劉紹慶　王言英

摘 要：線性代數(shù)是所有高校的一門重要的基礎(chǔ)課。該文總結(jié)了該校區(qū)目前線性代數(shù)的教學(xué)中存在的問題，然后從校區(qū)中外合作辦學(xué)和校企合作辦學(xué)的實(shí)際出發(fā)，對(duì)線性代數(shù)的課程提出一些想法和設(shè)想。

關(guān)鍵詞：合作辦學(xué) 線性代數(shù) 教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數(shù)是高校理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，隨著這門課程在基礎(chǔ)課中的地位的逐步提高，以及在科學(xué)技術(shù)生產(chǎn)實(shí)踐中日益廣泛的應(yīng)用，線性代數(shù)的重要性也日益顯現(xiàn)，對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)改革勢(shì)在必行。自2007年以來(lái)，我校先后與多所國(guó)外高校開展中外合作辦學(xué)項(xiàng)目，還與企業(yè)聯(lián)合共建“計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（軟件外包方向）”本科專業(yè)，結(jié)合這些實(shí)際情況，依據(jù)教學(xué)改革實(shí)踐的體會(huì)，該文對(duì)《線性代數(shù)》課程教學(xué)提出一些設(shè)想和做法。

1 我校線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

目前，我校線性代數(shù)的教學(xué)學(xué)時(shí)為36學(xué)時(shí)。一般放在大二的上學(xué)期。所用的教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《線性代數(shù)》第五版。由于學(xué)時(shí)的限制我們只講授前五章的內(nèi)容。

2007年開展中外合作和校企合作以來(lái)，線性代數(shù)的教學(xué)對(duì)我們教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。一方面，線性代數(shù)課程本身就有一定的學(xué)習(xí)難度，課程涉及的概念、定理、結(jié)論非常多，比較抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學(xué)的學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)不是很好，一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，上課前沒有積極預(yù)習(xí)，上課時(shí)沒有認(rèn)真聽講，課后沒有及時(shí)復(fù)習(xí)練習(xí)；最后學(xué)生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學(xué)習(xí)線性代數(shù)的意義，普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)線性代數(shù)沒什么用，導(dǎo)致有些學(xué)生表現(xiàn)出一定的排斥態(tài)度。

2 結(jié)合我校實(shí)際的線性代數(shù)的教學(xué)改革

2.1 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要性

線性代數(shù)是所有自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎(chǔ)。它不但是學(xué)生學(xué)習(xí)其它后續(xù)許多課程（如電路分析、控制原理、信號(hào)與系統(tǒng)等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實(shí)際應(yīng)用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時(shí)候我們教師一定要讓學(xué)生明白線性代數(shù)來(lái)源于實(shí)踐，它最終也要應(yīng)用到實(shí)踐中去。

矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)重要的研究對(duì)象，也是一種常見的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，比如學(xué)生的成績(jī)單、車站時(shí)刻表、工廠里的生產(chǎn)進(jìn)度表、價(jià)目表、科研中的數(shù)據(jù)分析表等等，它是表述或處理大量的數(shù)據(jù)的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則清晰地展示出來(lái)，并通過矩陣的一些運(yùn)算或變換來(lái)揭示各事物之間內(nèi)在的一些聯(lián)系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對(duì)角化也有很重要的實(shí)際應(yīng)用。例如，在生物信息學(xué)中，研究人類基因的染色體圖譜進(jìn)行DNA序列對(duì)比時(shí)就要用到這些內(nèi)容，當(dāng)然在其他方面如自動(dòng)控制理論、機(jī)械振動(dòng)以及線性電路分析中，這些內(nèi)容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對(duì)二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統(tǒng)理論和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中都有應(yīng)用。例如工程上，與現(xiàn)代控制理論、無(wú)線電技術(shù)、振動(dòng)問題有著極其密切的聯(lián)系。

2.2 教學(xué)過程中教學(xué)內(nèi)容的改革

本課程的重點(diǎn)是在下表中用“★”號(hào)標(biāo)明，對(duì)這些重點(diǎn)要在學(xué)時(shí)安排上側(cè)重一些，保證能有足夠的學(xué)時(shí)進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué)，且習(xí)題課時(shí)要反復(fù)講解，反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生能切實(shí)掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點(diǎn)，非常抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生很難理解，接受起來(lái)也有困難。對(duì)此我們盡量將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（1）先講具體問題，再?gòu)倪@些具體問題中引導(dǎo)出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運(yùn)算就是從解決實(shí)際問題中提煉出來(lái)的，這使得抽象的數(shù)學(xué)概念有一個(gè)可以捉摸的實(shí)際背景，不僅使得學(xué)生容易接受；更重要的是使得學(xué)生懂得抽象的數(shù)學(xué)概念和理論是解決實(shí)際問題的有力工具，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

