邵龍?zhí)?，劉士?/p>

（大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

1 引 言

穩(wěn)定分析是土力學(xué)的經(jīng)典問題。巖土工程師在設(shè)計中經(jīng)常會遇到邊坡穩(wěn)定、土壓力和地基承載力的問題，很多學(xué)者認(rèn)為這三方面的分析方法屬于同一理論體系，并主張建立統(tǒng)一的數(shù)值方法。在二維條件下一些學(xué)者針對上述問題曾提出一些通用方法，例如，極限平衡法[1]、滑移線法[2]、極限分析[3]和有限元極限分析[4]。

在邊坡穩(wěn)定分析中，極限平衡條分法是目前工程上最常用的方法。近些年，有限元法在邊坡穩(wěn)定分析中得到廣泛應(yīng)用。Nalyor[5]將有限元邊坡穩(wěn)定分析方法分為直接法[6－8]和增強極限法[9－13]。直接法現(xiàn)在被稱作有限元強度折減法，而增強極限法被稱作有限元極限平衡法。

淺基礎(chǔ)的地基承載力通常采用太沙基公式，而此公式中，與重度相關(guān)的承載力系數(shù)，無法通過塑性理論直接求解。學(xué)者們相繼提出極限平衡法[1]、滑移線法[2]、有限元差分[14]、極限分析[3，15]和有限元法[16]來確定極限承載力系數(shù)。

朗肯土壓力和庫侖土壓力理論是工程上求解土壓力常用的方法，但其假設(shè)平面的滑動面形狀與其他數(shù)值方法計算得到或者假設(shè)的滑動面形狀不符。學(xué)者們提出了對數(shù)螺旋線法[1]、三角形條分法[17]、極限分析[3，18－19]和有限元差分[20－21]來求解土壓力。

有限元法在巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，該方法也非常適合發(fā)展成一種評價土工結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的通用方法。本文將土體一點（單元）的極限平衡條件推廣，得到土體沿某一整體滑動面的極限平衡條件。證明了該條件的充分必要性。依據(jù)該條件，提出了有限元應(yīng)力分析與極限平衡結(jié)合的有限元極限平衡法及土體穩(wěn)定的安全系數(shù)，并明確了安全系數(shù)的物理意義，以此評價土工結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。隨后，列舉了該方法在土工結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析中的一些具有代表性的應(yīng)用。

2 土體曲面的極限平衡條件

當(dāng)土體中的任意一點在某一平面上的剪應(yīng)力等于土體的抗剪強度時，稱該點土體處于極限平衡狀態(tài)。當(dāng)一點的土體處于極限平衡狀態(tài)時，該點對應(yīng)的土體微元體也在對應(yīng)方向上達到極限平衡，即土體微元體相應(yīng)方向上的剪切力和抗剪力（也稱為滑動力和阻滑力）大小相等，方向相反，如圖1 中A點。圖中，τfiΔli為抗剪力；τiΔli為剪切力。因此，土體一點處于極限平衡狀態(tài)是指該點對應(yīng)的微元體處于極限平衡狀態(tài)。

圖1 臨界滑動面任意微元上的剪應(yīng)力與抗剪強度Fig.1 Shear stress and shear resistance in a segment of a critical slip surface

處于極限平衡狀態(tài)的土體結(jié)構(gòu)，如果滑動面上的每一點處的剪應(yīng)力均等于抗剪強度，整個滑動體就認(rèn)為處于極限平衡狀態(tài)。

土體處于極限平衡狀態(tài)的充分必要條件可以由式（1）表示。

沿滑動面的剪應(yīng)力積分等于抗剪強度的積分。充分必要條件的推證過程如圖2 所示。

圖2 充分（左側(cè)）必要（右側(cè)）條件推導(dǎo)過程Fig.2 Derivation of necessary(right) and sufficient(left) conditions

3 安全系數(shù)與極限荷載

對于正常工作的土工結(jié)構(gòu)，在其任意一個曲面上土體都不會達到極限平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性評價有兩種途徑：一種是增加荷載使土體沿某一曲面整體達到極限平衡狀態(tài)，此時的荷載值可以稱為極限荷載。極限荷載與原有設(shè)計荷載或?qū)嶋H作用荷載的比值稱為超載系數(shù)。另一種是計算土體沿最危險潛在曲面整體達到極限平衡狀態(tài)時的強度折減系數(shù)，亦稱為強度儲備系數(shù)或安全系數(shù)。

設(shè)FOS(ΔLi)是沿曲面L 使土體各點均達到極限平衡狀態(tài)的強度折減系數(shù)函數(shù)，那么土體沿曲面L整體達到極限平衡的充要條件為

應(yīng)用積分中值定理，令

則有

式中：FOS為使土體沿曲面整體達到極限平衡的強度折減系數(shù)（函數(shù)）的中值。如果式（2）成立，則有式（4）成立。反之，如果式（4）成立，則必有一函數(shù)FOS(ΔLi)使之滿足式（4），進而使式（2）成立。因此，式（4）是在整體平均（中值）意義上土體沿曲面L 達到極限平衡的充分必要條件。

FOS 也是通常在有限元邊坡穩(wěn)定分析中根據(jù)土體強度定義的安全系數(shù)。因為FOS(ΔLi)是沿曲面L使土體各點均達到極限平衡狀態(tài)的強度折減系數(shù)，也可以理解為土體各點極限抗剪強度與實際發(fā)揮強度的比值，所以FOS 的物理意義是沿曲面土體整體達到極限平衡時的平均強度折減系數(shù)，或稱為強度儲備系數(shù)。

