覃良文，唐國強，林靜

（桂林理工大學理學院，廣西桂林541006）

基于HP濾波和協整理論的期貨套利研究

覃良文，唐國強，林靜

（桂林理工大學理學院，廣西桂林541006）

摘要：利用Engle-Granger檢驗法，檢驗上海滬銅期貨兩個近月合約收盤價數據的長期均衡關系.在滿足協整理論前提下，利用HP濾波法將兩序列分別分解為長期趨勢和短期波動周期性兩種成分，并建立一種新的跨期套利方法：通過高階自回歸模型擬合趨勢成分，并將趨勢成分擬合誤差轉入周期性成分，通過GARCH類模型族對修正后的周期性成分進行擬合；再運用窮舉法搜索歷史數據標準化殘差最優(yōu)建倉與平倉閾值，建立最優(yōu)套利方案；最后利用擬合模型進行預測和最優(yōu)套利方案對未來數據套利.實證結果表明：基于HP濾波的套利方法，平滑指數越小，套利利潤越高.與傳統(tǒng)未進行HP濾波的套利方法相比，套利成功率較高，風險能得到有效控制，且投資者有較高的收益.①

關鍵詞：HP濾波；協整理論；GARCH模型；跨期套利；滬銅

Researching the futures arbitrage based on the HP filtering and the cointegration theory

QIN Liangwen，TANG Guoqiang，LIN Jing
（College of Science，Guilin University of Technology，GuiLin 541006，China）

Abstract:Testing the long-run equilibrium relationship of Shanghai copper futures’price data contract closed at two month by using the Engle- Granger test method. The two series are decomposed into two components of long-term trend and short-term cyclical fluctuations by using the HP filtering method when satisfying the cointegration theory. Then try a new intertemporal arbitrage method: fitting trend component by high order autoregressive method，and adding the trend component fitting error into the periodic components，via the GARCH model fitting the modified periodic components；Then using exhaustive search of historical data standardization residual’s positions establishing and liquidating threshold to establish the optimal arbitrage scheme；Finally using the fitting model to forecast and optimal scheme for future data arbitrage. The empirical results show that: the arbitrage method based on HP filter，the smoothness index is smaller，the higher the arbitrage profit. Compared with the traditional method of arbitrage without HP filtering，the arbitrage method based on HP filter carrying a higher success rate，controlling risks effectively and the investors have higher earnings.

Keyword: HP filter；cointegration theory；GARCH model；arbitrage；copper

0　引言

我國期貨市場相對其他發(fā)達國家，發(fā)展的歷史相對短暫.期貨作為中國一個新興市場，近年來得到

飛躍發(fā)展.隨著期貨市場的發(fā)展，期貨套利油然而生，跨期套利就是在同一期貨品種的不同月份合約上建立數量相等、方向相反的交易，最后以對沖或交割方式結束交易，獲得收益的方式.套利交易活動使得期貨市場與現貨市場保持一定的均衡關系，為投資者運用期貨合約進行規(guī)避風險、套期保值提供了安全保障.因此，如何利用精確的套利模型獲取可觀收益已成為廣大期貨投資者所關注的熱點問題.

HP濾波方法是對非平穩(wěn)序列進行趨勢分解，分解為不同性質的數據序列.楊建輝、張然欣基于HP濾波和GARCH模型的股票價格趨勢預測，嘗試利用HP濾波法將股票序列分解為兩種不同成分進行價格趨勢預測［1］.石自忠等利用HP濾波法和GARCH類模型對1970年以來美國苜蓿月度價格波動性進行了分析［2］；趙慶等提出了一種新的預測方法：首先采用HP濾波將時間序列分解為趨勢要素序列和周期波動序列；然后針對不同序列的性質，對趨勢要素序列采用自回歸模型（AR）擬合預測，對周期波動序列采用ARMA-GARCH族模型擬合預測［3］.目前，國內外已有諸多對股指期貨套利進行跨期套利的研究，其中Mackinlay和Ramaswamy在基于標準普爾500指數的基礎上研究了現貨與期貨之間的套利［4］.何樹紅在基于GARCH的股指期貨協整跨期套利研究描述殘差的異方差性，用歷史數據預測未來價格的時變方差，利用置信度確定價差范圍進行套利［5］.趙莉應用GARCH模型族的分析與實踐驗證，從經濟計量的角度刻畫滬深股票市場波動性特征［6］.李世偉在基于協整理論的基礎上對滬深300股指期貨進行了跨期套利研究并對協整理論進行了改進，通過實證分析得出改進的協整策略可以取得較好的套利效果［7］.