（2）將困難的概念分幾個(gè)層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時(shí)，涉及到了一般的矩陣秩的性質(zhì)和一些理論，并用此來(lái)求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時(shí)候，把向量組的秩和矩陣的秩聯(lián)系起來(lái)，對(duì)秩的理論作了作了進(jìn)一步闡述。分成兩步走，使得學(xué)生對(duì)秩的概念有一個(gè)逐漸的認(rèn)識(shí)過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點(diǎn)時(shí)將方法和理論分開，比如§4.3節(jié)講向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會(huì)學(xué)生會(huì)具體算，而省略一些理論證明的詳細(xì)推導(dǎo)，有興趣的學(xué)生可以去自學(xué)這些推導(dǎo)。

（4）將難點(diǎn)分解，把復(fù)雜的、難的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。

①第一章中行列式計(jì)算的主要方法就是利用行列式的性質(zhì)將一般的（難的、復(fù)雜的）行列式歸結(jié)化簡(jiǎn)為上（下）三角形行列式（簡(jiǎn)單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復(fù)雜的）線性方程組歸化為同解的簡(jiǎn)單線性方程組來(lái)求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復(fù)雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡(jiǎn)單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價(jià)、相似、合同，其實(shí)這三者也是旨在借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的，簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質(zhì)。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的、簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質(zhì)（比如是否正定）。

2.3 線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想

近幾年，我校區(qū)在數(shù)學(xué)建模方面取得了可喜的成績(jī)，多次獲得國(guó)家一、二等獎(jiǎng)級(jí)山東省一等獎(jiǎng)，這也激發(fā)了校區(qū)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模的熱情。針對(duì)這一情況，我們建議在講授課本上理論知識(shí)的同時(shí)，也給出一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析總結(jié)，通過做一些適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和引入一些合理的假設(shè)，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)此模型進(jìn)行求解，從而利用這個(gè)結(jié)果再去解釋實(shí)際問題。一方面這樣做能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本思想，另一方面又讓學(xué)生體會(huì)了線性代數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用。針對(duì)不同的專業(yè)，我們可以根據(jù)專業(yè)來(lái)選擇不同類型的數(shù)學(xué)模型，比如電氣專業(yè)，我們可以引入電路網(wǎng)絡(luò)方面的數(shù)學(xué)模型；計(jì)算機(jī)專業(yè)，可以引入關(guān)于計(jì)算機(jī)圖形處理方面的數(shù)學(xué)模型；經(jīng)濟(jì)專業(yè)，可以引入投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型等。

2.4 線性代數(shù)教學(xué)與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合

首先在教學(xué)方式上，我們可以利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，在一定程度上可以提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和效率。其次可以在線性代數(shù)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算機(jī)如常用的一些數(shù)學(xué)軟件Mathematica、MATLAB來(lái)完成繁雜的運(yùn)算，給學(xué)生提供一些簡(jiǎn)單且容易掌握的應(yīng)用程序，為學(xué)生今后參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好的基礎(chǔ)。

3 結(jié)語(yǔ)

從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)的思想構(gòu)建合作辦學(xué)條件下線性代數(shù)課程的新模式是切實(shí)可行的。毋庸置疑，當(dāng)我校區(qū)數(shù)學(xué)教師將這一新模式貫穿到他們?nèi)粘５慕虒W(xué)過程中時(shí)，我校區(qū)的數(shù)學(xué)教育定將上一個(gè)新的臺(tái)階。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要：線性代數(shù)是所有高校的一門重要的基礎(chǔ)課。該文總結(jié)了該校區(qū)目前線性代數(shù)的教學(xué)中存在的問題，然后從校區(qū)中外合作辦學(xué)和校企合作辦學(xué)的實(shí)際出發(fā)，對(duì)線性代數(shù)的課程提出一些想法和設(shè)想。

