☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 周 玉

教材研究：編排意圖指向何方？
——以人教版“平方根”教學(xué)編排為例

☉江蘇省南通市第一初級(jí)中學(xué) 周 玉

華東師大終身教授鐘啟泉先生關(guān)于教材使用，曾有深刻的闡釋?zhuān)娊淌谡J(rèn)為：“教師究竟是‘教教材’還是‘用教材教’，這是區(qū)分新舊教學(xué)的分水嶺.”并進(jìn)一步指出：“教師的‘教材研究’，實(shí)際上是指教師在深刻理解教材本質(zhì)的基礎(chǔ)上，思考如何借助教材使學(xué)習(xí)者掌握某種能力（關(guān)于自然、社會(huì)、文化的知識(shí)、技能和態(tài)度），從而思考怎樣的教學(xué)設(shè)計(jì).教師的‘教材研究’的焦點(diǎn)在于如何實(shí)現(xiàn)教材的兩個(gè)轉(zhuǎn)化.”受到啟發(fā)，筆者將圍繞義務(wù)教育階段人教版教材中關(guān)于“平方根”的編排，就其編排意圖展開(kāi)深入思考，與同行展開(kāi)研討，就教于大家.

一、人教版“平方根”的編排及初步理解

在人教版“平方根”中，教科書(shū)從典型的實(shí)際問(wèn)題（已知正方形的面積求邊長(zhǎng)）出發(fā)，首先介紹算術(shù)平方根，給出算術(shù)平方根的概念和它的符號(hào)表示；再對(duì)數(shù)的平方根展開(kāi)討論，介紹利用乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算求數(shù)的平方根的方法，給出平方根的概念和它的符號(hào)表示，并探討數(shù)的平方根的特征.

教材中“算術(shù)平方根”是這樣定義的：“如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.”在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生無(wú)論在嘗試定義，還是理解定義時(shí)，往往會(huì)忽視“正數(shù)x”這個(gè)條件，所以導(dǎo)致部分同學(xué)在求算術(shù)平方根時(shí)反而多出一個(gè)答案.事實(shí)上能做對(duì)的同學(xué)也未必真正理解了算術(shù)平方根的定義，他們中部分人對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，本身就僅停留在前面兩個(gè)學(xué)段所學(xué)的“正有理數(shù)和零”的范疇，做對(duì)實(shí)屬歪打正著.因?yàn)樗麄冊(cè)诤竺妗捌椒礁钡膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，又再一次暴露出這個(gè)問(wèn)題，出現(xiàn)了丟解的情況，對(duì)于“算術(shù)平方根”與“平方根”之間的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上未能將新經(jīng)驗(yàn)與舊經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行綜合概括去建構(gòu)知識(shí)，所以理解出現(xiàn)偏差.

鑒于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備與認(rèn)知水平，我們能否把教學(xué)順序進(jìn)行調(diào)整，先介紹平方根，再介紹算術(shù)平方根呢？

先來(lái)看看教科書(shū)為何作此安排，人教版八年級(jí)上冊(cè)《教師教學(xué)用書(shū)》指出：由于實(shí)際中所求問(wèn)題的答案往往是正數(shù)的情況，因此教科書(shū)先介紹算術(shù)平方根，讓學(xué)生看到算術(shù)平方根與實(shí)際的聯(lián)系，在學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)平方根.初中數(shù)學(xué)新課程特別重視問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，常常把它作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重要來(lái)源.那么此處的問(wèn)題情境究竟能否起到拋磚引玉的作用呢？

二、基于“認(rèn)知根源”的進(jìn)一步分析

塔爾在1989年提出認(rèn)知根源的概念，與某個(gè)數(shù)學(xué)概念相關(guān)的特定的生活經(jīng)驗(yàn)是個(gè)體認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知根源.教材為引入“算術(shù)平方根”創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，可以看作是學(xué)生學(xué)習(xí)“算術(shù)平方根”的認(rèn)知根源.認(rèn)知根源具有兩重性，一方面有可能助長(zhǎng)概念生成，一方面也可能阻礙概念發(fā)展.此處的問(wèn)題情境有助于學(xué)生生成“算術(shù)平方根”的概念，卻不利于學(xué)生在“算術(shù)平方根”的基礎(chǔ)之上建構(gòu)“平方根”的概念，甚至給學(xué)生造成一種錯(cuò)誤的印象，即“方程x2=25只有一個(gè)解”.

