【摘 要】本文研究了一類具有Logistic型增長率和Hollingш型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性的條件，并通過極限環(huán)研究了全平面上解的結(jié)構(gòu)。

【關(guān)鍵詞】Logistic型增長率；Hollingш；捕食系統(tǒng)；穩(wěn)定性

簡介：在生物學(xué)中很多研究了很多單種群模型。然而，在自然界中種群并不是獨(dú)立存在的，而是與其他種群共存的。它們與其他的種群相互競爭、相互合作，形成了復(fù)雜的生態(tài)系統(tǒng)。在這篇論文中，我們討論了一個包含有兩個種群的生態(tài)系統(tǒng)模型。

在對生態(tài)學(xué)的研究中，捕食系統(tǒng)的研究已經(jīng)有了很多的成果。本文研究了如下捕食模型：

，

其中x，y分別表示食餌系統(tǒng)和捕食系統(tǒng)種群的種群密度，k，A，B，Ci，Di（i=1，2）都是正常數(shù)：

（1）簡化系統(tǒng)參數(shù)：

令x1=ax，y1=by，t1=lt

令

∴

再令

則有

（2）求奇點(diǎn)：

經(jīng)過求解，系統(tǒng)有3個奇點(diǎn)。

它們分別是E0（0，0），E1，E*其中第三個奇點(diǎn)需滿足：a3>1且。

（3）奇點(diǎn)的穩(wěn)定性：

Px

Px

系統(tǒng)在奇點(diǎn)處的一次線性近似方程的系數(shù)矩陣為

（i） E0=（0 0）

其特征根為：λ1=a1>0，λ2=-1>0， 則E0為鞍點(diǎn)；

（ii）

λ1=-a1<0

討論正負(fù)：若為正，則為鞍點(diǎn)；若為負(fù)，則為穩(wěn)定點(diǎn)。

①當(dāng)時，即時，E1為穩(wěn)定點(diǎn)，即E1漸進(jìn)穩(wěn)定；

②當(dāng)時，E1不穩(wěn)定。

（iii）對E*

可得其特征方程為：

，

且要滿足Tr（E*）<0。

即將（x*，y*）代入，整理得到有

若，則有

① ，則E*不穩(wěn)定；

②，則E*穩(wěn)定。

（4）為了研究極限環(huán)的存在性，我們要構(gòu)造外境界線。

當(dāng)y>0時，由于，所以當(dāng)軌線與相遇時，均從直線的右方穿入左方；

考察直線l：y+x-k=0，

當(dāng)k足夠大時。

故軌線與直線l=0相遇時均從其右上方穿入左下方。

直線x=0，y=0均是軌線。這樣直線，y+x-k=0，x軸和y軸圍成了區(qū)域G的境界線，G內(nèi)除E*點(diǎn)外無其他奇點(diǎn)。?G上的奇點(diǎn)O（0，0）與E1（x1，0）都是鞍點(diǎn)，G內(nèi)的軌線正向不能進(jìn)入。系統(tǒng)在G內(nèi)至少存在一個包含E*點(diǎn)的穩(wěn)定極限環(huán)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Bao Shi and Chao-yan Huang. The differential equation of the foundation and its application. Beijing： Science Press，2007

[2]W F Lucas. Differential Equation Models. New York：Springer-Verlaag，1983

[3]En-zhi Ma. Mathematical modeling and Study on the population ecology. Hefei： Anhui Education Publishing House，1996

作者簡介：

劉松亭（1991.09～），女，安徽省阜南縣人，現(xiàn)供職單位：南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，本科學(xué)位，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。