關(guān)鍵詞：合作辦學(xué) 線性代數(shù) 教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數(shù)是高校理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，隨著這門課程在基礎(chǔ)課中的地位的逐步提高，以及在科學(xué)技術(shù)生產(chǎn)實(shí)踐中日益廣泛的應(yīng)用，線性代數(shù)的重要性也日益顯現(xiàn)，對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)改革勢(shì)在必行。自2007年以來(lái)，我校先后與多所國(guó)外高校開展中外合作辦學(xué)項(xiàng)目，還與企業(yè)聯(lián)合共建“計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（軟件外包方向）”本科專業(yè)，結(jié)合這些實(shí)際情況，依據(jù)教學(xué)改革實(shí)踐的體會(huì)，該文對(duì)《線性代數(shù)》課程教學(xué)提出一些設(shè)想和做法。

1 我校線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

目前，我校線性代數(shù)的教學(xué)學(xué)時(shí)為36學(xué)時(shí)。一般放在大二的上學(xué)期。所用的教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《線性代數(shù)》第五版。由于學(xué)時(shí)的限制我們只講授前五章的內(nèi)容。

2007年開展中外合作和校企合作以來(lái)，線性代數(shù)的教學(xué)對(duì)我們教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。一方面，線性代數(shù)課程本身就有一定的學(xué)習(xí)難度，課程涉及的概念、定理、結(jié)論非常多，比較抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學(xué)的學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)不是很好，一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，上課前沒有積極預(yù)習(xí)，上課時(shí)沒有認(rèn)真聽講，課后沒有及時(shí)復(fù)習(xí)練習(xí)；最后學(xué)生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學(xué)習(xí)線性代數(shù)的意義，普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)線性代數(shù)沒什么用，導(dǎo)致有些學(xué)生表現(xiàn)出一定的排斥態(tài)度。

2 結(jié)合我校實(shí)際的線性代數(shù)的教學(xué)改革

2.1 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要性

線性代數(shù)是所有自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎(chǔ)。它不但是學(xué)生學(xué)習(xí)其它后續(xù)許多課程（如電路分析、控制原理、信號(hào)與系統(tǒng)等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實(shí)際應(yīng)用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時(shí)候我們教師一定要讓學(xué)生明白線性代數(shù)來(lái)源于實(shí)踐，它最終也要應(yīng)用到實(shí)踐中去。

矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)重要的研究對(duì)象，也是一種常見的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，比如學(xué)生的成績(jī)單、車站時(shí)刻表、工廠里的生產(chǎn)進(jìn)度表、價(jià)目表、科研中的數(shù)據(jù)分析表等等，它是表述或處理大量的數(shù)據(jù)的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則清晰地展示出來(lái)，并通過矩陣的一些運(yùn)算或變換來(lái)揭示各事物之間內(nèi)在的一些聯(lián)系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對(duì)角化也有很重要的實(shí)際應(yīng)用。例如，在生物信息學(xué)中，研究人類基因的染色體圖譜進(jìn)行DNA序列對(duì)比時(shí)就要用到這些內(nèi)容，當(dāng)然在其他方面如自動(dòng)控制理論、機(jī)械振動(dòng)以及線性電路分析中，這些內(nèi)容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對(duì)二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統(tǒng)理論和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中都有應(yīng)用。例如工程上，與現(xiàn)代控制理論、無(wú)線電技術(shù)、振動(dòng)問題有著極其密切的聯(lián)系。

2.2 教學(xué)過程中教學(xué)內(nèi)容的改革

本課程的重點(diǎn)是在下表中用“★”號(hào)標(biāo)明，對(duì)這些重點(diǎn)要在學(xué)時(shí)安排上側(cè)重一些，保證能有足夠的學(xué)時(shí)進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué)，且習(xí)題課時(shí)要反復(fù)講解，反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生能切實(shí)掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點(diǎn)，非常抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生很難理解，接受起來(lái)也有困難。對(duì)此我們盡量將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（1）先講具體問題，再?gòu)倪@些具體問題中引導(dǎo)出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運(yùn)算就是從解決實(shí)際問題中提煉出來(lái)的，這使得抽象的數(shù)學(xué)概念有一個(gè)可以捉摸的實(shí)際背景，不僅使得學(xué)生容易接受；更重要的是使得學(xué)生懂得抽象的數(shù)學(xué)概念和理論是解決實(shí)際問題的有力工具，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

