江碧侑

摘 要：數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路。使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；化繁為簡；直觀

中圖分類號：G620 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）08-247-02

借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論.因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法.也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的直觀特征去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。

一、利用“數(shù)形結(jié)合”，使復(fù)雜問題為簡單化

如果把抽象的數(shù)量關(guān)系與具體的圖形結(jié)合起來，挖掘和利用數(shù)量關(guān)系中的直觀成分，就能使問題化繁為簡，從而有效降低解決問題的難度，使問題順利得到解決。

例：1：超市的糖果搞促銷，買7贈1，有120個學(xué)生要買糖果，每人1顆，只需要買多少顆就可以了？

這是三年級上冊教材的一道思考題。對于三年級的學(xué)生來說，這道題的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜。在教學(xué)時，我們可以充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，把數(shù)量關(guān)系用圖形表示出來。這樣，就會收到意想不到的效果。買7贈1，就是買7顆糖果可以免費得到1顆，把需要付費的7顆用△△△△△△△表示，把免費的用◎表示；再把8顆分為一組，用△△△△△△△◎表示。這時，可以看120里面有多少個8，120÷8=15，也就是可以分成15組。由圖可知，每組里有7顆是需要付費的，因此一共要買的顆數(shù)是：7×15=105（顆）。這樣，恰當(dāng)運用圖形表示數(shù)量關(guān)系，不僅可以使數(shù)量關(guān)系化繁為易，而且使解決問題的方法更具有創(chuàng)造性。

例2：四年級的學(xué)生認識了三角形的內(nèi)角和是l80。后有一個變式鞏固練習(xí)：一塊三角尺的內(nèi)角和是l80°，用兩塊完全一樣的三角尺拼成一個三角形，這個三角形的內(nèi)角和是多少度？

教材上處理得很簡單，只要認識到大三角形的內(nèi)角和還是l80°，理解三角形的內(nèi)角和與三角形的大小無關(guān)。但如果僅這樣做的話，“三角尺”在這里的意義就不會完全體現(xiàn)也使學(xué)生失去了對解決問題的相關(guān)條件進行探究的機會。因為這里，拼成的三角形研究的意義在邊的特征上，不僅在內(nèi)角和上。

為了使教學(xué)活動變得富有挑戰(zhàn)性、思考性，成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，針對本題，筆者設(shè)計了以下“四做”的活動：

（一）“做”——用兩塊三角尺可以拼出三角形嗎？

（學(xué)生人手兩副相同的三角尺）

師：用兩塊三角尺可以拼出三角形嗎？

（生動手操作，拼出如圖1中的三種三角形來）

師：你拼成了怎樣的三角形？每個拼成的三角形的內(nèi)角和是多少度？

生：可以拼成直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。每個三角形的內(nèi)角和都是180。，三角形的內(nèi)角和與三角形的形狀、大小無關(guān)。

