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框剪結(jié)構(gòu)基于能量概念的抗側(cè)剛度優(yōu)化研究

陸鐵堅(jiān)，楊詩龍，宋寧，王鵬皓

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 湖南 長沙 410075)

摘要:基于勢能駐值原理推導(dǎo)框剪結(jié)構(gòu)的層剛度矩陣，用有限單元法的思想，形成總體剛度矩陣，用于結(jié)構(gòu)的振型分解和周期計(jì)算。選取結(jié)構(gòu)滯回耗能需求值與滯回耗能能力值之比與結(jié)構(gòu)所受水平地震作用的乘積作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用振型分解法求解多自由度體系的滯回耗能需求值和能力值，建立框剪結(jié)構(gòu)基于能量概念的抗側(cè)剛度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。采用罰函數(shù)法的思想，將非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性無約束優(yōu)化問題，采用MATLAB編制優(yōu)化程序。最后給出算例，算例表明本文方法和程序是正確可行的。

關(guān)鍵詞：框剪結(jié)構(gòu);抗側(cè)剛度;優(yōu)化；層模型；滯回耗能

框剪結(jié)構(gòu)體系因其獨(dú)特的優(yōu)勢應(yīng)用廣泛，特別是異形柱框剪結(jié)構(gòu)在中高層住宅體系中發(fā)展前景廣闊，且已展開廣泛研究[1-2]。對于框剪結(jié)構(gòu)，從抗震設(shè)防的角度來講，多設(shè)剪力墻會提高框剪結(jié)構(gòu)的抗側(cè)剛度，對抗震是有利的，但剪力墻設(shè)置過多，雖有較強(qiáng)的抗側(cè)剛度，但剛度增加，周期減小，地震力加大，使得上部材料用量的增加，基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)難度增大，是不經(jīng)濟(jì)的。因此，需尋求剪力墻的最優(yōu)側(cè)移剛度，既使得結(jié)構(gòu)有足夠的抗震能力而又經(jīng)濟(jì)。目前，框剪結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題越來越受到研究人員的重視[3-5]。文獻(xiàn)[3]～[5]有其共同特點(diǎn)：第1，都是根據(jù)框剪結(jié)構(gòu)空間協(xié)同分析的連續(xù)—離散化分析方法，建立基本微分方程，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)總體剛度方程。因框剪結(jié)構(gòu)空間協(xié)同連續(xù)微分方程是基于等剛度情況的，文獻(xiàn)[4]和[5]都不能對剪力墻抗側(cè)剛度沿樓層變化的情況進(jìn)行優(yōu)化，只能處理剪力墻抗側(cè)剛度沿樓層不變的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[3]雖然能夠處理變剛度優(yōu)化問題，但需提前對剪力墻沿結(jié)構(gòu)高度進(jìn)行分階，同一階內(nèi)剛度不變，并且需假設(shè)不同階之間抗側(cè)剛度的比例關(guān)系，所以其優(yōu)化是受到限制的。本文將運(yùn)用勢能駐值原理推導(dǎo)框剪結(jié)構(gòu)的層剛度矩陣，從而得到總體剛度矩陣。將用于處理變剛度優(yōu)化問題，且無需假設(shè)不同樓層抗側(cè)剛度的比例關(guān)系。第2，都以水平地震作用作為單一的目標(biāo)函數(shù)，通過抗側(cè)剛度優(yōu)化使得結(jié)構(gòu)所受地震作用最小，而未考慮結(jié)構(gòu)耗能。近年來，基于能量的抗震設(shè)計(jì)方法受到人們的廣泛關(guān)注[6-8]，從能量的概念去估計(jì)地震動能量及評價(jià)結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)成為未來的趨勢之一。本文的目標(biāo)函數(shù)同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)所受地震作用和結(jié)構(gòu)的耗能水平，使框剪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化將結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)考慮在內(nèi)。

1框剪結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的建立

借用有限單元法的思想，將整個(gè)樓層沿高度劃分單元，采用層單元，每一層為一單元。對于框剪結(jié)構(gòu)，框架部分等效成剪切桿，剪力墻部分等效成彎曲桿，框剪結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下的變形為剪彎型，現(xiàn)推導(dǎo)框剪結(jié)構(gòu)剪彎型總體抗側(cè)剛度矩陣。

1.1層單元剛度矩陣的推導(dǎo)

層單元兩端自由度和桿端力向量為：

syggg00={xi-1,xi,θi-1,θi}T，{F}={Qi-1,Qi,Mi-1,Mi}T

(1)

