劉茹紅

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.而概率是新課程的教材中新增內(nèi)容，它在理論與實(shí)際生活中都有非常重要的意義，在多年的高考考題中都有很到位的體現(xiàn).然而教材給出的解題方法只適合解決一些簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，對(duì)于具有一定實(shí)際背景又兼一定深度的概率問(wèn)題顯然不夠用，因此，筆者研讀了近些年的高三的各類備考概率題型，試圖找出隱藏在概率問(wèn)題中的五種常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類綜合思想以及函數(shù)與方程思想.

一、化歸思想.“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，它是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基本方法.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些直接求解較為困難的問(wèn)題，但是，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸思想方法”.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

例1. 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

（1）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

（2）分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；

（3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

審題：（1）讀懂所給表格，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（3）計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時(shí)間內(nèi)趕往火車站的概率，通過(guò)比較概率的大小確定選擇的最佳路徑.

解析：（1）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44（人），

∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.

（2）選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：

（3）設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲應(yīng)選擇L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

點(diǎn)評(píng)：（1）在求解隨機(jī)事件問(wèn)題時(shí)，要注意頻率、概率的區(qū)別.（2）對(duì)復(fù)雜事件概率的計(jì)算，可以先把事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和.

練習(xí)1.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n

二、分類討論思想. 分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，所謂分類討論，實(shí)質(zhì)上，就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.注意把握分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論.

例2. 在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記？孜=x-2 +y-x.

（1）求隨機(jī)變量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求隨機(jī)變量？孜的分布列.

審題：（1）根據(jù)x，y的取值，隨機(jī)變量？孜的最大值為3，當(dāng)？孜=3時(shí)，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根據(jù)x，y的取值，？孜的所有取值為0，1，2，3，列舉計(jì)數(shù)計(jì)算其相應(yīng)的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值為1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、數(shù)形結(jié)合思想. 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合思想使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些概率問(wèn)題，可起到事半功倍的效果.

五、方程與函數(shù)思想

1. 函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題.

例5. A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為：

（1）在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取到最小值.

審題：（1）求隨機(jī)變量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），關(guān)鍵是先計(jì)算出相應(yīng)變量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）讀清題目的要求，列出函數(shù)f（x）的解析式同，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出f（x）的最小值.

解析：（1）由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列為：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

點(diǎn)評(píng)：（1）解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件.（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).

2. 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題.方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

（作者單位：廣東省紫金中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.而概率是新課程的教材中新增內(nèi)容，它在理論與實(shí)際生活中都有非常重要的意義，在多年的高考考題中都有很到位的體現(xiàn).然而教材給出的解題方法只適合解決一些簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，對(duì)于具有一定實(shí)際背景又兼一定深度的概率問(wèn)題顯然不夠用，因此，筆者研讀了近些年的高三的各類備考概率題型，試圖找出隱藏在概率問(wèn)題中的五種常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類綜合思想以及函數(shù)與方程思想.

一、化歸思想.“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，它是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基本方法.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些直接求解較為困難的問(wèn)題，但是，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸思想方法”.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

例1. 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

（1）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

（2）分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；

（3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

審題：（1）讀懂所給表格，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（3）計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時(shí)間內(nèi)趕往火車站的概率，通過(guò)比較概率的大小確定選擇的最佳路徑.

解析：（1）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44（人），

∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.

（2）選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：

（3）設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲應(yīng)選擇L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

點(diǎn)評(píng)：（1）在求解隨機(jī)事件問(wèn)題時(shí)，要注意頻率、概率的區(qū)別.（2）對(duì)復(fù)雜事件概率的計(jì)算，可以先把事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和.

練習(xí)1.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n

二、分類討論思想. 分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，所謂分類討論，實(shí)質(zhì)上，就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.注意把握分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論.

例2. 在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記？孜=x-2 +y-x.

（1）求隨機(jī)變量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求隨機(jī)變量？孜的分布列.

審題：（1）根據(jù)x，y的取值，隨機(jī)變量？孜的最大值為3，當(dāng)？孜=3時(shí)，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根據(jù)x，y的取值，？孜的所有取值為0，1，2，3，列舉計(jì)數(shù)計(jì)算其相應(yīng)的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值為1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、數(shù)形結(jié)合思想. 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合思想使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些概率問(wèn)題，可起到事半功倍的效果.

