高名旺，張憲民（.山東理工大學(xué)機械工程學(xué)院 淄博，55049）（.華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院 廣州，5064）

高速平面并聯(lián)機器人動態(tài)分析與實驗*

高名旺1，張憲民2
（1.山東理工大學(xué)機械工程學(xué)院 淄博，255049）
（2.華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641）

基于彈性動力學(xué)和實驗對高速輕型平面并聯(lián)機器人的動態(tài)響應(yīng)進行研究。首先，根據(jù)機構(gòu)的幾何和慣性非線性建立機構(gòu)運動微分方程組，對機構(gòu)的兩個典型位形的動態(tài)響應(yīng)進行分析；其次，建立了由3-RRR輕型并聯(lián)機構(gòu)和控制系統(tǒng)組成的實驗裝置，對理論分析進行了驗證。結(jié)果表明，在位形2，理論分析和實驗一致，即機構(gòu)的殘余振動很快衰減；在位形1，理論分析與實驗兩者不同，實驗測量的動態(tài)響應(yīng)為自激振動，而數(shù)值仿真得到衰減的殘余振動。同時，結(jié)果也表明機構(gòu)在不同位形有不同的動態(tài)響應(yīng)。

平面并聯(lián)機器人；高速；彈性動力學(xué)；殘余振動

引 言

和串聯(lián)機構(gòu)相比，并聯(lián)機構(gòu)具有高定位精度、更高的加速度和負(fù)載能力等［1］優(yōu)點，因而應(yīng)用廣泛；然而并聯(lián)機構(gòu)在工作空間的動態(tài)特性非常復(fù)雜［2］，這給機構(gòu)的設(shè)計和使用造成很大困難。輕量化的并聯(lián)機器人在高速、高加速工作時，桿件的彈性變形容易導(dǎo)致系統(tǒng)整體彈性振動，從而影響機構(gòu)的應(yīng)用。彈性動力學(xué)廣泛用于模擬串聯(lián)機器人和四桿機構(gòu)［3］，也逐漸用于并聯(lián)機構(gòu)分析。文獻［4］利用虛功原理對柔性五桿機構(gòu)建立動力學(xué)模型并實驗驗證。Zhou等［5］運用有限元法建立柔性3-PRS機構(gòu)的動力學(xué)公式并分析其振動特性。Wang等［6］和Zhang等［7］分別運用有限元法和假定模態(tài)法對3-PRR機構(gòu)建立動力學(xué)模型，并對其進行了主動振動控制研究。劉善增等［8］對3-RRC并聯(lián)機器人建模分析其動態(tài)特性。Zhao等［9］運用有限元方法模擬分析六自由度并聯(lián)機器人的動態(tài)特性。Rognant等［10］提出一種建立并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)模型的步驟。然而，以上研究在不同位形、高速運動對并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)特性影響的分析，尤其是實驗研究相對較少［11］。

筆者基于有限元法建立3-RRR機構(gòu)的彈性動力學(xué)模型，在工作空間內(nèi)對不同位形的動態(tài)特性進行研究。首先，利用彈性動力學(xué)模型對機構(gòu)的兩個典型位形的動態(tài)特性進行分析；然后，利用實驗裝置對兩個典型位形的動態(tài)特性進行測試。結(jié)果表明，在位形2位置，仿真結(jié)果和實驗結(jié)果一致，而位形1的仿真結(jié)果和實驗結(jié)果有較大差異。該研究結(jié)果為機器人的運動規(guī)劃和控制提供參考。

1 3-RRR機構(gòu)彈性動力學(xué)模型

如圖1所示，3-RRR平面并聯(lián)機器人由動平臺、靜平臺和鏈接兩者的支鏈組成。支鏈由鉸和連桿組成，其中：鉸包含主動鉸Oi、被動鉸Bi和Ci；連桿分別為主動桿OiBi和被動桿BiCi。假設(shè)連桿為柔性桿，其余元件為剛性體。慣性坐標(biāo)系O-xy建立在靜平臺上，坐標(biāo)系原點在三角形O1O2O3的形心，z軸按右手螺旋確定。

圖1 3-RRR機構(gòu)Fig.1 3-RRR mechanism

1.1 單元位移

柔性連桿的運動用等效剛體模型描述［12］。平面梁單元如圖2所示。實線部分為彈性變形單元，虛線部分為假設(shè)的剛體未變形單元。單元坐標(biāo)系為a-xy，x軸為剛體單元中性軸方向，原點在剛體單元的端點a。

彈性體的橫向變形采用三次Hermit多項式［13］，軸向彈性位移采用線性插值函數(shù)。彈性體中任意一點的彈性位移在單元坐標(biāo)系中可表示為

其中：ue為梁單元位移向量；Ne為梁單元形函數(shù)；r為彈性體中C點相對瞬態(tài)剛體運動的彈性位移向量，式中向量左上標(biāo)e表示在單元坐標(biāo)系中表示。

