黃海漩，徐 平，阮雙琛，楊 拓，袁 霞，黃燕燕

深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

【光電工程 / Optoelectronic Engineering】

基于矢量理論分束器設(shè)計方法及其機(jī)理的探討

黃海漩，徐 平，阮雙琛，楊 拓，袁 霞，黃燕燕

深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060

分析以矢量理論求解二元簡單周期結(jié)構(gòu)衍射效率的原理和過程，探討一種高性能偶數(shù)分束器設(shè)計方法，通過自編程序在太赫茲波段獲得二元結(jié)構(gòu)偶數(shù)分束器，有效抑制了零級衍射，突破傳統(tǒng)標(biāo)量方法設(shè)計的局限性．探討了該設(shè)計方法利用共振效應(yīng)及倏逝波傳播效應(yīng)抑制零級衍射光，以及將能量分配到其他非零級次上的物理機(jī)理．

電磁波物理；亞波長；二元結(jié)構(gòu)；偶數(shù)分束器；嚴(yán)格耦合波法；抑制零級衍射

高性能偶數(shù)型分束器[1-3]已在光纖光柵線性啁啾相位掩膜的制作、光刻機(jī)光學(xué)系統(tǒng)分束和數(shù)字全息光學(xué)系統(tǒng)去噪等高消零級衍射要求的特殊場合廣泛應(yīng)用．與奇數(shù)型分束器[4-10]相比，偶數(shù)分束器由于必須滿足消除零級噪聲條件下的高衍射效率和高光強(qiáng)均勻性要求，其設(shè)計優(yōu)化過程相對奇數(shù)型分束器更為復(fù)雜和困難，且制作工藝要求高，制作難度大．目前傳統(tǒng)偶數(shù)分束器研究主要基于標(biāo)量理論設(shè)計的復(fù)周期Dammann結(jié)構(gòu)[11-12]，其相位突變點較多、線條精度跨度大，制作精度要求較高，實際制作時很難保證較好的零級抑制效果和高衍射效率．此外，傳統(tǒng)標(biāo)量設(shè)計理論對于二元簡單周期結(jié)構(gòu)的分析表明，零級衍射始終無法消除，因而未能實現(xiàn)偶數(shù)分束．目前國內(nèi)外尚未見基于二元簡單周期結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)消零級、高衍射效率和高均勻性偶數(shù)分束的相關(guān)報道．

本研究基于二元光學(xué)衍射設(shè)計理論及其應(yīng)用[13-22]，通過分析矢量理論求解二元簡單周期結(jié)構(gòu)衍射效率的原理和過程，探討一種高性能偶數(shù)分束器設(shè)計方法，采用自編程序在太赫茲波段獲得了二元結(jié)構(gòu)偶數(shù)分束器，有效抑制了零級衍射，突破傳統(tǒng)標(biāo)量方法設(shè)計的局限性．深入探究該方法物理機(jī)理，認(rèn)為其實質(zhì)是：通過設(shè)計亞波長二元結(jié)構(gòu)的參數(shù)，使零級衍射光發(fā)生共振效應(yīng)并形成在分束器表面?zhèn)鞑サ馁渴挪ǘ鵁o法透射，成功抑制了零級衍射．

1 設(shè)計理論

采用的亞波長二元結(jié)構(gòu)如圖1，其折射率在y方向(垂直紙面向外)上均勻分布，在x方向上周期分布，光柵脊寬為a，周期為d，光柵深度為h1，占空比f=a/d，基底介質(zhì)厚度為h2．在z方向上光柵區(qū)域劃分為4個水平層：z<0為入射介質(zhì)層，其折射率為n1；0h1+h2為出射介質(zhì)層，其折射率為n1．入射介質(zhì)層、出射介質(zhì)層相對于光柵介質(zhì)層可認(rèn)為厚度無窮大．

