潘耀芳　吳懋亮

摘 要 有限元法作為機(jī)械專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)課程，不僅需要傳授理論知識，而且需要結(jié)合學(xué)生的專業(yè)方向，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?shí)踐教學(xué)和實(shí)例演示，從而使學(xué)生不僅掌握相關(guān)的力學(xué)基礎(chǔ)，熟悉有限元法的基本原理和分析過程，而且運(yùn)用理論知識解決工程實(shí)踐問題，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和工程應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞 有限元法 教學(xué)方法 機(jī)械專業(yè)

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

有限元法是一種高效能、常用的計(jì)算方法，它將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。有限元方法成為解決機(jī)械工程實(shí)際問題必不可少的工具之一，同時(shí)它又是一個(gè)龐大和復(fù)雜的理論體系，需要有較深厚的數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)知識，學(xué)生在一定時(shí)間內(nèi)掌握有限元法比較困難，因此，提高有限元法教學(xué)效果成為一個(gè)亟需解決的問題。改革課程的教學(xué)結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的教學(xué)方法，多方位培養(yǎng)學(xué)生的理論應(yīng)用能力，是十分必要的。

1 普通高校機(jī)械專業(yè)的有限元法課程教學(xué)特點(diǎn)

隨著當(dāng)今科技的迅猛發(fā)展和招生數(shù)量的突飛猛進(jìn)，社會對于大學(xué)生的素質(zhì)教育提出了更高的要求，本科教學(xué)以提高勞動(dòng)者的知識和科學(xué)素養(yǎng)為主要目標(biāo)，教學(xué)過程需要照顧大多數(shù)學(xué)生的接受能力和理解能力。在課程教學(xué)中也出現(xiàn)了許多亟待解決的問題。（1）在課程設(shè)置上以授課教師為中心，而且課程設(shè)置都由培養(yǎng)方案規(guī)定，導(dǎo)致了課程設(shè)置的相對滯后；（2）在教學(xué)內(nèi)容的選取上一般以教材為中心，很大程度上限制學(xué)生的創(chuàng)新思維的發(fā)展；（3）教學(xué)方式上以教師講授為中心，學(xué)生被動(dòng)地接受知識。這種教學(xué)方式桎梏了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，抹殺了學(xué)生的懷疑精神。①

開設(shè)有限元法課程的教學(xué)，其目的不僅要使學(xué)生掌握有限元的基本概念、理論和建模技術(shù)和數(shù)據(jù)處理，而且通過本課程的學(xué)習(xí)，能夠采用數(shù)值計(jì)算的方法解決實(shí)際工程中遇到的機(jī)械分析問題。②③因此，課程的教學(xué)以知識傳授為核心，教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)計(jì)劃、組織方式、考核形式等都圍繞這一核心而制定。

（1）教學(xué)大綱：為適應(yīng)研究生知識需求的多樣性和時(shí)效性，教學(xué)大綱結(jié)合了規(guī)范性和靈活性兩方面的要求，教學(xué)大綱只對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)時(shí)數(shù)、考核方式做了規(guī)定，而對于授課內(nèi)容的細(xì)節(jié)，教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，更多地考慮學(xué)科前沿和最新工程應(yīng)用。

（2）教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)采用一本主講教材和多本參考書，教學(xué)內(nèi)容既有主講教材中的理論知識，也有從參考書中擷取的特色內(nèi)容和工程應(yīng)用，學(xué)生可以從基礎(chǔ)理論出發(fā)，并以它為藍(lán)本理解有限元領(lǐng)域的學(xué)術(shù)思想，提高了創(chuàng)新思維。課程的基本內(nèi)容包括：①桿、梁結(jié)構(gòu)有限元分析的基本步驟，連續(xù)體的離散方法和單元構(gòu)造，以及平面、軸對稱、空間問題的單元構(gòu)造的一般原理和數(shù)值求解方法；②單元節(jié)點(diǎn)的編號與存儲方法，邊界條件的處理，單元應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的誤差的產(chǎn)生原因及控制誤差和提高精度的方法；③有限元分析的發(fā)展趨勢和工程應(yīng)用，利用有限元分析軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和分析。

（3）教學(xué)計(jì)劃：有限元法的教學(xué)分為兩部分進(jìn)行，教學(xué)的前一部分以講授知識為主，后半部分采用實(shí)例式教學(xué)，以工程實(shí)例為對象，使學(xué)生通過一定時(shí)間的調(diào)研、閱讀和項(xiàng)目研究，展示研究成果，形成研究報(bào)告。

（4）考核方式：考核方式分為考試和大作業(yè)相結(jié)合的形式，試卷考查對于基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)知識的掌握，一般采用開卷形式，以考查對一些基本概念、技術(shù)或方法等方面的知識理解和知識應(yīng)用為主，避免對知識點(diǎn)的死記硬背；大作業(yè)針對學(xué)習(xí)的內(nèi)容，設(shè)置相應(yīng)的模擬工作情況，使學(xué)生利用有限元知識解決具體工程問題。

