江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 顧婷

“5+10=15”引發(fā)的思考
——數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)實(shí)踐與探索

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 顧婷

方程思維是數(shù)學(xué)思維中重要的組成部分，認(rèn)識(shí)方程的過(guò)程是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，為了獲得更高層次的發(fā)展，我們必須堅(jiān)實(shí)地走好每一步。在此通過(guò)剖析一堂小學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”實(shí)錄課，結(jié)合新課程改革相關(guān)的發(fā)展趨勢(shì)，借此反思數(shù)學(xué)教師如何尋求新課程理念下的方程教學(xué)。

方程教學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐探索

一、研究背景

早在300多年前，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾有個(gè)偉大的設(shè)想：首先把宇宙萬(wàn)物的所有問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；其次把所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；最后把所有的代數(shù)問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為解方程。雖然笛卡爾的“偉大設(shè)想”沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但是充分說(shuō)明了方程的重要性。

小學(xué)階段“簡(jiǎn)易方程”的學(xué)習(xí)，是為以后初中學(xué)習(xí)“一元一次方程”作鋪墊的。由于認(rèn)識(shí)水平的局限性，小學(xué)生往往把運(yùn)算中的等號(hào)看做是“執(zhí)行”的標(biāo)志。如在算式“3+2”的后面寫(xiě)上等號(hào)，孩子們往往理解為“這是執(zhí)行加法運(yùn)算”的標(biāo)志，他們通常把等號(hào)解釋為“答案是……”。學(xué)生對(duì)“方程”的理解比較形象化、表面化，一說(shuō)方程僅出現(xiàn)方程的樣子，而忽略在列方程時(shí)，把未知數(shù)當(dāng)作已知條件參與到列式的特點(diǎn)。而數(shù)學(xué)的高度抽象，只是它最終的呈現(xiàn)形式，在其高度抽象之前都有具體豐富的現(xiàn)實(shí)背景，它們歸根結(jié)底都是來(lái)自于現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需要，是現(xiàn)實(shí)世界的抽象反映和人類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。

二、課堂實(shí)錄

師：請(qǐng)同學(xué)們看屏幕，剛才我們是用天平研究它們的質(zhì)量情況，其實(shí)在生活中我們還可以根據(jù)具體的信息來(lái)寫(xiě)出這樣的式子。告訴老師你在這一幅圖上知道了什么？

生：每個(gè)鉛筆盒a元，每支鋼筆5元，每個(gè)書(shū)包35元。

師：如果老師告訴你一些相等關(guān)系，你能寫(xiě)出一些式子來(lái)嗎？我告訴你的第一個(gè)信息是？

生（一起朗讀）：買(mǎi)一個(gè)鉛筆盒和一個(gè)書(shū)包，價(jià)格正好是50元。

師：誰(shuí)能用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示這句話(huà)？

生：a+35=50。（教師板書(shū)）

師：告訴老師a是什么？35是——？一個(gè)鉛筆盒和一個(gè)書(shū)包的價(jià)錢(qián)正好是50元。第二個(gè)信息，女同學(xué)一起讀一讀。

生：一個(gè)鉛筆盒正好比一支鋼筆貴10元錢(qián)。

師：你能寫(xiě)一寫(xiě)嗎？寫(xiě)在練習(xí)紙的后面。

生：a-10=5。

師：對(duì)不對(duì)？a是什么意思？

生：鉛筆盒的價(jià)錢(qián)。

師：“－10”是什么意思？

生：一個(gè)鉛筆盒正好比一支鋼筆貴10元錢(qián)。

師：用鉛筆盒的價(jià)錢(qián)減掉貴的10元，等于鋼筆的價(jià)錢(qián)。還有沒(méi)有不同的寫(xiě)法？

生：5+10=15元。

師：（重復(fù)一遍并板書(shū)）這個(gè)式子行嗎？我們來(lái)討論一下。5是什么？

生：鋼筆的價(jià)錢(qián)。

師：10是什么？

生：貴的價(jià)錢(qián)？

師：15是——？

生：鉛筆盒的價(jià)錢(qián)。

師：鉛筆盒的價(jià)錢(qián)告訴我們是？

生：a元。

師：剛才的同學(xué)是在算鉛筆盒多少錢(qián)，他有沒(méi)有把鉛筆盒的價(jià)錢(qián)直接用來(lái)表示？（沒(méi)有）好，我們暫時(shí)不討論這個(gè)算式。（老師把式子“5+10=15”擦掉）當(dāng)然他求鉛筆盒的價(jià)錢(qián)是可以的。還有沒(méi)有其他的方法？

生：a-5=10。

師：（重復(fù)并板書(shū)）看看a是什么？（生：鉛筆盒的價(jià)錢(qián)）5是——？（鋼筆的價(jià)錢(qián)）鉛筆盒比鋼筆貴10元，這個(gè)可以嗎?