（二）“做”——任意兩塊三角尺都能拼成三角形嗎？

師：任意兩塊三角尺都可以拼出三角形嗎？

（生動手操作，隨意組合兩塊三角尺，在拼成與否中進行主動交流。）

生：只有當(dāng)兩塊完全相同的三角尺相拼，才能拼成一個大三角形。

（三）“做”——兩塊完全相同的三角尺怎樣拼，才能拼成三角形？

師：兩塊完全相同的三角尺怎樣拼，才能拼成一個大三角形？

（生動手操作，研究拼合的情況。）

生：只有把相同直角邊拼在一起，才能拼成一個大三角肜。

（四）“做”——為什么把相同直角邊拼在一起才能拼成三角形？

師：為什么把相同直角邊拼在一起才能拼成三角形？

生：……（疑惑）

生：如果把斜邊拼在一起的話只能拼成四邊形。

師：有沒有想過這樣一個問題：每個三角形有3條邊，兩個三角形，最后拼成一個三角肜還是3條邊——

生：有的邊拼的時候消失了。

師：我這里有一個算式——板書（1+l=？）

生（激動地）：這里1加1等于0！

生（更加激動地）：這里有l(wèi)加l等于1！

生：還有的1加1還是等于2！

師（故作疑惑）：l+l=？怎么會有這么多的結(jié)果？能解釋一下嗎？

生：拼合在一起的兩條直角邊最后在圖形內(nèi)了：l+1=0；另外兩條直角邊拼合形成了一條邊：1+l=1；兩條斜邊還是作為新三角形的兩條邊：l+l=2！

生：只有把相同直角邊拼在一起，一組直角邊消失了，另一組合并成了一條邊。

生：一副三角尺有三條不同的直角邊，所以有三種不同的拼法。

生：相同三角尺的兩條斜邊相等，拼成的三角形都是等腰三角形！

通過以上“四做”，學(xué)生對用三角尺拼大三角形從“表面”進入“深層”，從“偶然”走向“必然”，形象思維和邏輯思維在這個過程中作為兩種不同的思維方式相互聯(lián)系起來。

拼角的活動，首先引起了學(xué)生的形象思維，因為形象思維依靠表象進行聯(lián)想，思維常常具有跳躍性，有利于創(chuàng)新，但缺乏條理。當(dāng)老師引導(dǎo)學(xué)生從三角“形”轉(zhuǎn)向邊的“數(shù)”后，他們的邏輯思維一下子就被激發(fā)起來，在“l(fā)+1=？”的啟示下，“非代數(shù)”地理解了怎樣用兩塊完全相同的三角尺拼大三角形的真諦，然后能概括出拼

的所有可能，以至于概括出拼成三角形都是等腰三角形的共同特征。

這里，

“l(fā)+l=？”以“數(shù)”的簡潔，反映“形”的內(nèi)在關(guān)系，“數(shù)形結(jié)合”的方法起著聯(lián)系形象思維和邏輯思維的橋梁作用，數(shù)學(xué)知識在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上逐步抽象概括，上升為理性，從而提高了學(xué)生的認識水平。

二、利用“數(shù)形結(jié)合”，使抽象問題為直觀化。

小學(xué)生大多主要是憑借事物的具體形象來進行直觀思維活動的。

但是，在解決問題時，數(shù)量關(guān)系通常要用抽象思維去理解。為了解決這一矛盾，可以把抽象的數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形表示出來。如：一個長方形長增加1.5米，或?qū)捲黾?.2米，面積都增加6平方米，求原長方形的面積。根據(jù)題意可畫出上圖：從圖中可以看出，原長方形的長為：6÷1.2=5（米），原長方形的寬為：6÷1.5=4（米），因此原長方形的面積為：5×4=20（平方米）。這樣，充分利用圖形，可以把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和抽象的數(shù)學(xué)概念變得形象、直觀，從而豐富學(xué)生的表象。

三、利用“數(shù)形結(jié)合”，使隱含信息為明顯化。

在解決數(shù)學(xué)問題時，有些條件是隱含在題干背后的，不容易被發(fā)現(xiàn)或直接運用，因此挖掘出隱含條件是成功解題的關(guān)鍵。有時畫出直觀圖形，就可以使隱含的條件立刻顯現(xiàn)出來。

如：小明從前數(shù)排在第7，從后面數(shù)也排在第7，這排共有多少人？

此題學(xué)生很容易得出有14人這一錯誤的結(jié)論，這時可以引導(dǎo)學(xué)生來畫一畫。如果用口代表小明，O代表其他學(xué)生，那么可以得到：OOOOOO口OOOOOO。這時再讓學(xué)生來數(shù)一數(shù)，就可以得出正確的答案是13人。

其實這道題對于一年級的學(xué)生來說很難理解，尤其是通過題干上的數(shù)字不能直接計算出答案，也就是存在一些隱含的條件，而采用畫一畫的方法就可以使這類問題迎刃而解。解決實際問題歷來就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，學(xué)生往往在課堂上學(xué)懂的知識在運用時卻又茫然失措，這主要是因為學(xué)生欠缺一些數(shù)學(xué)思想方法。如果教師在教學(xué)中注重“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透，把數(shù)量關(guān)系用最恰當(dāng)、最清晰的圖形表示出來，就能使學(xué)生學(xué)會有效的思維方法，從而促進學(xué)生解決問題能力.

華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想時，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出圖形，同時善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，從而反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.總之，教師可以通過各種形式有意識地使學(xué)生領(lǐng)會到“數(shù)形結(jié)合”方法具有形象、直觀、易于說明等優(yōu)點，并初步學(xué)會運用“數(shù)形結(jié)合”的觀點去分析問題，解決問題。