（5）授課形式：課程教學(xué)的主要采用多媒體形式講授，多媒體課件主要依據(jù)教材制作，并根據(jù)最新的研究成果和學(xué)術(shù)前沿，進(jìn)行理論教學(xué)。并采用課堂報(bào)告、工程研討等形式，提高學(xué)生對于知識的深層次理解。

2 有限元法教學(xué)方法的探討

2.1 理論結(jié)合實(shí)際應(yīng)用

基礎(chǔ)理論知識的學(xué)習(xí)是保證良好的教學(xué)效果必不可少的，需要加強(qiáng)與相關(guān)課程的聯(lián)系，如彈性力學(xué)課程中的加權(quán)殘值法以及最小勢能原理等，都是有限元教學(xué)過程中的基礎(chǔ)理論，在教學(xué)過程中，需要加強(qiáng)理論知識的補(bǔ)充和重復(fù)，才能夠保證以后本課程的教學(xué)效果，同時(shí)需要注重啟發(fā)引導(dǎo)和互動(dòng)，強(qiáng)化學(xué)生對所學(xué)的基礎(chǔ)理論知識的理解和應(yīng)用，提高學(xué)生利用基礎(chǔ)理論知識分析問題以及解決問題的能力，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)理論知識的積極性。

有限元法作為一種解決工程問題的數(shù)值分析工具，將求解域劃分為有限單元，在對單元假定一個(gè)相對簡單的位移模式，從而得到每一單元近似解，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)求解這個(gè)域的平衡方程，最終得到所求問題的解。有限元法教學(xué)不僅要明確有限元方法的實(shí)質(zhì)，而且要掌握處理問題過程的步驟和注意的問題，將抽象的概念與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，將提高學(xué)生對于概念的認(rèn)識。如平面問題中三節(jié)點(diǎn)三角形單元、四節(jié)點(diǎn)矩形單元以及其高階單元六節(jié)點(diǎn)三角形單元和八節(jié)點(diǎn)矩形單元是教學(xué)中的必要環(huán)節(jié)。課程教學(xué)的講解由單元的位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力場的構(gòu)建出發(fā)，利用最小勢能原理，計(jì)算出剛度方程。為了增加學(xué)生的認(rèn)識，教學(xué)中結(jié)合有限元軟件中的相應(yīng)單元選擇進(jìn)行進(jìn)一步講解，將軟件中的相應(yīng)單元類型列出，如Plane42單元和Plane82單元，講解單元的輸入?yún)?shù)、單元特點(diǎn)和應(yīng)用范圍等，使學(xué)生將理論知識和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合，更深入地了解單元設(shè)置的意義。

2.2 以實(shí)際工程應(yīng)用為目標(biāo)增強(qiáng)教學(xué)效果

為提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，教學(xué)中采用案例教學(xué)的方法，有針對性地提煉出工程中典型的結(jié)構(gòu)作為案例，將有限元軟件的各種功能及操作貫穿在實(shí)際的結(jié)構(gòu)分析中。主要側(cè)重模型建立、單元網(wǎng)格劃分、邊界條件定義和載荷施加等操作方法的講解，使學(xué)生能夠快速、有效地建立起有限元分析的思路。在教學(xué)過程中，選擇具有針對性的機(jī)械相關(guān)案例，講解常見的結(jié)構(gòu)分析問題，包括靜力分析、非線性問題和接觸應(yīng)力分析等；動(dòng)力學(xué)中的振動(dòng)模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)問題等；熱分析中的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析、對流散熱分析和熱輻射分析等。④例如通過分析高壓輸電鐵塔的模態(tài)分析，不僅能夠講解桿單元的選擇，而且能夠了解模態(tài)分析的過程。通過對轉(zhuǎn)子的溫度場及應(yīng)力場的分析，講解了復(fù)雜結(jié)構(gòu)的建模方法，單元的選擇，零件邊界條件和載荷的設(shè)置等，并通過設(shè)置不同的初始條件和求解目標(biāo)，可以掌握溫度場分析、零件的應(yīng)力應(yīng)變分析以及熱力耦合分析。

2.3 多媒體教學(xué)和上機(jī)實(shí)踐相結(jié)合

有限元法作為一種數(shù)值計(jì)算方法，利用多媒體技術(shù)，可以將有限元分析中的基本原理和實(shí)現(xiàn)過程生動(dòng)地展現(xiàn)給學(xué)生，使教師有更多的時(shí)間和學(xué)生實(shí)現(xiàn)教學(xué)互動(dòng)，并針對學(xué)生的關(guān)注和問題進(jìn)行有針對性的講解。特別是在工程問題的過程和結(jié)果分析，多媒體使得教學(xué)內(nèi)容更形象直觀，提高了教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)，利用多媒體教學(xué)，可以使得教學(xué)采用的有限元分析軟件的操作演示得以實(shí)現(xiàn)，能夠使得學(xué)生更為直觀地看到利用有限元分析軟件解決問題的過程。

工程實(shí)踐是進(jìn)行有限元教學(xué)的重要環(huán)節(jié)和檢驗(yàn)教學(xué)效果的重要手段，通過上機(jī)實(shí)踐，加深學(xué)生對有限元理論知識的理解和培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手解決問題的能力，體會用有限元方法分析問題的整個(gè)過程，并能夠在這個(gè)過程中發(fā)現(xiàn)問題和分析問題。

2.4 通過課程內(nèi)容研討提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量

為提高學(xué)生的參與熱情和參與能力，教學(xué)過程中，通過提出工程實(shí)際問題，讓學(xué)生自由地學(xué)習(xí)和表達(dá)自己的觀點(diǎn)。這種方法以學(xué)習(xí)者為中心，學(xué)習(xí)者在明確的教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)下，運(yùn)用科學(xué)的方法，在民主、寬容的課堂環(huán)境中，積極主動(dòng)地、具有創(chuàng)造性地介入教學(xué)活動(dòng)中，加強(qiáng)教學(xué)者與學(xué)習(xí)者之間的信息交流和反饋，使學(xué)習(xí)者能深刻地領(lǐng)會和掌握所學(xué)的知識，并能將這種知識運(yùn)用到實(shí)踐中去。⑤⑥⑦學(xué)生完成設(shè)定問題的分析后，按照設(shè)計(jì)要求完成文檔的設(shè)計(jì)工作，并采用多媒體課件形式公開講解，然后進(jìn)行相互的質(zhì)疑和答辯，這樣：（1）提出疑問，讓學(xué)生在獨(dú)立思考所設(shè)計(jì)內(nèi)容的同時(shí)，鞏固所學(xué)的相關(guān)理論知識，對提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性有很大幫助；（2）針對所提出的疑問，讓學(xué)生來解答，這個(gè)過程使學(xué)生對自己所學(xué)內(nèi)容又進(jìn)行了復(fù)習(xí)，是讓被提問的學(xué)生思考和解答，提問的同學(xué)同樣需要對整個(gè)過程進(jìn)行認(rèn)真的了解、梳理和思考。

3 結(jié)語

有限元法作為一門專業(yè)課程，對于學(xué)生利用有限元基本原理解決工程實(shí)踐問題具有重要的意義，教學(xué)過程需要根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)狀況合理安排教學(xué)工作：（1）理論和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，在講解理論知識的同時(shí)，對比分析實(shí)際分析過程中的選擇的理由、方法和差異，可以提高學(xué)生對于理論知識的理解和應(yīng)用；（2）結(jié)合學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)，選擇具有專業(yè)特色的實(shí)例進(jìn)行分析，可以提高學(xué)生利用有限元解決問題的自覺性和認(rèn)識，為學(xué)生將來的研究和工作提供有效的理論基礎(chǔ)和分析工具。（3）多媒體教學(xué)方式可以提高教學(xué)的趣味性和直觀性，同時(shí)，讓學(xué)生真實(shí)地利用軟件進(jìn)行工程分析，可以更進(jìn)一步提高學(xué)生對于有限元基本理論和應(yīng)用的理解。（4）課程研討可以使學(xué)生獨(dú)立思考有限元工程分析的內(nèi)容和相關(guān)理論知識，通過對學(xué)習(xí)內(nèi)容的復(fù)習(xí)和反思，提問了學(xué)生對整個(gè)工程分析過程的了解、梳理和思考。

基金項(xiàng)目：上海市本科重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：2013132）

注釋

① 趙玉田.關(guān)于研究生教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].繼續(xù)教育研究，2011（8）：110-111.

② 章泳健.面向應(yīng)用的《有限元分析》課程的導(dǎo)入及教學(xué)實(shí)踐[J].常熟理工學(xué)院學(xué)報(bào)（教育科學(xué)），2009（6）：116-118.

③ 錢善華，劉利國，倪自豐.有限元法在機(jī)械設(shè)計(jì)方向中的教學(xué)實(shí)踐[J].無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：22-24.

④ 劉義，薛玉君.機(jī)械工程研究生“有限單元法”課程教學(xué)探討[J].中國電力教育，2012（16）：40-41.

⑤ 藺永誠，劉箴.參與式教學(xué)法——高校課堂教學(xué)中值得推行的教學(xué)方法[J].長沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2009（1）：107-108.

⑥ 陳華.參與式教學(xué)法的原理、形式與應(yīng)用[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)論叢，2001（6）：159-161.

⑦ 婁祖安.參與式教學(xué)法的涵義及特征[J].科技信息，2009（25）：405.