生：可以。

三、評(píng)析

1.抽象現(xiàn)實(shí)情境，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。在弗賴(lài)登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論中認(rèn)為數(shù)學(xué)教育有五個(gè)主要特征，情境問(wèn)題是教學(xué)的平臺(tái)便是其中第一點(diǎn)。他所提倡的問(wèn)題情境則是直觀的、容易引起想象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，隱含在這些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)背景是學(xué)生熟悉的事物和具體的情境，而且與學(xué)生已經(jīng)了解或?qū)W習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，特別是要與學(xué)生生活中積累的常識(shí)性知識(shí)和那些學(xué)生已經(jīng)具有的、但未經(jīng)訓(xùn)練和不那么嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體驗(yàn)相關(guān)聯(lián)。在根據(jù)情境列式這一環(huán)節(jié)里，學(xué)生并沒(méi)有那么多的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，教師創(chuàng)設(shè)了買(mǎi)文具的實(shí)際情境，因?yàn)楹退麄冑N得最近的實(shí)際情境大多都是購(gòu)物問(wèn)題。通過(guò)貼近學(xué)生實(shí)際的情境讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解現(xiàn)實(shí)情境中的等量關(guān)系，體會(huì)方程是表示等量關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)“列方程是表示現(xiàn)實(shí)情境中的等量關(guān)系”。

2.跨越算術(shù)思維，發(fā)展代數(shù)思維。在根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境列式的過(guò)程中，學(xué)生卻出現(xiàn)了“5+10=15”這樣的式子。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生接受的都是算術(shù)思維，“=”就是執(zhí)行運(yùn)算的標(biāo)志。在這種思維的定勢(shì)下，學(xué)生很自然會(huì)寫(xiě)出這樣的式子，說(shuō)明學(xué)生還很難跨越算術(shù)思維。執(zhí)教教師在處理的時(shí)候把這個(gè)算式直接擦掉了，說(shuō)暫時(shí)先不討論這個(gè)，一語(yǔ)帶過(guò)。那是否可以把15直接改成a，這就引發(fā)討論“5+10=a”是不是方程？按照定義應(yīng)該肯定地說(shuō)“是的”。但是a在這里，其實(shí)是一個(gè)已知的量而不是廣義的量在參與運(yùn)算。這是一種算術(shù)思維，而不是代數(shù)思維。從這個(gè)層面上說(shuō)，“5+10=a”不應(yīng)該是方程。事實(shí)上，這些爭(zhēng)論在數(shù)學(xué)的定義上常常發(fā)生，我們可以不去理會(huì)由這些特例帶來(lái)的分歧，因?yàn)檫@個(gè)定義本身就“先天不足”。

學(xué)生最難的是在五年級(jí)剛學(xué)方程的時(shí)候都是一些簡(jiǎn)單的一元一次方程，在以前他們已經(jīng)學(xué)過(guò)把式子算出來(lái)，就會(huì)出現(xiàn)“5+10=15”的問(wèn)題。但是當(dāng)情境越來(lái)越復(fù)雜的時(shí)候，學(xué)生的負(fù)荷量會(huì)越來(lái)越大，他們用算術(shù)思維很難解決的時(shí)候代數(shù)思維就可以自然地引入。代數(shù)思維是為了解決更復(fù)雜的問(wèn)題。為了解決學(xué)生直接計(jì)算出含未知數(shù)的問(wèn)題，或許可以說(shuō)我們不要求你把結(jié)果算出來(lái)，只需要用一個(gè)式子表示出其中的等量關(guān)系。

客觀實(shí)際的內(nèi)容是如此豐富多彩，反映在數(shù)量關(guān)系上是多種多樣的。學(xué)生可以根據(jù)自己的思維方式，尋找自己最容易找到的一種即可。讓學(xué)生自主探究并理解數(shù)量關(guān)系，初步領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想方法，學(xué)會(huì)用方程刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系，才真正提高了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京師范大學(xué)出版社.

[2]胡金萍.對(duì)小學(xué)階段方程教學(xué)的一些思考[J].數(shù)學(xué)大世界（教師適用），2011（1）：49.

[3]張奠宙,宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社.