（2）將困難的概念分幾個(gè)層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時(shí)，涉及到了一般的矩陣秩的性質(zhì)和一些理論，并用此來(lái)求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時(shí)候，把向量組的秩和矩陣的秩聯(lián)系起來(lái)，對(duì)秩的理論作了作了進(jìn)一步闡述。分成兩步走，使得學(xué)生對(duì)秩的概念有一個(gè)逐漸的認(rèn)識(shí)過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點(diǎn)時(shí)將方法和理論分開，比如§4.3節(jié)講向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會(huì)學(xué)生會(huì)具體算，而省略一些理論證明的詳細(xì)推導(dǎo)，有興趣的學(xué)生可以去自學(xué)這些推導(dǎo)。

（4）將難點(diǎn)分解，把復(fù)雜的、難的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。

①第一章中行列式計(jì)算的主要方法就是利用行列式的性質(zhì)將一般的（難的、復(fù)雜的）行列式歸結(jié)化簡(jiǎn)為上（下）三角形行列式（簡(jiǎn)單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復(fù)雜的）線性方程組歸化為同解的簡(jiǎn)單線性方程組來(lái)求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復(fù)雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡(jiǎn)單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價(jià)、相似、合同，其實(shí)這三者也是旨在借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的，簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質(zhì)。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的、簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質(zhì)（比如是否正定）。

2.3 線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想

近幾年，我校區(qū)在數(shù)學(xué)建模方面取得了可喜的成績(jī)，多次獲得國(guó)家一、二等獎(jiǎng)級(jí)山東省一等獎(jiǎng)，這也激發(fā)了校區(qū)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模的熱情。針對(duì)這一情況，我們建議在講授課本上理論知識(shí)的同時(shí)，也給出一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析總結(jié)，通過做一些適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和引入一些合理的假設(shè)，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)此模型進(jìn)行求解，從而利用這個(gè)結(jié)果再去解釋實(shí)際問題。一方面這樣做能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本思想，另一方面又讓學(xué)生體會(huì)了線性代數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用。針對(duì)不同的專業(yè)，我們可以根據(jù)專業(yè)來(lái)選擇不同類型的數(shù)學(xué)模型，比如電氣專業(yè)，我們可以引入電路網(wǎng)絡(luò)方面的數(shù)學(xué)模型；計(jì)算機(jī)專業(yè)，可以引入關(guān)于計(jì)算機(jī)圖形處理方面的數(shù)學(xué)模型；經(jīng)濟(jì)專業(yè)，可以引入投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型等。

2.4 線性代數(shù)教學(xué)與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合

首先在教學(xué)方式上，我們可以利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，在一定程度上可以提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和效率。其次可以在線性代數(shù)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算機(jī)如常用的一些數(shù)學(xué)軟件Mathematica、MATLAB來(lái)完成繁雜的運(yùn)算，給學(xué)生提供一些簡(jiǎn)單且容易掌握的應(yīng)用程序，為學(xué)生今后參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好的基礎(chǔ)。

3 結(jié)語(yǔ)

從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)的思想構(gòu)建合作辦學(xué)條件下線性代數(shù)課程的新模式是切實(shí)可行的。毋庸置疑，當(dāng)我校區(qū)數(shù)學(xué)教師將這一新模式貫穿到他們?nèi)粘５慕虒W(xué)過程中時(shí)，我校區(qū)的數(shù)學(xué)教育定將上一個(gè)新的臺(tái)階。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要：線性代數(shù)是所有高校的一門重要的基礎(chǔ)課。該文總結(jié)了該校區(qū)目前線性代數(shù)的教學(xué)中存在的問題，然后從校區(qū)中外合作辦學(xué)和校企合作辦學(xué)的實(shí)際出發(fā)，對(duì)線性代數(shù)的課程提出一些想法和設(shè)想。

關(guān)鍵詞：合作辦學(xué) 線性代數(shù) 教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）04（c）-0113-02

線性代數(shù)是高校理、工、經(jīng)、管等專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，隨著這門課程在基礎(chǔ)課中的地位的逐步提高，以及在科學(xué)技術(shù)生產(chǎn)實(shí)踐中日益廣泛的應(yīng)用，線性代數(shù)的重要性也日益顯現(xiàn)，對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)改革勢(shì)在必行。自2007年以來(lái)，我校先后與多所國(guó)外高校開展中外合作辦學(xué)項(xiàng)目，還與企業(yè)聯(lián)合共建“計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)（軟件外包方向）”本科專業(yè)，結(jié)合這些實(shí)際情況，依據(jù)教學(xué)改革實(shí)踐的體會(huì)，該文對(duì)《線性代數(shù)》課程教學(xué)提出一些設(shè)想和做法。