這些文獻存在預測精度不夠高、預測時效性有一定局限和套利成功率不高的問題.筆者在國內外學者利用HP濾波法和GARCH類模型族預測金融序列的基礎上，結合協整理論Engle-Granger兩步法，檢驗上海滬銅期貨兩近月合約收盤價格序列的長期均衡關系，在5分鐘高頻數據滿足協整理論條件下，利用HP濾波法將序列逐個分解成趨勢和周期性數據.通過高階自回歸模型擬合預測趨勢成分，并將趨勢成分預測誤差轉入周期性成分，通過GARCH類模型族對修正后周期性成分進行了預測.結果表明，利用HP濾波法是提高套利擬合與預測精度的有效方法，結合協整理是序列均衡與套利有效性的長期保證.結合HP濾波和協整理論并依據GARCH模型族標準化殘差序列進行跨期套利是在期貨套利中的一次探索，可為廣大期貨套利投資者提供一種新方式.

1　基于HP濾波的最優(yōu)套利模型

1.1 HP濾波法的基本原理HP濾波法是由Hodrick和Prescott提出的一種時間序列在狀態(tài)空間中的分析方法，相當于對波動方差的極小化，理論基礎是時間序列的譜分析方法.該方法把時間序列看作是不同頻率的成分的疊加，時間序列的High-Pass濾波就是采用對稱的數據移動平均方法原理，通過近似的高通濾波器（high-pass filter）分解出頻率較高的短期周期性成分和頻率較低的長期趨勢成分［8］.

假設經濟時間序列為X={x1,x2,…,xn}，分解的趨勢要素為T={t1,t2,…,tn}，周期性要素為C={c1,c2,…,cn}.其中X=T+C，n為樣本的容量.一般地，時間序列X中趨勢要素T常被定義為如（1）式最小化問題的解：

式中的λ為正數，用以調節(jié)兩者的比重，稱為平滑參數，是控制平滑程度的懲罰因子，決定了不同的隨機波動方式和不同的平滑程度.從統(tǒng)計意義上講，λ值的選取是任意的，因為任何一個非平穩(wěn)時間序列都可以分解成為無數個非平穩(wěn)趨勢成分與平穩(wěn)周期成分的組合.該值越大，則T越平滑，當該值趨向于無窮時第二項為0.這時，HP濾波退化為最小二乘法［1］.

HP濾波法將時間序列分解為趨勢成分和周期性成分，然后分別用不同模型進行擬合預測，因此，數據與模型有較高匹配度.

1.2協整理論經濟理論指出，部分經濟變量存在長期均衡關系.這種均衡關系意味著經濟系統(tǒng)不存

在破壞均衡的內在機制.時間序列X與Y間的長期“均衡關系”可由（2）式描述：

其中X與Y均為I(1)序列，非均衡誤差μt為I(0)平穩(wěn)序列，則時間序列X與Y是協整的.具有協整關系的經濟變量間具有長期的穩(wěn)定關系，可以使用經典回歸模型方法建立回歸預測模型，滿足協整理論，數據采用回歸預測模型才存在長期有效性，避免出現偽回歸的現象.提高預測準確性和時效性.

1.3 GARCH模型基本原理金融時間序列通常都具有異方差性質，為精確地估計異方差函數，Engle 于1982年提出了條件異方差模型，其主要思想是：擾動項的條件方差依賴于他的前期值的大小.期貨價格通常表現出“群集波動”的現象，即在相當長一段時期，其價格表現出大幅波動，然后又會在下一段時期內保持相對穩(wěn)定.因此，可以采用異方差模型（ARCH）描述期貨價格序列.