假設(shè)單位虛位移為：

{δd}={δxi-1,δxi,δθi-1,δθi}T

(2)

則彎曲桿彎矩為：

(3)

剪切桿的剪力為：

Fs(x)=Cfi(δxi-δxi-1)/hi

(4)

式中： EIi為第i層抗彎剛度；Cfi為第i層抗推剛度；hi為第i層層高。

則單元的彎矩應(yīng)變能為：

(5)

剪切應(yīng)變能為：

(6)

總應(yīng)變能為：U=U1+U2

(7)

桿端力在虛位移上做的功為： W={δd}T{F}

(8)

可得層間剛度矩陣如下：

(9)

1.2總體剛度矩陣的形成

上面已經(jīng)推導(dǎo)出了層間剛度矩陣，借用有限元的思想，運(yùn)用“對號入座”法則形成整個(gè)樓層的剛度矩陣，再通過靜力凝聚形成所要的總體抗側(cè)剛度矩陣。

2目標(biāo)函數(shù)的選取及計(jì)算

本文選取結(jié)構(gòu)滯回耗能需求值與結(jié)構(gòu)滯回耗能能力值之比與結(jié)構(gòu)所受水平地震作用的乘積作為目標(biāo)函數(shù)。理由如下：

滯回耗能需求值與滯回耗能能力值之比能夠反應(yīng)結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)，其值越小，結(jié)構(gòu)耗散地震能量的能力越強(qiáng)；

當(dāng)設(shè)計(jì)變量在某一區(qū)間時(shí)，若耗能水準(zhǔn)相差不大，則水平地震作用能為起控制作用。若水平地震作用相差不大，結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)能起控制作用。更好的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

2.1水平地震作用的計(jì)算

水平地震作用的計(jì)算采用振型分解反應(yīng)譜法，先需對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型分解并求解結(jié)構(gòu)各階自振周期，本文第1部分已建立結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，質(zhì)量矩陣采用對角矩陣時(shí)，即可對結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型分解并得到各階自振周期。

第j振型第i質(zhì)點(diǎn)的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值為：Fij=αjγjxijGi。各符號的意義見文獻(xiàn)[9]。

2.2滯回耗能需求值和能力值

盛明強(qiáng)[6]給出了單自由度體系的滯回耗能需求譜和能力值計(jì)算公式。

需求譜:

(10)

能力值:

(11)

其中：Em為地震動滯回耗能峰值；Tg為特征周期。其余各參數(shù)的含義和取值見文獻(xiàn)[6]。

對于多自由度體系，本文采用振型分解法將多自由度體系等效成多個(gè)單自由度體系[10][11]，從而得到多自由度體系的滯回耗能需求值和能力值。等效的原則為：總質(zhì)量相等，各階自振周期與各單自由度體系自振周期對應(yīng)相等。

3抗側(cè)剛度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

選取剪力墻彎曲剛度為設(shè)計(jì)變量，結(jié)構(gòu)滯回耗能需求值與結(jié)構(gòu)滯回耗能能力值之比與結(jié)構(gòu)所受水平地震作用的乘積作為目標(biāo)函數(shù)，以最大層間位移、剛重比、剪重比、框架部分承擔(dān)剪力、結(jié)構(gòu)滯回耗能需求值與結(jié)構(gòu)滯回耗能能力值之比為約束條件。即：尋求設(shè)計(jì)變量使得目標(biāo)函數(shù)取最小值并滿足約束條件。

4程序設(shè)計(jì)

本文所涉及的優(yōu)化問題為非線性約束問題，本文采用遺傳優(yōu)化算法，且本文將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，方法為：當(dāng)不滿足約束條件時(shí)將目標(biāo)函數(shù)賦予一個(gè)很大的值，例如1015。從而方便的將非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性無約束優(yōu)化問題。

本文采用MATLAB編制優(yōu)化程序，MATLAB中遺傳算法的函數(shù)為ga函數(shù)，又本文已將非線性約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性無約束問題，故本文只需編制求解目標(biāo)函數(shù)的子程序。程序計(jì)算步驟為：

輸入結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)與參數(shù)；建立結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣；振型分解與周期計(jì)算；目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算；約束問題處理。