1 我校線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

目前，我校線性代數(shù)的教學(xué)學(xué)時(shí)為36學(xué)時(shí)。一般放在大二的上學(xué)期。所用的教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編《線性代數(shù)》第五版。由于學(xué)時(shí)的限制我們只講授前五章的內(nèi)容。

2007年開展中外合作和校企合作以來(lái)，線性代數(shù)的教學(xué)對(duì)我們教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。一方面，線性代數(shù)課程本身就有一定的學(xué)習(xí)難度，課程涉及的概念、定理、結(jié)論非常多，比較抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生在理解上有一定的難度，不容易被他們所接受；另一方面，中外合作和校企合作辦學(xué)的學(xué)生的基礎(chǔ)相對(duì)不是很好，一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正，上課前沒有積極預(yù)習(xí)，上課時(shí)沒有認(rèn)真聽講，課后沒有及時(shí)復(fù)習(xí)練習(xí)；最后學(xué)生在思想上沒有足夠重視，他們沒有很好地了解學(xué)習(xí)線性代數(shù)的意義，普遍認(rèn)為學(xué)習(xí)線性代數(shù)沒什么用，導(dǎo)致有些學(xué)生表現(xiàn)出一定的排斥態(tài)度。

2 結(jié)合我校實(shí)際的線性代數(shù)的教學(xué)改革

2.1 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要性

線性代數(shù)是所有自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎(chǔ)。它不但是學(xué)生學(xué)習(xí)其它后續(xù)許多課程（如電路分析、控制原理、信號(hào)與系統(tǒng)等）不可缺少的重要工具，而且還為一些實(shí)際應(yīng)用問題的解決提供了一種重要方法。在講授這門課程的時(shí)候我們教師一定要讓學(xué)生明白線性代數(shù)來(lái)源于實(shí)踐，它最終也要應(yīng)用到實(shí)踐中去。

矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)重要的研究對(duì)象，也是一種常見的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，比如學(xué)生的成績(jī)單、車站時(shí)刻表、工廠里的生產(chǎn)進(jìn)度表、價(jià)目表、科研中的數(shù)據(jù)分析表等等，它是表述或處理大量的數(shù)據(jù)的有力的工具。能把一些頭緒紛繁的數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則清晰地展示出來(lái)，并通過矩陣的一些運(yùn)算或變換來(lái)揭示各事物之間內(nèi)在的一些聯(lián)系，這就是矩陣的重要作用之一。

方陣的特征值、特征向量、方陣的相似對(duì)角化也有很重要的實(shí)際應(yīng)用。例如，在生物信息學(xué)中，研究人類基因的染色體圖譜進(jìn)行DNA序列對(duì)比時(shí)就要用到這些內(nèi)容，當(dāng)然在其他方面如自動(dòng)控制理論、機(jī)械振動(dòng)以及線性電路分析中，這些內(nèi)容都是不可缺少的工具之一。

二次型的理論起源于解析幾何中對(duì)二次曲線和二次曲面的研究，它在線性系統(tǒng)理論和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中都有應(yīng)用。例如工程上，與現(xiàn)代控制理論、無(wú)線電技術(shù)、振動(dòng)問題有著極其密切的聯(lián)系。

2.2 教學(xué)過程中教學(xué)內(nèi)容的改革

本課程的重點(diǎn)是在下表中用“★”號(hào)標(biāo)明，對(duì)這些重點(diǎn)要在學(xué)時(shí)安排上側(cè)重一些，保證能有足夠的學(xué)時(shí)進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué)，且習(xí)題課時(shí)要反復(fù)講解，反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生能切實(shí)掌握（表1）。

概念多是本課程最大的難點(diǎn)，非常抽象，大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生很難理解，接受起來(lái)也有困難。對(duì)此我們盡量將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（1）先講具體問題，再?gòu)倪@些具體問題中引導(dǎo)出抽象的概念，例如§2.1和§2.2的矩陣和矩陣運(yùn)算就是從解決實(shí)際問題中提煉出來(lái)的，這使得抽象的數(shù)學(xué)概念有一個(gè)可以捉摸的實(shí)際背景，不僅使得學(xué)生容易接受；更重要的是使得學(xué)生懂得抽象的數(shù)學(xué)概念和理論是解決實(shí)際問題的有力工具，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性。