在周期性要素中，序列自身的方差并非恒定不變，也存在著時變方差的特性.ARCH模型不易描述具有長期自相關性的異方差，因此，我們利用GARCH模型對周期性要素的方差進行擬合預測：

均衡方程:

條件方差方程：

標準殘差（GARCH模型的殘差序列與標準條件方差序列比值）：

GARCH模型能精確描述具有異方差性的序列，因此選擇GARCH模型描述周期性序列.

1.4基于標準殘差序列的套利交易策略兩收盤價序列的真實價差與其標準殘差具有極其相似的波動性.當某一時刻標準化殘差值波動偏離正常范圍后，經過一段時間間隔后，標準化殘差值有極大的概率會回落到正常的波動中心，因此標準化殘差具有描述預測期貨未來價差走勢、預報未來的套利機會.利用HP濾波和協整理論對兩收盤價序列間的標準化殘差進行擬合與預測，根據標準化殘差的波動可以建立套利交易策略.

利用標準化殘差對期貨兩個近月合約進行套利，使用的策略是在標準殘差波動偏離正常臨界值（閾值）時建倉（同時買入和賣出不同月份合約），其值回落到正常波動范圍后平倉（同時賣出和買入不同月份合約）盈利出場；如果建倉后出現實際價差偏離預期目標并超過預期風險則止損出局，如果標準殘差值反向偏離正常臨界值并超過預期風險同樣止損出局.

1.5最優(yōu)套利方案的算法原理使用窮舉法的計算原理，運用以上套利交易策略，對樣本數據進行套利.先設定較低的基于標準殘差序列的初始建倉、平倉以及風險閾值計算套利結果.然后借助計算機，設定閾值的變化范圍，利用循環(huán)不斷改變閾值計算不同的套利結果，找到套利利潤最大的結果就是最優(yōu)套利方案.

1.6基于HP濾波法的套利步驟

第一步，依據協整理論Engle-Granger兩步檢驗法，檢驗滬銅期貨兩個近月合約5分鐘高頻收盤價格序列是否存在長期均衡關系；

第二步，在兩序列滿足協整理論條件下，利用HP濾波發(fā)分別將樣本兩序列分解成趨勢Trend和周期Cycle序列，分別對分解的序列進行協整檢驗；

第三步，采用高階自回歸模型，用近月合約趨勢序列Trend對下月合約趨勢序列Trend進行擬合預測，得到趨勢方程并將模型預測殘差序列加入近月合約周期序列，得到近月合約的修正周期序列；

第五步，利用擬合后的GARCH模型計算樣本數據的標準化殘差序列，利用標準化殘差的性質尋找搜索樣本數據的最優(yōu)套利方案，得到樣本數據內的最優(yōu)套利建倉、平倉閾值與最優(yōu)風險測度；

第六步，取相同HP濾波的λ值，對樣本外數據進行HP濾波分解.以樣本內數據的趨勢方程、均衡方程和條件方差方程估計樣本外數據的標準化殘差序列，在同樣的套利交易策略下，以最優(yōu)套利建倉、平倉閾值與風險測度對樣本外數據進行套利；

第七步，數據和模型定期更新優(yōu)化.

2　實證分析

2.1數據來源選取上海滬銅期貨合約Cu1501（主力合約）與Cu1502（次主力合約）在2014年11月26日至2014年12月8日共11個交易日的5分鐘收盤價的高頻交易數據進行套利研究，總計826個數據.其中，2014年11月26日至2014年12月2日（總計6 d）為樣本內數據，2014年12月3日至2014年12月8日（總計5 d）為樣本外數據.數據均來源于文化財經的大有期貨交易軟件.

上海期貨交易所陰極銅標準合約，報價單位：元/噸，交易單位：5噸/手，本文中交易所收取一手合約操作的手續(xù)費按上期所2014年11月26日公布的最新交易手續(xù)費：成交金額的0.25/10 000計算，最終的凈利潤需扣除操作的手續(xù)費，并以人民幣為單位計算.