五、方程與函數(shù)思想

1. 函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題.

例5. A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為：

（1）在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取到最小值.

審題：（1）求隨機(jī)變量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），關(guān)鍵是先計(jì)算出相應(yīng)變量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）讀清題目的要求，列出函數(shù)f（x）的解析式同，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出f（x）的最小值.

解析：（1）由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列為：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

點(diǎn)評(píng)：（1）解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件.（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).

2. 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題.方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

（作者單位：廣東省紫金中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它是建立數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.而概率是新課程的教材中新增內(nèi)容，它在理論與實(shí)際生活中都有非常重要的意義，在多年的高考考題中都有很到位的體現(xiàn).然而教材給出的解題方法只適合解決一些簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，對(duì)于具有一定實(shí)際背景又兼一定深度的概率問(wèn)題顯然不夠用，因此，筆者研讀了近些年的高三的各類備考概率題型，試圖找出隱藏在概率問(wèn)題中的五種常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類綜合思想以及函數(shù)與方程思想.

一、化歸思想.“化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，它是數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基本方法.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些直接求解較為困難的問(wèn)題，但是，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸思想方法”.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.

例1. 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

（1）試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

（2）分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；

（3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

審題：（1）讀懂所給表格，確定不能趕到火車站的人數(shù)所在的區(qū)間，用相應(yīng)的頻率作為所求概率的估計(jì)值；（2）根據(jù)頻率的計(jì)算公式計(jì)算；（3）計(jì)算選擇不同的路徑，在允許的時(shí)間內(nèi)趕往火車站的概率，通過(guò)比較概率的大小確定選擇的最佳路徑.

解析：（1）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44（人），

∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.

（2）選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為：

（3）設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由（2）知P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5. ∵P（A1）>P（A2），∴甲應(yīng)選擇L1.

同理，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B1）

點(diǎn)評(píng)：（1）在求解隨機(jī)事件問(wèn)題時(shí)，要注意頻率、概率的區(qū)別.（2）對(duì)復(fù)雜事件概率的計(jì)算，可以先把事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和.

練習(xí)1.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；

（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n

二、分類討論思想. 分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，所謂分類討論，實(shí)質(zhì)上，就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.注意把握分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論.

例2. 在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記？孜=x-2 +y-x.

（1）求隨機(jī)變量？孜的最大值，并求事件“？孜取得最大值”的概率；

（2）求隨機(jī)變量？孜的分布列.

審題：（1）根據(jù)x，y的取值，隨機(jī)變量？孜的最大值為3，當(dāng)？孜=3時(shí)，只能x=1，y=3或x=3，y=1；

（2）根據(jù)x，y的取值，？孜的所有取值為0，1，2，3，列舉計(jì)數(shù)計(jì)算其相應(yīng)的概率值即可.

解析：（1）∵x，y可能的取值為1，2，3，∴x-2≤1，y-x≤2，

三、數(shù)形結(jié)合思想. 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化.數(shù)形結(jié)合思想使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些概率問(wèn)題，可起到事半功倍的效果.

五、方程與函數(shù)思想

1. 函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題.

例5. A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場(chǎng)分析，X1和X2的分布列分別為：

（1）在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D（Y1），D（Y2）；

（2）將x（0≤x≤100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，100-x萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，f（x）取到最小值.

審題：（1）求隨機(jī)變量Y1，Y2的方差D（Y1），D（Y2），關(guān)鍵是先計(jì)算出相應(yīng)變量的均值E（Y1），E（Y2）.

（2）讀清題目的要求，列出函數(shù)f（x）的解析式同，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出f（x）的最小值.

解析：（1）由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列為：

E（Y1）=5×0.8+10×0.2=6，D（Y1）=（5-6）2×0.8+（10-6）2×0.2=4.

點(diǎn)評(píng)：（1）解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)所表示的具體事件.（2）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).

2. 方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題.方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

（作者單位：廣東省紫金中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)