金曉江

摘 ?要：歸納、猜想、證明是獲取數(shù)學知識的一種重要途徑，可以用在一個具體問題的解決上，也可以用在對這類問題共性和規(guī)律的再歸納、再猜想、再證明，從而得到更一般的結(jié)論，這樣的數(shù)學學習會更有意義.

關鍵詞：對稱中心;對稱軸

《基于合情推理的解題教學實踐》一文摘錄

題目1 已知實數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

設f（x）=x3-3x2+5x-3，f（-1）=-12，f（0）=-3，f（1）=0，f（2）=3，f（3）=12，師生共同發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）關于點（1，0）中心對稱.

題目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差為 ?的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2-a1a5等于（ ?）

A.？搖0 B.？搖 ? C.？搖 ? D.？搖

解：因為f（-π）=-2π+1，f- ?= -π，f（0）=-1，

f ?=π，f（π）=2π+1，f ?=3π，f（2π）=4π-1，由此歸納出函數(shù)f（x）關于點 ?，π中心對稱.

應用推廣上碰到了問題

其實以上兩例中，如果題目設定的函數(shù)對稱中心的數(shù)值更復雜些，就不太容易得出猜想，所以從一組特殊的函數(shù)值歸納猜想函數(shù)的對稱中心并不太容易.

如f（x）=x3-x2+5x的圖象對稱中心為 ?， ?.

又如f（x）=2x-cos4x的圖象對稱中心為 ?， ?.

所以有必要尋求一種求解函數(shù)圖象對稱中心的更加方便的方法.

對稱中心的求解有法可依

定理1 ?定義在R上的可導函數(shù)f（x）的圖象關于點（h，f（h））對稱的充要條件是導函數(shù)f ′（x）的圖象關于直線x=h對稱.

必要性證明：若函數(shù)f（x）的圖象關于點（h，f（h））對稱，則對于任意的x恒有f（h+x）+f（h-x）=2f（h）.

因為函數(shù)f（x）可導，對上式兩邊求導得f ′（h+x）-f ′（h-x）=0，即f ′（h+x）=f ′（h-x）.

所以函數(shù)f ′（x）的圖象關于直線x=h對稱.

充分性證明：若函數(shù)f ′（x）的圖象關于直線x=h對稱，則對于任意的x恒有f ′（h+x）=f ′（h-x）.

對上式兩邊積分得f（h+x）=-f（h-x）+λ.

令x=0，則有λ=2f（h），

所以f（h+x）+f（h-x）=2f（h），

所以函數(shù)f（x）的圖象關于點（h，f（h））對稱.

定理1給出了求函數(shù)對稱中心的一條路徑，即欲求函數(shù)圖象的對稱中心，可先求其導函數(shù)圖象的對稱軸.

對稱中心條件下的一個結(jié)論

定理2 ?定義在A上的單調(diào)函數(shù)f（x）的圖象關于點（a，f（a））對稱，等差數(shù)列{an}滿足an∈A，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=（2k+1）f（a），則an+1=a.

證明：設等差數(shù)列的公差為d，

1. 當函數(shù)f（x）單調(diào)遞增時.

若an+1>a，則f（a1）+f（a2）+…+f（a2n+1）=f（an+1-nd）+…+f（an+1）+…+f（an+1+nd）>f（a-nd）+…+f（a）+…+f（a+nd）=（2n+1）f（a），這與已知矛盾若an+1

2. 當函數(shù)f（x）單調(diào)遞減時，同理可得an+1=a.

綜上，定理2成立.

結(jié)論的應用舉例

題目1 已知實數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

解：設f（x）=x3-3x2+5x，

則f ′（x）=3x2-6x+5.

因為函數(shù)f ′（x）的圖象關于直線x=1對稱，由定理1得函數(shù)f（x）的圖象關于點（1，3）對稱.

所以f（a）+f（2-a）=6？搖（1），

因為f（a）+f（b）=6？搖（2），

（1）-（2）得f（2-a）=f（b）.

因為f ′（x）=3x2-6x+5=3（x-1）2+2>0，

所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，

由f（2-a）=f（b）可得2-a=b，

所以a+b=2.

題目2 已知f（x）=2x-cosx，{an}是公差為 ?的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π. 則[f（a3）]2-a1a5等于（ ?）

A.？搖0 B.？搖 ? C.？搖 ? D.？搖

解：因為f ′（x）=2+sinx>0，所以f（x）為增函數(shù)且f ′（x）的圖象關于直線x= ?對稱，由定理1得函數(shù)f（x）的圖象關于點 ?，π中心對稱.

因為f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π=5f ?，由定理2得a3= ?. 所以[f（a3）]2-a1a5=π2- ?- ? ?+ ?= ?.

題目3 已知函數(shù)f（x）=（x-3）5+x-1，等差數(shù)列{an}的公差d≠0，f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=54，若f（ak）=2，求k的值.

解：因為f ′（x）=5（x-3）4+1>0，所以f（x）為增函數(shù)且f ′（x）的圖象關于直線x=3對稱. 由定理1知f（x）的圖象關于點（3，2）對稱.

因為f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=27f（3），

由定理2得a14=3.

所以f（a14）=f（ak）=2，而f（x）為增函數(shù). 所以ak=a14，因為公差d≠0，所以k=14.

歸納、猜想、證明是獲取數(shù)學知識的一種重要途徑. 可以用在一個具體問題的解決上，也可以用在對這類問題共性和規(guī)律的再歸納、再猜想、再證明，從而得到更有一般性的結(jié)論，這樣的數(shù)學學習會更有意義.