2.2協整檢驗

1）相關性分析.用EVIEWS軟件計算兩序列的相關系數為0.999 764，非常接近完全正相關.因此，兩序列有很大的概率具有協整關系.

2）平穩(wěn)性檢驗.在進行協整關系檢驗之前，我們先采用ADF法檢驗原序列和一階差分序列的平穩(wěn)性，結果見表1.

表1　序列平穩(wěn)性檢驗結果

注:當ADF值大于臨界值時說明序列不平穩(wěn)，小于臨界值時說明序列平穩(wěn)；D（）表示對變量進行一階差分.由表1可知，Cu1501和Cu1502兩序列在10%的顯著水平下仍不平穩(wěn)，但它們的一階差分在1%的顯著水平下是平穩(wěn)的，即兩序列都是一階單整I（1），滿足協整檢驗單整階相同的要求.

3）Engle-Granger兩步檢驗法.我們采用EVIEWS軟件中的Engle-Granger兩步檢驗法對序列Cu1501和Cu1502進行協整檢驗.

第一步，用OLS估計方程，均衡關系方程結果為:

其中R2為0.999 529，F-statistics為958 975.9.因此，我們可以認為OLS方程擬合效果很好.

第二步，檢驗均衡關系方程的殘差序列的單整性.利用EVIEWS軟件，生成OLS估計方程的非均衡誤差序列，記為Resid0l.對非均衡誤差序列Resid0l進行ADF單位根檢驗，結果如表2.

表2　非均衡誤差平穩(wěn)性檢驗結果

根據表2中的結果，非均衡誤差Resid0l是I（0）平穩(wěn)序列.根據協整分析理論，滬銅Cu1501和Cu1502價格序列之間存在協整關系.

2.3基于HP濾波的數據分解HP濾波依賴于平滑指數λ，選取λ=100.利用EVIEWS軟件，將原始兩個滬銅收盤價時間序列分別分解成長期趨勢序列和短期周期波動序列，分解結果如下圖1和圖2.

如圖1，原始的滬銅收盤價序列Cu1501分解成趨勢序列Trend1501和周期波動序列Cycle1501.如圖

2，類似的滬銅收盤價序列Cu1502分解成Trend1502和Cycle1502序列.從圖中可以看出，兩序列分解后的趨勢與波動序列有較大相似性.

圖1　Cu1501-HP濾波結果

圖2　Cu1502-HP濾波結果

對HP濾波后的序列進行協整檢驗，結果見表3.

表3　HP濾波后協整檢驗結果

HP濾波后的趨勢序列和周期性序列相似性較高，都滿足協整理論，仍具有長期均衡關系.可用自回歸模型和GARCH模型族分別對趨勢序列和周期性序列進行擬合預測.

2.4自回歸模型對趨勢序列的擬合預測從表3可知，序列Trend1501和Trend1502都是一階單整I（1），對序列一階差分后用自回歸模型，易得

趨勢方程：

其中趨勢方程（7）中的系數P值都顯著，模型生成的殘差序列記為Resid02.

2.5 GARCH模型對周期性序列的擬合預測

1）周期性序列的修正.將Resid02計入Cycle1501序列，得到修正后的周期性序列1501，即

均衡方程：

條件方差方程：

其中，均值方程和條件方差方程中的所有參數都是顯著的；滿足條件方差方程參數非負數要求；滿足ARCH項與GARCH項的系數和小于1的GARCH模型參數約束條件.此外，相關系數R2=0.982，非常接近1，說明模型擬合效果較.其中，模型生成的殘差序列記為Resid03，方差序列記為Garch01.

2.6基于HP濾波標準殘差波動特征的套利交易策略

1）計算標準化殘差序列.

標準化殘差序列記為Resid04，通過EVIEWS軟件，得到其相關描述統(tǒng)計量如圖3：

由圖3知，Jarque-Berate統(tǒng)計量較大，P值為0.235大于0.05的檢驗水平，Resid04不能拒絕原假設，即認為Resid04服從標準正態(tài)分布.