位置向量可寫成如下形式

其中：Ro為C點在剛性單元中對應(yīng)的點的坐標(biāo)向量；T2為慣性坐標(biāo)系到單元坐標(biāo)系的2×2矩陣。對式（2）兩邊求導(dǎo)可得C點速度

其中：T為慣性坐標(biāo)系聯(lián)系單元坐標(biāo)系的6×6常數(shù)矩陣；T～

表示公式求導(dǎo)。

圖2 歐拉-伯努利單元Fig.2 Euler-Bernoulli element

1.2 支鏈的動能和勢能

支鏈中的連桿由3部分組成，即連桿兩端的集中質(zhì)量和中間的柔性桿。筆者把柔性桿作為一個柔性單元，連桿兩端集中質(zhì)量的動能分別合并到動平臺和被動鉸Bi單元的動能中。支鏈的動能為

其中：Vij為第i支鏈第j連桿的勢能。

1.3 全局坐標(biāo)

系統(tǒng)的全局坐標(biāo)如圖3所示，總共取18個節(jié)點坐標(biāo)。系統(tǒng)全局坐標(biāo)可表示為

其中：Tic為第i支鏈的動能；Tij為第i支鏈第j連桿的動能；TBi為第i支鏈被動鉸Bi的動能。

支鏈的勢能為

圖3 全局坐標(biāo)Fig.3 Global coordinate

單元位移向量和全局坐標(biāo)的映射由連接矩陣Si1，Si2，SBi和Sp實現(xiàn)。

單元i1的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

單元i2的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

單元Bi的位移向量與全局坐標(biāo)的關(guān)系為

動平臺的位移向量和全局坐標(biāo)的關(guān)系為

1.4 系統(tǒng)動力學(xué)模型

1.4.1 動力學(xué)模型

考慮剛體運動對彈性振動的影響，因而機構(gòu)的拉格朗日等式可用系統(tǒng)的柔性全局坐標(biāo)表示，則3-RRR機構(gòu)的運動等式為

1.4.2 增加比例阻尼的系統(tǒng)動力學(xué)模型

通常在有限元分析中，使用比例阻尼模擬結(jié)構(gòu)阻尼，比例阻尼是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組

其中：Tp為動平臺的動能。

把式（4），（5），（7）～（10）分別代入式（11），整理并寫成矩陣形式為合［14］，即增加比例阻尼后動力學(xué)模型可表示為

2 數(shù)值仿真

為研究機構(gòu)在工作空間不同位形的動態(tài)特性，以機構(gòu)的兩個典型位形為例進行運動響應(yīng)研究。利用彈性動力學(xué)模型對機構(gòu)在典型位形的動態(tài)響應(yīng)進行仿真分析。并聯(lián)機構(gòu)的桿件采用鋁合金，材料彈性模量為0.7×105MPa，材料密度為2.7×103kg/m3，主要參數(shù)如表1所示。

表1 機構(gòu)連桿參數(shù)Tab.1 Parameters of mechanism link

2.1 位形1的殘余振動仿真分析

位形1（0.15 m，0）如圖4所示。機構(gòu)以梯形速度規(guī)劃從原點移動到點（0.15 m，0），其加速度為20 m/s2，速度為1 m/s。此位移被稱為軌跡1，具體位移規(guī)律為

圖4 位形1Fig.4 Configuration one

其中：a為運動加速度；x，y分別表示x，y軸方向的位移規(guī)律；φ表示繞z軸的轉(zhuǎn)動規(guī)律。

式（15）描述了機構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點移動到點（0.15 m，0）。為更好地比較機構(gòu)在位形1的動態(tài)特性，在Matlab/Simulink中編程并運行0.5 s。動平臺的動態(tài)響應(yīng)如圖5和圖6所示，分別表示機構(gòu)在x軸和y軸的振動位移。

圖5 位形1的x軸振動位移Fig.5 Vibration of x direction at configuration one

圖6 位形1的y軸振動位移Fig.6 Vibration of y direction at configuration one

由圖5可看到，在加速階段，即0≤t≤0.05 s，機構(gòu)受到較大沖擊，x軸的振動幅值為1.39 mm。在勻速階段，即0.05＜t≤0.15 s，振動幅值減少。在減速階段，即0.15＜t≤0.2 s，振動幅值又增加，達到2.85 mm，此時機構(gòu)的剛度變小，從而導(dǎo)致彈性變形增大。最后，當(dāng)t＞0.20 s時，運動響應(yīng)為殘余振動，其幅值為1.18 mm，并且逐漸衰減。由圖6看到，在各個階段，機構(gòu)在y向的振動幅值都較小，幅值為0.44 mm，尤其是殘余振動振幅小，為0.15 mm，衰減快說明x向擾動對y方向的影響較小。

2.2 位形2的殘余振動仿真分析

位形2如圖7所示，即點（-0.15 m，0），是位形1的對稱位形。軌跡2為機構(gòu)從原點沿x軸運動到點（-0.15 m，0）。機構(gòu)位移規(guī)律如式（16）所示。

