張若軍， 孟艷雙， 盧春閣

(1. 中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2. 中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100；3. 山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357)

?

時(shí)滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解?

張若軍1， 孟艷雙2,3， 盧春閣1

(1. 中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2. 中國(guó)海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266100；3. 山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東 濟(jì)南 250357)

主要研究一類無(wú)限區(qū)間上的具有S-分布時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問(wèn)題。一方面去掉激活函數(shù)必須滿足全局Lipschitz條件的限制，另一方面擴(kuò)大時(shí)滯的應(yīng)用范圍，利用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理和不等式分析技巧，得到了保證所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，并用一個(gè)例子說(shuō)明了所得結(jié)果的有效性與可行性。本文結(jié)果在一定程度上改善和推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論。

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；概周期解；S-分布時(shí)滯；全局吸引性

時(shí)滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用方面發(fā)揮了重要的作用[1-2]。在真實(shí)的神經(jīng)系統(tǒng)中，因?yàn)樯镆蛩睾铜h(huán)境參數(shù)隨時(shí)間波動(dòng)，所以考慮概周期解比周期解更具有現(xiàn)實(shí)意義。近年來(lái)，時(shí)滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解有一些很好的結(jié)果[3-8]，但很多早期的文獻(xiàn)所考慮的時(shí)滯或是離散時(shí)滯或是連續(xù)時(shí)滯，且常假設(shè)激活函數(shù)是全局Lipschitz的。本文將在去掉激活函數(shù)全局Lipschitz條件的限制及擴(kuò)大時(shí)滯的應(yīng)用范圍的情形下，研究一類更廣泛的具有S-分布時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問(wèn)題。

1 模型描述和預(yù)備知識(shí)

考慮無(wú)限區(qū)間(-∞，0]上的S-分布時(shí)滯Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

(1)

其中:n表示神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；xi(t)是第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)；ci(t)>0表示衰減率，gj表示激活函數(shù)；bij(t)表示第j個(gè)神經(jīng)元對(duì)第i個(gè)神經(jīng)元的連接權(quán)重；Ii(t)是外部輸入；Φi(t)是(-∞,0]上的有界連續(xù)函數(shù)。

2 主要結(jié)果

定理1 若系統(tǒng)(1)滿足

則系統(tǒng)(1)一定存在唯一的概周期解。

證明 對(duì)任意φ(t)∈S，考慮系統(tǒng)

(2)

定義映射

從而，對(duì)任意φ∈S*，有

由(A1)，

把映射T在S*上的限制仍記為T，首先證明映射T是從S*到S*的自映射。事實(shí)上，對(duì)所有φ∈S*，有

θ))dηij(θ)]ds|≤

這蘊(yùn)含了Tφ∈S*。因此，映射T是從S*到S*的自映射。

再證明映射T是壓縮映射。事實(shí)上，對(duì)

?φ,ψ∈S*，‖T(φ)-T(ψ)‖=

‖φ-ψ‖=q‖φ-ψ‖。

因?yàn)?

定理2 假設(shè)定理1中的所有條件成立，則系統(tǒng)(1)的概周期解x*(t)是全局吸引的。

x(t)-x*(t),i=1,2,…,n，則有

(3)

顯然，系統(tǒng)(1)的解x*是全局吸引的當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(3)的零解是全局吸引的。

‖y(t)‖≤D,?t>0

(4)

(5)

如果(5)式不成立，則必存在t1>0，使得

‖y(t1)‖=lD

(6)

‖y(t)‖

(7)

由(3)式及(A1)，(A2)，有

此與(6)式矛盾，所以(5)式成立。令l→1，則(4)式成立。

(Ⅱ) 證明系統(tǒng)(3)的零解是全局吸引的。

(8)

由(Ⅰ)知，存在σ≥0，使得

(9)

由上確界極限定義和(9)式，對(duì)于充分小的γ>0，存在t2>0，對(duì)任意t≥t2，有

‖y(t)‖≤(1+γ)σ

(10)

(11)

由(9)～(11)式，當(dāng)t≥t2+T時(shí)，有

所以

(12)

3 例子

令n=2，考慮如下具有S-分布時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

易驗(yàn)證定理2的條件滿足，故系統(tǒng)(13)存在一個(gè)全局吸引的概周期解。

注2 離散時(shí)滯和連續(xù)時(shí)滯互不包含，而S-分布時(shí)滯包含了上述兩種時(shí)滯，更具普遍性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在去掉激活函數(shù)全局Lipschitz限制條件以及擴(kuò)大時(shí)滯的范圍的情形下，研究了一類具有S-分布時(shí)滯的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的概周期解問(wèn)題，得到了保證概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，改善和推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)果，并用一個(gè)例子說(shuō)明了所得結(jié)果的有效性與可行性。

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AMS Subject Classification: 34K14

責(zé)任編輯 陳呈超

Almost Periodic Solutions for Delayed Hopfield Neural Networks

ZHANG Ruo-Jun1, MENG Yan-Shuang2,3, LU Chun-Ge1

(1. School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. College of Information Sciences and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 3. School of Science, Shandong Jiaotong University, Jinan 250357, China)

In this paper, we investigate the existence and global attractivity of almost periodic solutions for the Hopfield neural networks with S-type distributed delays on an infinite interval. Removing the global Lipschitz conditions of activation functions, and expanding the scope of application of delays, we give some sufficient conditions ensuring existence and global attractivity of almost periodic solutions for the addressed neural networks by applying Banach fixed point theorem and inequality technique. Moreover, an example is given to illustrate the effectiveness of our results. The results of this paper improve and generalize the results in the literature to a certain extent.

Hopfield neural networks; almost periodic solutions;S-type distributed delays; global attractivity

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171374;11171315)；山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2011AZ001;ZR2011AM003)資助

2013-05-31；

2014-06-20

張若軍(1970-)，女，副教授。E-mail:zhangru1626@sina.com

O175

A

1672-5174(2015)06-128-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20130248