1）通過恒等變形構(gòu)造合適的輔助函數(shù)F（x）；

（2）求F（x）在所給區(qū)間上的一階導(dǎo)數(shù)，從而判別一階導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上的符號；

（3）根據(jù)輔助函數(shù)在此區(qū)間上是否存在極值和最值的比較，得出所需要的結(jié)論。

不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它反映了變量之間很重要的一種關(guān)系。論證不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要較高技巧，但利用微積分的思想證明不等式，可使不等式的證明過程大大簡化，技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。本文著重介紹用微積分知識證明不等式的幾種常用方法，常見的方法有微分中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值的判定法，定積分的性質(zhì)，泰勒公式等。這些方法能夠使不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解。

2.3積分的應(yīng)用

2.3.1定積分的定義。設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的只有有限個間斷點的有界函數(shù)，在[a，b]中任意插入若干個分點（這里出入n-1個）。用a=x■

2.3.2切線的定義。

定義3：設(shè)m■是曲線y=f（x）上一定點，m是該曲線上一動點，從而有割線m■m，令m沿著曲線無限趨近于m■，則割線m■m的極限位置就是曲線y=f（x）在m■的切線（如果極限存在的話）。

這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時），用這一定義也容易證明y=0是y=x2的切線，而x=0不是y=x2的切線，這一切線定義可用于任何曲線y=f（x）。

2.3.3有關(guān)運算法則。

定積分中的弧長公式：

S=2π■y■dx

設(shè)曲線L的方程為：y=f（x）（a≤x≤b），設(shè)f（x）在

[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，則曲線L的弧上S為：

S=■■dx

3 微積分的應(yīng)用舉例

3.1微分的應(yīng)用舉例

例1：確定函數(shù)f（x）=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間。

解：顯然，f（x）的定義域為（-∞，+∞），f'（x■）=6x2-8x+12=6（x-1）（x-2）。

令f '（x■）=0，解得：

x■=1或x■=2，這兩個根把定義域分為三個區(qū)間，即：（-∞，1），[1，2]和（2，+∞）

∵x■∈（-∞，1）時，f'（x■）>0；x■∈（1，2）時，f '（x■）<0；x■∈（2，+∞）時，f '（x■）>0。

由以上推論可知：函數(shù)f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（1，2）上是減函數(shù)。

例2：已知a∈R，求函數(shù)F（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間

解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為：f '（x■）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax

（1）當(dāng)a=0時，若x<0，則f '（x■）<0；若x>0，則f '（x■）>0

∴當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（2）當(dāng)a>0，由2x+ax2>0，解得：x<-■或x>0；由2x+ax2<0，解得：-■

∴當(dāng)a>0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間-∞，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，0內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)。

（3）當(dāng)a<0時，由2x+ax2>0，解得：0-■。

∴當(dāng)a<0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間0，-■內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間-■，+∞內(nèi)為減函數(shù)。

3.2積分的應(yīng)用舉例

例3：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2。

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線y=

f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

例4：證明半徑為R的球面面積為S=4πR2

證明：（利用定積分證）在直角坐標系中，曲線

y=f（x）在區(qū)間上一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面的面積為：

S=2π■f（x）■dx

現(xiàn)在把球面x2+y2+z2=R2看成是由xy坐標面上的上半圓周：y=■（-R≤x≤R）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，

f '（x■）=■，故所求球面的面積為：S=2π■f（x）■dx=2π■Rdx=4πR2

4 結(jié)束語

綜上所述，利用高等數(shù)學(xué)的一些思想、觀點、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，不僅可以對初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究有著很大的指導(dǎo)作用，也可以進一步加深我們對高等數(shù)學(xué)中的一些思想、觀點、原理和方法的理解和掌握，達到一舉兩得。我們從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師，只有用高等數(shù)學(xué)的知識、觀點和方法，以一種居高臨下的態(tài)勢，審視初等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，才能使初等數(shù)學(xué)的教學(xué)達到理想的境界，進而才能夠不斷地提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。對于微積分在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用還很多，還值得我們長期探討和研究，微積分如果進入初等數(shù)學(xué)，可以擴大初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍，初等數(shù)學(xué)的面貌也就會發(fā)生很大的變化。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

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[3]黃星壽.微分中值定理俯視通觀初等數(shù)學(xué)的一些問題[J].河池師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，22（4）.

[4]朱本富.高考總復(fù)習(xí)魔法數(shù)學(xué)（理科版）[M].北京：長征出版社，2005.

作者簡介：芮媛媛（1993-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：初等數(shù)學(xué)教育研究；王天予（1994-），女，學(xué)士，江蘇省南京人，就職于南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，研究方向：數(shù)學(xué)教育。