5算例

對劉敏[3]給出的10層異形柱框架—剪力墻結(jié)構(gòu)住宅進(jìn)行實(shí)例優(yōu)化設(shè)計(jì)。該住宅設(shè)防烈度為7度，場地類別為2類，層高為3 m，建筑平面見文獻(xiàn)[3]。異形柱框架剪切剛度分別為：Cf1=4.57×108N，Cf2～3=4.89×108N，Cf4～9=4.11×108N，Cf10=3.95×108N，根據(jù)建筑初步設(shè)計(jì)大致計(jì)算出的結(jié)構(gòu)等效總重為：G1=4.344 6×106N，G2～G8=2.733 8×106N，G9=3.076 4×106N，G10=1.431 2×106N。

表1　計(jì)算結(jié)果對比

現(xiàn)對該框剪結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。按本文方法所編制的程序可以實(shí)現(xiàn)任何變剛度的優(yōu)化，且不需假設(shè)不同層之間剪力墻抗彎剛度的比例關(guān)系。為了和文獻(xiàn)[3]進(jìn)行對比，剪力墻按文獻(xiàn)[3]的分階劃分為3階。但不假設(shè)不同階之間的比例關(guān)系。其程序優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果如下：

1～2層：EwIw=1.23×1011N·m2，3～8層：EwIw=1.18×1011N·m2，9～10層：EwIw=0.786×1011N·m2。和文獻(xiàn)[3]的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，見表2。

表2　優(yōu)化結(jié)果對比

本文優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[3]優(yōu)化結(jié)果相比，本文優(yōu)化結(jié)果略好，總體上相差不大，但從實(shí)用靈活性角度講，文獻(xiàn)[3]假設(shè)了各不同層之間剪力墻抗彎剛度的比例關(guān)系，如果假設(shè)的抗彎剛度比例關(guān)系不好，則得不到很好的優(yōu)化結(jié)果，而本文不需假設(shè)其比例關(guān)系，使得優(yōu)化更靈活。且本文還將結(jié)果滯回耗能需求值與能力值之比作為目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)因子，即優(yōu)化時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)。

若將1層至2層劃分為1區(qū)段，3層至7層作為一個(gè)區(qū)段，8層至10層作為一個(gè)區(qū)段，則本文優(yōu)化結(jié)果為：第1區(qū)段抗彎剛度為EwIw=1.248×1011N·m2，第2區(qū)段為EwIw=1.053×1011N·m2，第3區(qū)段為EwIw=0.72×1011N·m2。其基本周期為0.796 s，底部剪力為8.44×105N，其優(yōu)化結(jié)果更佳。

6結(jié)論

1)基于勢能駐值原理推導(dǎo)了層剛度矩陣，其表達(dá)式簡潔，用程序很容易形成框剪結(jié)構(gòu)的總體抗側(cè)剛度矩陣，算例表明該方法是正確可行的。

2)可以實(shí)現(xiàn)任意變剛度的優(yōu)化問題，使得優(yōu)化問題更適用更靈活。

3)將結(jié)構(gòu)的耗能水準(zhǔn)作為優(yōu)化目標(biāo)之一。

4)程序運(yùn)行時(shí)間短，平均耗時(shí)2 min能得到優(yōu)化結(jié)果。

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Research on lateral stiffness optimization of frame-shear

wall structure based on the concept of energy

LU Tiejian, YANG Shilong, SONG Ning, WANG Penghao

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract:In this paper, based on the principle of resident potential energy, inter-story stiffness matrix for frame-shear wall structure was deduced. The thought of finite element method was used to form the global stiffness matrix, which is helpful to conduct the modal decomposition and calculation of structural natural period of vibration. It is the product of horizontal seismic action, the ration of hysteretic energy demand and hysteretic energy capacity that was selected as the target function. Modal decomposition method was used to calculate the hysteretic energy demand and hysteretic energy capacity of multi-degree freedom system. A mathematical model with respect to lateral stiffness optimization of frame-shear wall structure was founded. In this paper, the nonlinear constrained optimization problem was transformed into nonlinear unconstrained one by adopting the idea of penalty function method. A frame-shear wall structure optimum MATLAB software was developed. Subsequently, combined with a numerical example, the results demonstrate that the method proposed in the paper is accurate and feasible.

Key words:frame-shear wall structure; lateral stiffness; optimization; storey model; hysteretic energy

中圖分類號：TU973.16

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-7029(2015)01-0150-04

通訊作者：陸鐵堅(jiān)(1963-)，男，湖南岳陽人，教授，博士，從事高層混合結(jié)構(gòu)抗震研究；E-mail: tiejian@mail.csu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51078354)；湖南省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(10JJ2034)

*收稿日期：2014-06-12