圖7 位形2Fig.7 Configuration two

式（16）描述了機構(gòu)在0.2 s內(nèi)沿x軸從原點移動到位形2，移動速度和加速度與前面一致。動平臺的動態(tài)響應(yīng)如圖8，9所示。圖8為x軸振動位移。圖9為y軸振動位移。

圖8 位形2的x軸振動位移Fig.8 Vibration of x direction at configuration two

從圖8可知，在加速階段，x軸的振動幅值較大，達到1.33 mm。在勻速運動階段，振動幅值減少。在減速運動時，幅值為0.81 mm，比加速階段的幅值小。最后，運動到達指定點后，即t＞0.20 s時，機構(gòu)的殘余振動幅值僅為0.19 mm且很快衰減。

在圖9中，y軸各階段的振動幅值都較小，加速階段y向振動幅值僅為0.09 mm，說明在此階段x軸的力擾動對y軸的影響較小，同時也表明此時其y軸剛度大；在減速階段，y軸產(chǎn)生的振動幅值為0.73 mm，比加速時大，意味著機構(gòu)在y軸的剛度變小了；最后，機構(gòu)殘余振動的幅值為0.28 mm。

圖9 位形2的y軸振動位移Fig.9 Vibration of y direction at configuration two

圖5與圖8比較可知，位形1的殘余振動幅值比位形2的大，說明機構(gòu)在位形1的剛度小，振動超調(diào)量大。圖6和圖9比較可知，不同的方向有不同幅值的殘余振動，說明機構(gòu)在某一位形的不同方向的剛度也不同。

3 實 驗

3-RRR實驗設(shè)備如圖10所示，設(shè)備包含并聯(lián)機構(gòu)、伺服電動機和dSPACE控制器。3-RRR機構(gòu)由鋁合金制成的輕型連桿、動平臺和基座組成，連桿之間用滾動軸承連接。3個交流伺服電動機被固定在基座上，其額定轉(zhuǎn)速為3 kr/min。在Matlab/Simulink中編好程序，然后下傳到dSPACE中，通過伺服電動機控制機構(gòu)運動。

機構(gòu)的運動速度為1 m/s，加速度為20 m/s2。機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)用動平臺的位移表示，動平臺的位移由激光干涉儀XL-80測量得到。軌跡1的實測位移如圖11所示?？梢钥吹剑瑱C構(gòu)的殘余振動振幅由1.63 mm逐漸增大至3.57 mm，最后形成幅值固定的有規(guī)律的振動，這種振動為自激振動。這種現(xiàn)象和圖5的仿真結(jié)果有所不同，因為機器人發(fā)生機電耦合作用。機構(gòu)在此位形的殘余振動誘發(fā)了伺服系統(tǒng)，伺服系統(tǒng)成為機構(gòu)的激勵源，從而形成了自激振動。圖12為位移1的速度變化規(guī)律，該圖清楚地表明自激振動的發(fā)生和發(fā)展。

圖10 3-RRR機構(gòu)照片F(xiàn)ig.10 Photo of the 3-RRR manipulator

圖11 軌跡1的動態(tài)響應(yīng)Fig.11 Dynamic response of trajectory one

圖12 軌跡1的速度Fig.12 Velocity of trajectory one

軌跡2的實測位移如圖13所示，機構(gòu)的殘余振動的幅值為0.14 mm且很快衰減。與圖10相比，振動非常小，因而機構(gòu)在位形2的動態(tài)性能更好。與圖8相比，兩者的殘余振動幅值相近，相差0.05 mm。實驗證明理論模型能模擬機構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。

圖13 軌跡2的動態(tài)響應(yīng)Fig.13 Dynamical response of trajectory two

圖14 軌跡2的速度Fig.14 Velocity of trajectory two

由圖14的速度變化可以清楚地看到機構(gòu)的殘余振動變化規(guī)律。圖12和圖14比較發(fā)現(xiàn)，機構(gòu)在位形1的殘余振動較大且不斷增大，形成自激振動，在位形2的殘余振動幅值小且衰減很快。

4 結(jié)束語

動力學(xué)模型能較好地模擬機構(gòu)的殘余振動，但不能正確地模擬實際機器人的自激振動。模擬和實驗表明并聯(lián)機器人在不同位形的殘余振動有很大不同。有的位形超調(diào)量大，而且會形成自激振動，有的位形超調(diào)量小，因而在應(yīng)用并聯(lián)機構(gòu)時要考慮在不同位形的動態(tài)響應(yīng)，避免較大的位置誤差。仿真可以看出，機構(gòu)在同一位形時，不同方向的動態(tài)響應(yīng)也不同，因此實際應(yīng)用時要考慮機構(gòu)的運動方向。

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TP242；TH113

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.023

高名旺，男，1973年1月生，博士、講師。主要研究方向為并聯(lián)機器人動力學(xué)與控制。曾發(fā)表《3-RRR高速并聯(lián)機器人運動學(xué)設(shè)計與實驗》（《機器人》2013年第35卷第6期）等論文。E-mail：gmw-2001@163.com

*國家自然科學(xué)基金重大研究計劃資助項目（91223201）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目（2012ZP0004）

2014-01-28；

2014-04-28