基于極限平衡的充分必要條件，當(dāng)外荷載增加，以至于使得土體整體達到極限平衡狀態(tài)，有限元極限平衡法可用于搜索地基或者擋墻后填土的滑動面，而臨界滑動面則通過最小安全系數(shù)確定。另外，最小安全系數(shù)應(yīng)接近與常數(shù)1，公式為

所以，極限荷載可以通過安全系數(shù)FOS=1 來確定，或者說通過土體沿滑動面整體達到極限平衡狀態(tài)來確定。

4 算 例

4.1 穩(wěn)定滲流土壩

圖3 臨界滑動面對比Fig.3 Comparison of critical slip surfaces

圖3 中，均質(zhì)土壩的內(nèi)摩擦角φ=37°，黏聚力c=13.8 kPa，重度γ=18.2 kN/m3，浸潤面位置由有限元穩(wěn)定滲流計算求得。本算例對比了3 種方法的計算結(jié)果，3 種方法確定的臨界滑動面的形狀及位置非常接近，極限平衡法求得的安全系數(shù)略小于兩種有限元方法的結(jié)果見表1。

表1 穩(wěn)定安全系數(shù)計算結(jié)果Table 1 Comparison of factors of safety by different methods

4.2 地基承載力

本算例為作用條形基礎(chǔ)的均質(zhì)地基。計算模型見圖4。內(nèi)摩擦角φ=30°，重度γ=20 kN/m3。采用有限元極限平衡法求解基礎(chǔ)光滑和粗糙條件下的地基承載力系數(shù)Nγ。

圖4 表面作用條形基礎(chǔ)的均質(zhì)地基Fig.4 Homogeneous foundation with a strip footing

光滑基礎(chǔ)，最小安全系數(shù)為1.007，接近與1.0。確定的臨界滑動面與“Hill”機構(gòu)類似。粗糙基礎(chǔ)，最小安全系數(shù)為1.007，接近與1.0。確定的臨界滑動面與“Prandtl”機構(gòu)類似，見圖5。表2 對比了不同方法確定的地基承載力系數(shù)，粗糙基礎(chǔ)對應(yīng)的承載力系數(shù)大于光滑基礎(chǔ)對應(yīng)的系數(shù)。

圖5 臨界滑動面與等效塑性應(yīng)變云圖Fig.5 Critical slip surfaces and nephogram of equivalent plastic strains

4.3 被動土壓力

剛性擋墻向填土方向水平移動，計算模型如圖6所示。采用有限元極限平衡法求解擋墻光滑和粗糙條件下被動土壓力系數(shù)。表3 對比了不同方法確定的被動土壓力系數(shù)公式為

表2 地基承載力系數(shù)對比Table 2 Comparison of Nγ

式中：Pp為被動土壓力；Pp,h為水平被動土壓力；γ為土的重度；H為填土高度；δ為擋墻與填土間的摩擦角。

圖6 被動狀態(tài)計算模型和有限元網(wǎng)格Fig.6 Passive earth pressure model and FEM mesh

有限元極限平衡法確定的被動土壓力系數(shù)與其他方法的結(jié)果非常接近，除了庫侖理論，是由于庫侖理論假設(shè)滑動面為平面，與其他方法確定的臨界滑動面不一致，而滑動面形狀應(yīng)為直線與對數(shù)螺旋線的組合，見圖7。

圖7 臨界滑動面與位移場云圖Fig.7 Comparison of critical slip surfaces and nephogram of displacement of a passive failure by the FELEM for different backfill-wall frictions

表3 被動土壓力系數(shù)對比(內(nèi)摩擦角φ=40 °)Table 3 Comparison of coefficients of passive earth pressure(φ=40 °)

4.4 主動土壓力

剛性擋墻背向填土方向水平移動，計算模型見圖8。采用有限元極限平衡法求解擋墻光滑和粗糙條件下的主動土壓力系數(shù)。表4 對比了不同方法確定的主動土壓力系數(shù)公式為

式中：Pa為主動土壓力；Pa,h為水平主動土壓力，其他符號意義同前。

圖8 主動狀態(tài)計算模型和有限元網(wǎng)格Fig.8 The model for calculating active state and finite element mesh

表4 主動土壓力系數(shù)對比(內(nèi)摩擦角φ=30 °)Table 4 Comparison of coefficients of active earth pressure(φ=30 °)

有限元極限平衡法確定的主動土壓力系數(shù)與其他方法的結(jié)果非常接近。擋墻粗糙情況下滑動面形狀同樣為直線與對數(shù)螺旋線的組合，見圖9。

圖9 臨界滑動面與等效塑形應(yīng)變場云圖Fig.9 Comparison of critical slip surfaces and contours of equivalent plastic strain of an active failure by FELEM for different backfill-wall frictions

5 結(jié) 語

與土體穩(wěn)定有關(guān)的工程問題，諸如擋土結(jié)構(gòu)物上的土壓力，地基承載力以及土坡穩(wěn)定性，都與土的極限平衡狀態(tài)相關(guān)聯(lián)。本文將土體一點（單元）的極限平衡條件推廣，得到土體沿滑動面的極限平衡條件。證明了該條件的充分必要性。依據(jù)該條件，提出了有限元應(yīng)力分析與極限平衡結(jié)合的有限元極限平衡法及土體穩(wěn)定的安全系數(shù)，并明確了安全系數(shù)的物理意義，以此評價土工結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。采用有限元極限平衡法評價不同工況下邊坡的穩(wěn)定性、求解地基承載力系數(shù)和確定被動和主動土壓力系數(shù)，證明了該法是可行的，并且有效，可采用該方法分析巖土工程中的穩(wěn)定問題。

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