如何發(fā)揮這個(gè)認(rèn)知根源的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生由具體的實(shí)例向抽象的概念過(guò)渡，避免給“平方根”的學(xué)習(xí)造成不必要的困惑，筆者認(rèn)為可以調(diào)換一下“平方根”的教學(xué)順序，先教“平方根”再教“算術(shù)平方根”.順便指出，著名特級(jí)教師李庾南老師在平方根的第1課時(shí)，就是先組織學(xué)生學(xué)習(xí)平方根，再引出算術(shù)平方根的概念，筆者感覺(jué)非常自然、大方，而且有數(shù)學(xué)味.

學(xué)生在抽象“已知正方形求面積”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，僅能到達(dá)“已知x2=25，求x”這個(gè)水平，無(wú)法達(dá)到“已知正數(shù)x的平方等于25，求正數(shù)x”這一水平，鑒于此，作為教者，我們應(yīng)充分尊重學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力，在此基礎(chǔ)上開(kāi)展教學(xué).

平方根屬于運(yùn)算性概念，而運(yùn)算性概念包含“過(guò)程”和“對(duì)象”兩重特性.斯發(fā)德認(rèn)為“運(yùn)算性（即過(guò)程）是獲得概念的第一步”，研究表明，只有在“過(guò)程”上花足夠的時(shí)間，積累相當(dāng)多的經(jīng)驗(yàn)，才能最終形成概念“對(duì)象”.由此可見(jiàn)，平方運(yùn)算是認(rèn)識(shí)“平方根”的基礎(chǔ)，而且是必經(jīng)之路.那么就讓學(xué)生從平方運(yùn)算“x2=25”開(kāi)始，認(rèn)識(shí)開(kāi)平方運(yùn)算、認(rèn)識(shí)平方根，又有何不可呢？為什么要人為地制造障礙，增加附加條件“（正數(shù)x）2=25”，使簡(jiǎn)單運(yùn)算復(fù)雜化呢？

而且學(xué)生的這個(gè)認(rèn)知漏洞可以在后面的解答中得到彌補(bǔ)，因?yàn)椤罢叫芜呴L(zhǎng)不可能為負(fù)數(shù)”這一認(rèn)知水平學(xué)生還是具備的，學(xué)生完全可以通過(guò)檢驗(yàn)這一步驟來(lái)完善整個(gè)問(wèn)題的解答.也許學(xué)生在建模過(guò)程中出現(xiàn)瑕疵，讓教學(xué)看上去不那么完美，但是以尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)的教學(xué)本身才是完美.教材如此安排，還有一個(gè)原因是“正數(shù)有兩個(gè)平方根”與學(xué)生過(guò)去遇到的運(yùn)算結(jié)果唯一的情況有所不同，學(xué)生不易接受，所以教材先介紹算術(shù)平方根的概念，再介紹平方根的概念.那么學(xué)生是否真的對(duì)此一窮二白，毫無(wú)準(zhǔn)備呢？事實(shí)上，學(xué)生進(jìn)入初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，遇到的第一個(gè)問(wèn)題就是“從正數(shù)到負(fù)數(shù)”，因此八年級(jí)的學(xué)生所認(rèn)識(shí)到的數(shù)已擴(kuò)充至有理數(shù)，包括正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，“負(fù)數(shù)”是他們認(rèn)知概念中必須具備的；而且在七年級(jí)第一學(xué)期就認(rèn)識(shí)到“絕對(duì)值是1的數(shù)有兩個(gè)”這類(lèi)雙解的問(wèn)題.

三、建議先講平方根，再定義算術(shù)平方根

前蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論表明，兒童有兩種發(fā)展水平，“一種是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平；另一種是兒童可能達(dá)到的發(fā)展水平”，這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”.他主張“教學(xué)應(yīng)走在學(xué)生已有發(fā)展水平前面”，那么在“平方根”的教學(xué)中，我們完全可以不必降低要求，從“算術(shù)平方根”入手；相反我們可以在學(xué)生已有發(fā)展水平之上，提出問(wèn)題，引出平方根的概念，這樣才能真正促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，而不是原地踏步.也許從難到易有違情理，看上去不那么完美，但是帶動(dòng)學(xué)生更高、更快、更強(qiáng)地發(fā)展才是真正的完美.新課程以促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展為目標(biāo)，它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更強(qiáng)調(diào)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，而先講平方根正是“數(shù)學(xué)的不完美”成就了“學(xué)生學(xué)習(xí)的完美”.

1.喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程，2014（2）.

4.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

5.劉東升.悠然神會(huì)，妙處與君說(shuō)——李庾南老師“平方根”課例賞析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（5）.