圓錐曲線的概念及性質(zhì)在高考中每年必考,且考查的內(nèi)容較為豐富,題目變化較多.
(1)圓錐曲線的定義及應(yīng)用.
(2)圓錐曲線的幾何性質(zhì).
(1)熟練掌握圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì).
(2)重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,體會解析幾何的本質(zhì)——用代數(shù)方法求解幾何問題.
例1 若雙曲線 - =1(a>0,b>0)的右頂點為A,過其左焦點F作x軸的垂線交雙曲線于M,N兩點,且 · >0,則該雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A. (2,+∞)?搖?搖?搖?搖 B. (1,2)
C. ,+∞?搖?搖?搖?搖?搖 D. 1,
破解思路 研究圓錐曲線離心率e時,只要求出a,b,c的一個齊次方程,再結(jié)合a,b,c的關(guān)系(橢圓是b2+c2=a2,雙曲線是a2+b2=c2)就可求得e.若涉及范圍問題時,往往可以借助圓錐曲線上點的坐標(biāo)的范圍,或者焦半徑的范圍等.
答案詳解 由題意可得M-c, ,N-c,- ,A(a,0),所以 =a+c,- , =a+c, . 因為 · >0,所以(a+c)2- >0,所以a+c- >0,所以2a2+ac-c2>0,所以e2-e-2<0,解得1 例2 已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點與雙曲線x2-y2=- 的一個焦點重合,且在拋物線上有一動點P到x軸的距離為m,P到直線l:2x-y-4=0的距離為n,則m+n的最小值為____. 破解思路 本題可利用拋物線的有關(guān)定義,將所求的點到x軸的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離. 答案詳解 易知x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1),故p=2,因此拋物線的方程為x2=4y. 根據(jù)拋物線的定義可知m=PF-1,設(shè)PH=n(H為點P到直線l所作垂線的垂足),因此m+n=PF-1+PH. 易知當(dāng)F,P,H三點共線時m+n最小,因此其最小值為FH-1= -1= -1. 例3 已知雙曲線 - =1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點. 若雙曲線的離心率為2,△AOB的面積為 ,則p等于( ) A. 1 B. C. 2 D. 3 破解思路 本題涉及雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線等相關(guān)知識,只需根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量條件即可解決. 答案詳解 因為雙曲線的離心率e= =2,所以b= a,所以雙曲線的漸近線方程為y=± x=± x. 又與拋物線的準(zhǔn)線x=- 分別相交于A- , p,B- ,- p,所以△AOB的面積為 × × p= . 又p>0,所以p=2. 故選C. 1. 過雙曲線 - =1(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)(c>0),作圓x2+y2= 的切線,切點為E,直線FE交雙曲線右支于點P. 若 = ( + ),則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 2. 設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓 + =1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標(biāo)為(6,4),則PM+PF1的最大值為________.
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版2015年4期