圖1 亞波長二元周期結(jié)構(gòu)模型Fig. 1 Model of a subwavelength binary structure

圖1中，波長為λ0的TE平面波以θ角入射到分束數(shù)為N=2L(L= 1，2，…，n，其中n∈N)的光柵．若垂直入射,光柵周期d取值為Lλ0/n1

以TE偏振入射為例，闡述嚴(yán)格耦合波法求解過程．對于圖1的周期矩形光柵，其光柵層沿x方向的介電常數(shù)具有周期性，即相對介電常數(shù)εr(x)=εr(x+d)，用傅里葉級數(shù)展開形式表示為

(1)

其中，傅里葉系數(shù)為

(2)

入射波為TE波時，入射波的電場僅存在y分量，入射介質(zhì)層1、基底層3和出射介質(zhì)層4的電場解的表達(dá)式可根據(jù)瑞利展開式展開，光柵層2的電場和磁場可由傅里葉級數(shù)展開，分別表示為

E1,y=exp[-jk0n1(xsinθ+zcosθ)]+

(3)

h1

z>h1+h2(5)

0

(7)

其中，Rq為反射到入射介質(zhì)層1的q級衍射波的歸一化電場振幅；Tq為透射到出射層4的q級衍射波的歸一化電場振幅；R3q和T3q分別是在基底層3中反射和透射波的電場振幅；Syq和Uxq分別為光柵層2的q級衍射波的電場振幅和磁場振幅；k0=2π/λ0，為入射光在真空中的波數(shù)，λ0為入射波在真空中的波長；kxq為第q級衍射波矢的x分量，由Floquet條件決定

kxq=k0x-qK=

(8)

其中，K=2π/d;k1，zq、k3，zq和k4，zq分別為入射區(qū)域(入射介質(zhì)層1)、基底層3和出射層4第q級衍射波矢的z分量，即q次諧波場在介質(zhì)1、3和4中的波矢分量，滿足關(guān)系

(9)

其中，l=1,3,4.

將各區(qū)電磁場解的表達(dá)式(3)至式(7)和介電常數(shù)的傅里葉展開式(1)代入麥克斯韋方程組，推導(dǎo)得到耦合波方程

(10)

方程(10)為無窮維方程，故需截斷為有限維方程組再進(jìn)行數(shù)值求解．在入射層1與光柵層2、光柵層2與基底層3、基底層3與出射層4邊界上運用電磁場邊界條件，采用特征值法結(jié)合高斯消去法對方程(10)進(jìn)行數(shù)值求解，得到各級反射波振幅系數(shù)Rq與透射波的振幅系數(shù)Tq．

反射區(qū)及透射區(qū)的各級衍射波的衍射效率ηRq和ηTq為

(11)

從而得到各級透射波的衍射效率Pq=ηTq(q為衍射級次，q=0，±1，±2，…，±L)的數(shù)值解[25]．該數(shù)值解與光柵的占空比f、周期d、槽深h1和基底厚度h2等結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)，因此，各級透射波衍射效率Pq(q=-2，-1，0，1)可由嚴(yán)格耦合波法通過光柵結(jié)構(gòu)參數(shù)(f、d、h1和h2)進(jìn)行數(shù)值求解．

2 優(yōu)化設(shè)計方法及結(jié)果

偶數(shù)分束器的設(shè)計目標(biāo)是以4個光柵結(jié)構(gòu)參數(shù)為自變量，控制各級透射波的衍射效率，實現(xiàn)零級衍射效率最小、各非零級次衍射效率之和最大且均勻分布，即考慮去零級衍射級次、各非零級次衍射效率均勻性和總衍射效率3個因素．因此，設(shè)定評價函數(shù)為

(12)

其中，2L為偶數(shù)分束數(shù)；α、β、μ和ν為權(quán)重因子，在[0，1]取值, 且滿足α+β+μ+ν=1，可根據(jù)不同設(shè)計要求設(shè)置；P與U分別為各非零衍射級衍射效率之和(總衍射效率)及其均勻性誤差[24]，分別為

(13)

U=(Pmax-Pmin)/(Pmax+Pmin)

(14)

這里，Pmax和Pmin分別為2L個非零衍射級次中的最大衍射效率和最小衍射效率．

式(12)第1項和第2項考慮了各分束衍射效率及其均勻性，第3項考慮了總衍射效率，第4項考慮了零級衍射效率的抑制．因此，設(shè)計的實質(zhì)即求一組二元周期結(jié)構(gòu)參數(shù)(f、d、h1和h2)，使評價函數(shù)F最?。捎谠u價函數(shù)中的各級衍射效率Pq是一個多變量函數(shù)，且只有數(shù)值解，不能表達(dá)為上述參數(shù)的顯函數(shù)，而遺傳算法具有跳出局部極值點的機(jī)制，特別適合解決多變量、離散變量優(yōu)化問題[26-27]，因此，本研究將該法應(yīng)用于式(12)中評價函數(shù)F的優(yōu)化．首先，設(shè)定f、d、h1和h2的初始值，產(chǎn)生初始種群；然后，計算各級衍射效率和評價函數(shù)F． 若不滿足收斂條件，則對種群進(jìn)行選擇、交叉和變異操作．重新計算評價函數(shù)并進(jìn)行收斂性條件判斷．反復(fù)進(jìn)行這一過程直到收斂性條件滿足后，輸出優(yōu)化參數(shù)f、d、h1和h2的值，求出分束器結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)值．優(yōu)化設(shè)計流程如圖2．

圖2 遺傳算法與嚴(yán)格耦合波法相結(jié)合優(yōu)化亞波長矩形周期光柵結(jié)構(gòu)參數(shù)流程圖Fig.2 Flow chart of grating parameters optimization by combining GA with RCWA

設(shè)定優(yōu)化初始條件為：分束數(shù)N=4，入射光頻率為太赫茲波段(2.52THz)；TE偏振垂直入射；入射介質(zhì)為空氣，其折射率n1=1.00；光柵介質(zhì)材料為對太赫茲波段透明的高阻硅，其折射率n2=3.42． 根據(jù)運算，最優(yōu)設(shè)計結(jié)果如圖3和表1．

圖3 基于高阻硅的太赫茲4分束器各級輸出衍射效率分布圖Fig.3 Distributions of the efficiency of each diffraction order of a silicon-based terahertz even splitter

表1 太赫茲偶數(shù)分束器設(shè)計結(jié)果

Table 1 Results of a designed terahertz even beam splitter

d/μmh1/μmh2/μmfa/μm最小特征尺寸/μm各級衍射效率分布/%P-2P-1P0P+1P+2P/%104U/%269．7175．218．10．409110．2110．223．058623．05890．192023．058923．058692．2306．51

由圖3和表1可知，用波長為118.83 μm(工作頻率為2.52 THz)的TE偏振太赫茲波垂直入射本研究設(shè)計的亞波長二元結(jié)構(gòu)分束器，總體分束衍射效率可達(dá)92.230%，零級衍射效率抑制在0.192%以下，均勻性誤差控制在6.51×10-6以內(nèi)，能量均勻地分配到±1和±2級，其衍射效率高于文獻(xiàn)[11-12]中報道的80%、60%～83%和90%，相對均勻性誤差優(yōu)于所報道的5.7×10-5～3.2×10-4．太赫茲波偶數(shù)分束的衍射效率、均勻性誤差和零級抑制等性能指標(biāo)理想．由于使用了二元簡單周期結(jié)構(gòu)，大大降低了制作難度，易于實現(xiàn)．

3 物理機(jī)理分析

本研究設(shè)計結(jié)果是傳統(tǒng)標(biāo)量衍射理論所無法實現(xiàn)的．原因可能在于：

1)在設(shè)計方法方面，采用亞波長二元結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)對光波偏振方向敏感且衍射效率高．另外，通過綜合運用嚴(yán)格耦合波精確描述電磁波在亞波長結(jié)構(gòu)中電場分量與磁場分量及其各個標(biāo)量分量直接耦合作用及邊界條件對電磁場的強(qiáng)烈的耦合作用，結(jié)合有效的全局優(yōu)化算法——遺傳算法，對可能存在的最優(yōu)解進(jìn)行全局搜索，提高了尋得最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的可能性；

2)在物理機(jī)理方面，利用亞波長結(jié)構(gòu)的特性，使零級衍射光在亞波長結(jié)構(gòu)內(nèi)發(fā)生共振效應(yīng)并形成在分束器表面?zhèn)鞑サ馁渴挪ǘ鵁o法透射，在實現(xiàn)抑制零級衍射級的同時將更多的能量分配到其他非零級次上．而傳統(tǒng)標(biāo)量設(shè)計理論僅考慮電場的一個分量，無法討論偏振屬性，不適合分析亞波長結(jié)構(gòu)．因此，這正是本研究方法突破傳統(tǒng)標(biāo)量理論分束器設(shè)計局限性的根本原因．

采用共振效應(yīng)及倏逝波傳播效應(yīng)來解釋抑制零級衍射光及將能量分配到其他非零級次上的物理機(jī)制，是我們初步探討的結(jié)果，由于該結(jié)構(gòu)屬于多層介質(zhì)膜亞波長光柵，耦合過程相對復(fù)雜，或許可利用光波的模式匹配理論，通過考慮高級次子波與波導(dǎo)的模式耦合作用，以揭示共振機(jī)制．受篇幅所限，在此從略．

結(jié) 語

通過分析矢量理論求解二元簡單周期結(jié)構(gòu)衍射效率的原理和過程，本研究探討了一種高性能偶數(shù)分束器設(shè)計方法，并采用自編程序在太赫茲波段獲得了二元結(jié)構(gòu)偶數(shù)分束器，可有效抑制零級衍射，并突破傳統(tǒng)標(biāo)量方法設(shè)計的局限性．理論分析結(jié)果表明，該亞波長二元結(jié)構(gòu)分束器采用波長為118.83 μm的TE偏振太赫茲波垂直入射，能量均勻地分配到±1和±2級，偶數(shù)分束的衍射效率、零級抑制及均勻性指標(biāo)都非常理想．二元簡單周期結(jié)構(gòu)的應(yīng)用大大降低了制作難度，使該設(shè)計易于實現(xiàn)．深入探究本研究設(shè)計方法突破傳統(tǒng)標(biāo)量理論局限性的物理機(jī)理，其原因在于：通過調(diào)整光柵結(jié)構(gòu)參數(shù)利用亞波長二元結(jié)構(gòu)的特性，使零級衍射光在亞波長結(jié)構(gòu)內(nèi)發(fā)生共振效應(yīng)并形成在分束器表面?zhèn)鞑サ馁渴挪ǘ鵁o法透射，在實現(xiàn)抑制零級衍射級的同時將更多的能量分配到其他非零級次上．

本研究設(shè)計結(jié)果突破了簡單結(jié)構(gòu)下的高衍射效率、高均勻性的消零級衍射偶數(shù)分束實現(xiàn)問題，可應(yīng)用于光纖光柵線性啁啾相位掩膜的制作、光刻機(jī)光學(xué)系統(tǒng)分束和數(shù)字全息光學(xué)系統(tǒng)去噪等高消零級衍射要求等領(lǐng)域．

/ References：

[1] Li Jingzhen．Handbook of optics[M]．Xi’an：Shanxi Science and Technology Press of China，2010：1070．(in Chinese) 李景鎮(zhèn)．光學(xué)手冊[M]．西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2010：1070．

[2] Liu Quan，Wu Jianhong，Yang Weipeng，et al．Fabrication of linearly chirped phase mask[J]．Chinese Journal of Lasers，2009，36(3)：677-682．(in Chinese) 劉 全，吳建宏，楊衛(wèi)鵬，等．線性啁啾相位掩模的研制[J]．中國激光，2009，36(3)：677-682．

[3] Chen Shaowu．Analysis on tolerance for fabrication error of phase mask for UV written fiber Bragg grating[J]．Journal of Optoelectronics·Laser，1998，9(6)：469-471．(in Chinese) 陳少武．紫外寫入光纖光柵用亞μm相位掩模板制作誤差容限分析[J]．光電子·激光，1998，9(6)：469-471．

[4] Philippe L，Jerome H，Pierre C，et al．A transmission polarizing beam splitter grating[J]．Journal of Optics A：Pure Applied Optics，1999，1(2)：215-219．

[5] Zheng Jiangjun，Zhou Changhe，F(xiàn)eng Jijun，et al．Polarizing beam splitter of two-layer dielectric rectangular transmission gratings in Littrow mounting[J]．Optics Communications，2009，282(15)：3069-3075．

[6] Wang Bo，Chen Li，Lei Lei，et al．Metal-based phase grating for high-efficiency polarizing beam splitter [J]．Optics Communications，2013，296(1)：149-152．

[7] Guan Xiaowei, Wu Hao, Shi Yaocheng, et al. Extremely small polarization beam splitter based on a multimode interference coupler with a silicon hybrid plasmonic waveguide[J]．Optics Letters，2014，39(2)：259-262．

[8] Guo Lingwei，Ma Jianyong．Broad band beam splitter based on the double-groove fused silica grating[J]．Optik，2014，125(1)：232-234．

[9] Hsu J H，Lee C H，Chen R S，et al．A high-efficiency multi-beam splitter for optical pickups using ultra-precision manufacturing[J]．Microelectronic Engineering，2014，113：74-79．

[10] Feng Jijun，Zhou Changhe，Wang Bo，et al．Three-port beam splitter of a binary fused-silica grating[J]．Applied Optics，2008，47(35)：6638-6643．

[11] Herzig H P．Micro-optics：elements，systems and applications[M]．Boca Raton(USA)：Taylor & Francis Ltd，1997．

[12] Zhou Changhe，Bi Qunyu．Isocandela grating to eliminate the zero-order spectra[P]． China： ZL200710171391.3，2008-05-28．(in Chinese) 周常河，畢群玉．消除零級譜點的等光強(qiáng)光柵[P]．中國：ZL200710171391.3，2008-05-28．

[13] Huang Haixuan，Ruan Shuangchen，Yang Tuo, et al．Novel even beam splitters based on subwavelength binary simple periodic rectangular structure[J/OL]．Nano-Micro Letters，2015，Doi：10.1007/s40820-015-0031-y．(2015-02-13)．http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs40820-015-0031-y．

[14] Xu Ping，Huang Yanyan，Su Zhijie，et al．Research of micro-prism distribution on the bottom surface of the small-size integrated light guide plate[J]．Optics Express，2015，23(4)：4887-4896．

[15] Xu Ping，Huang Yanyan，Zhang Xulin，et al．Integrated micro-optical light guide plate[J]．Optics Express，2013，21(17)：20159-20170．

[16] Xu Ping，Huang Haixuan，Wang Kai，et al．Realization of optical perfect shuffle with microoptical array element[J]．Optics Express，2007，15(3)：809-816．

[17] Xu Ping，Huang Yanyan，Su Zhijie，et al．Algorithm research on microstructure distribution on the bottom surface of an integrated micro-optical light guide plate[J]．Applied Optics，2014，53(7)：1322-1327．

[18] Xu Ping, Hong Chunquan, Sun Zhilong, et al. Integrated zigzag Vander Lugt correlators incorporating an optimal trade-off synthetic discriminant filter for invariant pattern recognition[J]．Optics Communications，2014，315(15)：97-102．

[19] Xu Ping，Li Jingzhen．The even device fabricated by the deep etched binary optics technology for the exposure system of the quasi-molecule laser[J]．Science in China：Series E，2002，45(1)：1-9．(in Chinese) 徐 平，李景鎮(zhèn)．深蝕刻二元光學(xué)技術(shù)制作準(zhǔn)分子曝光系統(tǒng)均勻器[J]．中國科學(xué)：E輯，2002，45(1)：1-9．

[20] Xu Ping，Zhou Xiang，Zhang Xiaochun，et al．Optical perfect shuffle interconnection using computer-generated blazed grating array[J]．Optical Review，1995，2(5)：362-365．

[21] Huang Haixuan，Xu Ping，Yang Jing，et al．Method of state code matrixes in the realization of optical switching using perfect shuffle[J]．Optics Communications，2009，282(21)：4198-4202．

[22] Xu Ping，Tang Jiyue，Guo Lyurong，et al．Deep etch binary optics element[J]．Acta Optica Sinica，1996，16(12)：1796-1801．(in Chinese) 徐 平，唐繼躍，郭履容，等．深蝕刻二元光學(xué)元件[J]．光子學(xué)報，1996，16(12)：1796-1801．

[23] Yan Shuhua．Design of diffraction microoptics[M]．Beijing：National Defense Industry Press of China，2011：269-272．(in Chinese) 顏樹華．衍射微光學(xué)設(shè)計[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2011：269-272．

[24] Marciante J R，F(xiàn)armiga N O，Hirsh J I，et al．Optical measurement of depth and duty cycle for binary diffraction gratings with sub-wavelength features[J]．Applied Optics，2003，42(16)：3234-3240．

[25] Moharam M G，Grann E B，Pommet D A，et al．Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings[J]．Journal of the Optical Society of America A：Optics，Image Science，and Vision，1995，12(5)：1068-1076．

[26] Cormier G，Boudreau R，Thériault S，et al．Real-coded genetic algorithm for Bragg grating parameter synthesis[J]．Journal of the Optical Society America B：Optical Physics，2001，18(12)：1771-1776．

[27] Goldberg E．Genetic algorithm in search，optimization and machine learning[M]．New York：Addison-Wesley Publishing Company，1987．

【中文責(zé)編：英 子；英文責(zé)編：子 蘭】

A method to design beam-splitters based on vectorial theory and discussion on its physical mechanism

Huang Haixuan, Xu Ping?, Ruan Shuangchen, Yang Tuo,

Yuan Xia, and Huang Yanyan College of Electronic Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China

This paper analyses the principle and process to solve the diffraction efficiency of gratings with binary simple period structures by applying vectorial theory and explores a method to design a high-performance even-beam splitter. By programming, we obtain an even splitter with a binary structure in the Terahertz range. Thus, the zero-order diffraction is suppressed effectively, and it breaks the design limit of the traditional scalar theory. In addition, we discuss the physical mechanism of the method to suppress the zero-order diffraction by resolving the energy to the non-zero-order diffractions due to the resonance effect and the evanescent wave propagation effects.

electromagnetic wave physics; subwavelength; binary structure; even beam splitter; rigorous couple-wave; zero-order diffraction suppress

：Huang Haixuan，Xu Ping，Ruan Shuangchen，et al．A method to design beam-splitters based on vectorial theory and discussion on its physical mechanism[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(2): 172-177.(in Chinese)

TM 154.4

A

10.3724/SP.J.1249.2015.02172

國家自然科學(xué)基金資助項目(61275167)、深圳市基礎(chǔ)研究計劃資助項目(JCYJ20130329103020637)

黃海漩(1981—)，男(漢族)，廣東省海豐縣人，深圳大學(xué)博士研究生．E-mail：hhx@szu.edu.cn

Received：2015-01-26；Accepted：2015-03-03

Foundation：National Natural Science Foundation of China (61275167); Basic Research Project of Shenzhen (JCYJ20130329103 020637)

? Corresponding author：Professor Xu Ping．E-mail: xuping@szu.edu.cn

引 文：黃海漩，徐 平，阮雙琛，等．基于矢量理論分束器設(shè)計方法及其機(jī)理的探討[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報理工版，2015，32(2)：172-177.