圖3　Resid04的相關統(tǒng)計量

2）最優(yōu)套利方案.

設定套利風險衡量的指標為：反向偏離初始價差的程度.假設t時刻建倉，我們買入一手Cu1501合約價格為w1，賣出另一手Cu1502合約價格為w2，w1-w2就為我們的初始價差；在t+1時刻，Cu1501價格變?yōu)閣3，Cu1502價格變?yōu)閣4，此時刻同時成功平倉（賣出Cu1501，買入Cu1502）.

當Δw大于零時，套利得到未扣除手續(xù)費的正利潤；當Δw等于零時，套利虧損手續(xù)費；當Δw小于零時，套利出現虧損，風險衡量值定義為：

依據標準殘差序列的套利交易策略，通過計算機運用窮舉法，設定不同的標準殘差序列的建倉閾值、平倉閾值與風險值，找到最大利潤（扣除交易手續(xù)費）的套利方案，結果如表4.

表4　樣本最優(yōu)套利方案結果

由表4知，當風險值達到7%以上，建倉閾值取0.42，平倉閾值取0.03，可以得到樣本內套利的最大凈利潤8 808.1元.套利成功率接近96%，說明模型擬合和套利方法都非常好.

2.7模型預測與套利結果分析

1）樣本外標準殘差序列的預測：通過以上模型得到的趨勢方程、均衡方程和條件方差方程，結合樣本外收盤價數據，易預測樣本外數據的標準殘差序列.序列預測結果如圖4.

圖4　預測結果直線圖

2）套利結果與分析：通過樣本內數據得到的最優(yōu)套利方案，對樣本外數據進行套利.在樣本數據中，風險值達到7%以上，最大凈利潤值不變，下文中選擇套利投資者易于接受的20%風險值進行套利，結果如表5.

表5　基于HP濾波的樣本外最優(yōu)套利結果

由表5知，基于HP濾波的最優(yōu)套利方案套利利潤較高，平均每天收益超過1 500元，成功率非常理想，適用于低風險套利投資者.

為考察平滑指數對HP濾波最優(yōu)套利模型的影響，分別選擇3個不同平滑指數（λ=6.25、100、14 400）驗證套利結果，并與未進行HP濾波的傳統(tǒng)基于協整-GARCH模型套利方法進行對比，結果如表6.

表6　滬銅兩段時間兩種套利方案套利結果

由表6知，HP濾波最優(yōu)套利方案比傳統(tǒng)未進行HP濾波的協整-GARCH模型套利方案套利效果好，有更高的利潤與套利成功率.且HP濾波的平滑指數越小，成功率越高，利潤也越高.建議投資者使用一個星期連續(xù)樣本數據建立模型預測未來2~3天內的標準殘差序列，每3天更新一次樣本.

3　結論

通過HP濾波將兩期貨收盤價序列進行成分分解，結合協整理論對分解成分進行擬合預測.通過高階自回歸模型擬合兩趨勢成分，并將趨勢成分擬合誤差轉入周期性成分，通過GARCH類模型族對修正后周期性成分進行擬合.運用窮舉法建立最優(yōu)套利方案對預測結果進行套利.實證結果表明：基于HP濾波和協整理論的套利方法，平滑指數越小，套利成功率更高.與傳統(tǒng)未進行HP濾波的套利方法相比，風險可到更好的控制，且投資者有較高的收益.

4　參考文獻

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（責任編輯趙燕）

作者簡介：覃良文（1991-），男，碩士生，E-mail：qliangwen@163.com；唐國強，通信作者，副教授，E-mail：tanggq@glut.edu.cn

基金項目：廣西財經學院數量經濟學重點實驗室和桂林理工大學博士科研啟動基金資助

收稿日期：2015-05-18

文章編號：1000-2375（2015）06-0570-07

中圖分類號：F201；F224

文獻標識碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2015.06.011