（2）將困難的概念分幾個(gè)層次講。比如矩陣的秩，在第三章講矩陣時(shí)，涉及到了一般的矩陣秩的性質(zhì)和一些理論，并用此來(lái)求解線性方程組。接著在第四章，在闡述向量組秩的時(shí)候，把向量組的秩和矩陣的秩聯(lián)系起來(lái)，對(duì)秩的理論作了作了進(jìn)一步闡述。分成兩步走，使得學(xué)生對(duì)秩的概念有一個(gè)逐漸的認(rèn)識(shí)過程，難理解的秩也就逐步理解了。

（3）講難點(diǎn)時(shí)將方法和理論分開，比如§4.3節(jié)講向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，就先講如何求的方法，將求秩的方法歸納成3步，每步都具體寫出，先教會(huì)學(xué)生會(huì)具體算，而省略一些理論證明的詳細(xì)推導(dǎo)，有興趣的學(xué)生可以去自學(xué)這些推導(dǎo)。

（4）將難點(diǎn)分解，把復(fù)雜的、難的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。

①第一章中行列式計(jì)算的主要方法就是利用行列式的性質(zhì)將一般的（難的、復(fù)雜的）行列式歸結(jié)化簡(jiǎn)為上（下）三角形行列式（簡(jiǎn)單的）。

②第三章解線性方程組也是將一般的（難的、復(fù)雜的）線性方程組歸化為同解的簡(jiǎn)單線性方程組來(lái)求解。

③第三章矩陣的秩也是將一般的（難的、復(fù)雜的）矩陣的秩歸化為階梯型矩陣的秩（簡(jiǎn)單的）。

④第二章至第五章中的矩陣間的等價(jià)、相似、合同，其實(shí)這三者也是旨在借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的，簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般矩陣（抽象的、難的）的性質(zhì)。

⑤第五章二次型中用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，借助標(biāo)準(zhǔn)形（具體的、簡(jiǎn)單的）來(lái)推斷一般二次型（抽象的、難的）的性質(zhì)（比如是否正定）。

2.3 線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想

近幾年，我校區(qū)在數(shù)學(xué)建模方面取得了可喜的成績(jī)，多次獲得國(guó)家一、二等獎(jiǎng)級(jí)山東省一等獎(jiǎng)，這也激發(fā)了校區(qū)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模的熱情。針對(duì)這一情況，我們建議在講授課本上理論知識(shí)的同時(shí)，也給出一些實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析總結(jié)，通過做一些適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和引入一些合理的假設(shè)，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)此模型進(jìn)行求解，從而利用這個(gè)結(jié)果再去解釋實(shí)際問題。一方面這樣做能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本思想，另一方面又讓學(xué)生體會(huì)了線性代數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用。針對(duì)不同的專業(yè)，我們可以根據(jù)專業(yè)來(lái)選擇不同類型的數(shù)學(xué)模型，比如電氣專業(yè)，我們可以引入電路網(wǎng)絡(luò)方面的數(shù)學(xué)模型；計(jì)算機(jī)專業(yè)，可以引入關(guān)于計(jì)算機(jī)圖形處理方面的數(shù)學(xué)模型；經(jīng)濟(jì)專業(yè)，可以引入投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型等。

2.4 線性代數(shù)教學(xué)與計(jì)算機(jī)緊密結(jié)合

首先在教學(xué)方式上，我們可以利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，發(fā)揮計(jì)算機(jī)的作用，在一定程度上可以提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和效率。其次可以在線性代數(shù)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算機(jī)如常用的一些數(shù)學(xué)軟件Mathematica、MATLAB來(lái)完成繁雜的運(yùn)算，給學(xué)生提供一些簡(jiǎn)單且容易掌握的應(yīng)用程序，為學(xué)生今后參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽打下良好的基礎(chǔ)。

3 結(jié)語(yǔ)

從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)的思想構(gòu)建合作辦學(xué)條件下線性代數(shù)課程的新模式是切實(shí)可行的。毋庸置疑，當(dāng)我校區(qū)數(shù)學(xué)教師將這一新模式貫穿到他們?nèi)粘５慕虒W(xué)過程中時(shí)，我校區(qū)的數(shù)學(xué)教育定將上一個(gè)新的臺(tái)階。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 蕭鐵樹，姜啟源，何青，等.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint