數(shù)學(xué)本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)世界，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)思想，提煉數(shù)學(xué)精神，并從上述活動(dòng)中得到思想、心靈的升華. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，若能重視對問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)的追溯，無疑能有效提高學(xué)習(xí)的效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)與數(shù)學(xué)能力.

本文從一道高考試題出發(fā)，追根溯源，努力去洞察、揭示一類高考試題的本質(zhì).

春雨斷橋人難渡：

一道高考試題的思考?xì)v程

題1？搖（2009年高考上海卷）已知函數(shù)f（x）=sinx+tanx，項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足an∈-，，且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，則當(dāng)k=________時(shí)， f（ak）=0.

上海作為我國高中教育與高考改革的試驗(yàn)田，其高考試題年年有創(chuàng)意，且內(nèi)涵豐富. 比如此題，從題面看，等差數(shù)列鑲嵌在函數(shù)問題中，新意十足. 此前有作者給出如下解析：

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sinx+tanx是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且圖象過原點(diǎn).

又因?yàn)閒（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，則必有f（a14）=0，所以k=14.

這實(shí)在讓人如坐云霧中，“f（a14）=0”是如何得出的？上述解答的根據(jù)在哪兒？

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，題設(shè)條件“f（a1）+f（a2）+

…+f（a27）=0”的利用，不太可能考慮將a1，a1，…，a27代入函數(shù)解析式f（x）=sinx+tanx，那么，該如何將此函數(shù)與等差數(shù)列結(jié)合起來？也許應(yīng)該去考慮函數(shù)f（x）=sinx+tanx的性質(zhì)：奇函數(shù)， f（0）=0，且在區(qū)間-，上單調(diào)遞增.

又考慮到{an}為等差數(shù)列，故由f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0得f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+

…+f（a14+13d）=0.

假設(shè)a14>0，則f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…+f（a14+13d）>f（-13d）+…+f（-d）+f（0）+f（d）+

…+f（13d）=0，與題意矛盾;

假設(shè)a14<0，則f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…f（a14+13d）

…+f（13d）=0，也與題意矛盾.

綜上，a14=0，故f（a14）=0.

看似一道小小填空題，其實(shí)并不簡單！本題巧妙地將等差數(shù)列與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性融為一體，解題突破口隱藏得深，不易尋找合適的切入點(diǎn)，同時(shí)對推理論證的能力有相當(dāng)高的要求，給人一種“山重水復(fù)疑無路”、“春雨斷橋人難渡”的困苦之感.

小舟撐出柳陰來：

試題的本質(zhì)透析

從有效解題的角度來說，對試題的求解過程進(jìn)行回顧與總結(jié)，努力尋找試題背后隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也許還能收獲更多. 對上題的求解過程進(jìn)行回顧，我們不難總結(jié)出下述結(jié)論：

定理1 ?已知函數(shù)f（x）是定義在D（0∈D）上的奇函數(shù)，且為單調(diào)函數(shù)，等差數(shù)列{an}滿足an∈D，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=0，則ak+1=0.

證明 ?設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=f（ak+1-kd）+f[ak+1-（k-1）d]+…+f（ak+1-d）+f（ak+1）+f（ak+1+d）+…+f[ak+1+（k-1）d]+f（ak+1+kd） ①.

（1）若函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞增，假設(shè)ak+1>0，則①式>f（-kd）+f[-（k-1）d]+…+f（-d）+f（0）+f（d）+…+f[（k-1）d]+f（kd）=0，這與f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=0相矛盾;假設(shè)ak+1<0，則①式

（2）若函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞減，同理有ak+1=0.

綜上，命題得證.

我們知道，奇函數(shù)的圖象其實(shí)是一種中心對稱圖形，只是其對稱中心恰好為原點(diǎn). 進(jìn)一步進(jìn)行一般化，可得以下結(jié)論：

定理2 ?已知函數(shù)f（x）是定義在D上的單調(diào)函數(shù)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)（a， f（a））對稱，等差數(shù)列{an}滿足an∈D，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=（2k+1）f（a），則ak+1=a.

證明 ?因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a， f（a））對稱，由平移知識(shí)知，函數(shù)g（x）=f（x+a）-f（a）為奇函數(shù)，且g（x）仍為單調(diào)函數(shù). 令bn=an-a，則數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.

由f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=（2k+1）f（a），得[f（a）-f（a）]+[f（a）-f（a）]+

…+[f（a2k+1）-f（a）]=0，即g（b1）+g（b2）+

…+g（b2k+1）=0.

結(jié)合定理1，有bk+1=0，即ak+1=a.

學(xué)而生疑，疑而有思，思然后得. 數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)正是在思維的層層深入中揭開了神秘的面紗，繁華除盡真顏現(xiàn).

順便指出，從平移的角度看，定理1與定理2其實(shí)是等價(jià)的.

一題可破萬題山：

一類高考試題的完美求解

運(yùn)用上述定理，可以輕松解決2012年四川卷的兩道高考難題.endprint

題2？搖（2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7等于（ ? ?）

A. 0 ? B. 7 ? C. 14 ? D. 21

解析 ?由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，顯然g（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù). 再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-3，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以②式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正確選項(xiàng)為D.

題3 （2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5等于（ ? ?）

A. 0？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. π2

解析？搖 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，顯然g（x）是奇函數(shù)，且由導(dǎo)數(shù)知識(shí)易判斷g（x）為遞增函數(shù).再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以，③式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正確選項(xiàng)為D.

評注 ?此兩題都結(jié)合定理1去構(gòu)造單調(diào)的奇函數(shù)進(jìn)行求解，當(dāng)然也可以結(jié)合定理2進(jìn)行構(gòu)造，只是我們對奇函數(shù)的判斷比對一般中心對稱圖形的判斷更為簡潔而迅速.

實(shí)踐表明，透析數(shù)學(xué)問題背后的本質(zhì)是破除題海最有力、最有效的武器.在學(xué)習(xí)的過程中，我們必須切實(shí)加強(qiáng)回顧與反思，以達(dá)到“一題可破萬題山”的境界.endprint

題2？搖（2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7等于（ ? ?）

A. 0 ? B. 7 ? C. 14 ? D. 21

解析 ?由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，顯然g（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù). 再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-3，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以②式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正確選項(xiàng)為D.

題3 （2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5等于（ ? ?）

A. 0？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. π2

解析？搖 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，顯然g（x）是奇函數(shù)，且由導(dǎo)數(shù)知識(shí)易判斷g（x）為遞增函數(shù).再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以，③式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正確選項(xiàng)為D.

評注 ?此兩題都結(jié)合定理1去構(gòu)造單調(diào)的奇函數(shù)進(jìn)行求解，當(dāng)然也可以結(jié)合定理2進(jìn)行構(gòu)造，只是我們對奇函數(shù)的判斷比對一般中心對稱圖形的判斷更為簡潔而迅速.

實(shí)踐表明，透析數(shù)學(xué)問題背后的本質(zhì)是破除題海最有力、最有效的武器.在學(xué)習(xí)的過程中，我們必須切實(shí)加強(qiáng)回顧與反思，以達(dá)到“一題可破萬題山”的境界.endprint

題2？搖（2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7等于（ ? ?）

A. 0 ? B. 7 ? C. 14 ? D. 21

解析 ?由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，顯然g（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù). 再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-3，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以②式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正確選項(xiàng)為D.

題3 （2012年高考四川卷）設(shè)函數(shù)f（x）=2x-cosx，{an}是公差為的等差數(shù)列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5等于（ ? ?）

A. 0？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. π2？搖？搖？搖？搖？搖？搖 D. π2

解析？搖 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，顯然g（x）是奇函數(shù)，且由導(dǎo)數(shù)知識(shí)易判斷g（x）為遞增函數(shù).再構(gòu)造數(shù)列{bn}：bn=an-，顯然{bn}是一個(gè)等差數(shù)列. 所以，③式等價(jià)于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正確選項(xiàng)為D.

評注 ?此兩題都結(jié)合定理1去構(gòu)造單調(diào)的奇函數(shù)進(jìn)行求解，當(dāng)然也可以結(jié)合定理2進(jìn)行構(gòu)造，只是我們對奇函數(shù)的判斷比對一般中心對稱圖形的判斷更為簡潔而迅速.

實(shí)踐表明，透析數(shù)學(xué)問題背后的本質(zhì)是破除題海最有力、最有效的武器.在學(xué)習(xí)的過程中，我們必須切實(shí)加強(qiáng)回顧與反思，以達(dá)到“一題可破萬題山”的境界.endprint