☉上海市桃浦中學(xué) 張正麗

解題教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合思想”培養(yǎng)的嘗試與思考
——高三函數(shù)專題復(fù)習(xí)實(shí)踐研究

☉上海市桃浦中學(xué) 張正麗

把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.在使用過程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻往往給學(xué)生的解題帶來很大的困擾.因此，數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)更需偏重于由“數(shù)”到“形”轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練.

數(shù)形結(jié)合是一種很重要的數(shù)學(xué)思想.近年來全國各地的高考題中考查數(shù)形結(jié)合思想與各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的題型不在少數(shù)，尤其是填空選擇題中出現(xiàn)較多.在研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)常常要用到數(shù)形結(jié)合的思想，若能正確分析題設(shè)并畫出函數(shù)的圖像，往往能事半功倍.筆者在高三函數(shù)專題復(fù)習(xí)中進(jìn)行了實(shí)踐探索，結(jié)合近年來的高考題及模擬題，帶領(lǐng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合方法在研究函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用作一些分析與小結(jié).

一、利用數(shù)形結(jié)合，合理分類討論，完善解題思維

在解決函數(shù)問題時(shí)常常需要利用函數(shù)的圖像輔助解題，利用數(shù)形結(jié)合，可以讓學(xué)生注意到問題解決需要分類討論，容易讓學(xué)生在解題過程中形成縝密的思維習(xí)慣，提高解題效率.

教學(xué)片段一：

例1設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|，若對任意x1，x2∈［3，+∞），x1≠x2，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

大約兩分鐘后，開始提問.

師：剛才兩位同學(xué)說得都不錯(cuò)，那么請大家再考慮一下，對對稱軸的分類討論是否全面了呢？

生4：還缺一個(gè)等于零的情況，如圖3所示.

圖1

圖2

圖3

師：回答得非常好.下面就請大家結(jié)合這三位同學(xué)的想法完成這道題……

反思1：大部分學(xué)生看到含有絕對值的函數(shù)解析式時(shí)，首先會(huì)想到改寫成分段函數(shù)的形式，而且也知道此類問題往往需要進(jìn)行分類討論，但是常因考慮問題不夠全面，思路不完整，容易出現(xiàn)漏解的情況.因此，需要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在解決該類問題時(shí)使用數(shù)形結(jié)合方法對合理實(shí)施分類討論有很大幫助.

二、利用數(shù)形結(jié)合，化繁為簡，優(yōu)化解題策略

教學(xué)片段二：

例2已知函數(shù)f（x）=|log2x|，正實(shí)數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間［m2，n］上的最大值為2，則m、n的值分別為（）.

在巡視學(xué)生的解題過程，發(fā)現(xiàn)了以下一些解法：

（1）看到f（x）=|log2x|中有絕對值，第一反應(yīng)是去絕對值，寫成分段函數(shù)形式.

（2）考慮到“f（x）在區(qū)間［m2，n］上的最大值為2”，學(xué)生就開始分類討論，即“f（m2）=2或者f（n）=2”，再結(jié)合“f（m）=f（n）”和“m＜n”的條件求出n和m.此過程計(jì)算量還比較大，且有學(xué)生未考慮m，n的大小關(guān)系，所以出現(xiàn)多解的情況.

通過巡視發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生雖有大致的解題思路，但沒有意識(shí)到如果能適當(dāng)借助函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合來解題，就可以避免分類討論.因此，筆者根據(jù)學(xué)生解題中出現(xiàn)的障礙，通過下列問題引導(dǎo)學(xué)生重新思考本題的解題思路與步驟.

（1）畫出函數(shù)的圖像，并觀察函數(shù)f（x）=|log2x|有何特征.

（2）如何利用條件“0＜m＜n時(shí)，f（m）=f（n）”確定m，n的位置.

（3）嘗試在圖像（如圖4）中標(biāo)注出［m2，n］的大致位置，觀察能否確定在何處取到最大值.

反思2：在解題過程中，常常會(huì)遇到考查函數(shù)圖像與性質(zhì)的一類題型，經(jīng)常要用到數(shù)形結(jié)合的思想，有時(shí)還要用到分類討論，若能恰當(dāng)使用數(shù)形結(jié)合思想，有時(shí)也可以避免分類討論，化繁為簡.因此，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題過程中要充分考查數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得以解決.

圖4

三、利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)解決方程問題

在函數(shù)與方程的專題復(fù)習(xí)后，給學(xué)生留下了一道思考題：“若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.”第二天批改作業(yè)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)中有幾種解題方法非常的漂亮，決定在課堂上展示，以此鼓勵(lì)其他學(xué)生也積極地思考問題.

教學(xué)片段三：

課堂上，先極力稱贊了給出完全正確解題過程的兩位學(xué)生，并且請他們分別講解了自己的思維過程.

生1：（圖5）首先考慮x=0是方程的一個(gè)根，然后方程兩邊是可以約掉|x|的，那么方程就應(yīng)該是有三個(gè)不同的非零的根，即等價(jià)于考慮與y=k（x-3）的圖像有三個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)y=k（x-3）的圖像是過定點(diǎn)（3，0）的，而是偶函數(shù)，由于x＜0時(shí)必有一個(gè)交點(diǎn)，故只需要考慮x＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以k

生2：（圖6）同樣我也是看出x=0是方程的一個(gè)根，然后當(dāng)x≠0時(shí)，就討論應(yīng)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出的圖像后發(fā)現(xiàn)在k＜0時(shí)，必有一個(gè)負(fù)根，故只需考慮方程=kx在（0，3）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根即可，后面做的過程和剛才的同學(xué)是一樣的了.

圖5

圖6

聽完這兩位同學(xué)的發(fā)言后，其他學(xué)生都非常的驚訝，這時(shí)課堂的氣氛異常活躍起來了，都七嘴八舌開始討論起來，有的說我怎么沒有想到呢，有的是沒發(fā)現(xiàn)x=0是方程的一個(gè)根，還有的說自己也是按照這樣的思路做的，但是做了一半?yún)s做不下去了……

（學(xué)生們都在討論著）這時(shí)有一個(gè)學(xué)生舉手了.

生3：剛才他們的方法都是發(fā)現(xiàn)了x=0是一個(gè)根，先化簡了，但是我做的時(shí)候沒有想到，就想直接轉(zhuǎn)化為找函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，可我沒有做出來，是不是這樣做不了呢？

師：這位同學(xué)的問題提得非常好.在你們的作業(yè)中，老師發(fā)現(xiàn)有幾位同學(xué)也是用這種方法做的，但是解題過程中存在一些問題，都沒有解下去.其實(shí)這種方法完全是可以解題的.

然后筆者提示并引導(dǎo)學(xué)生畫出了這兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖7），讓學(xué)生完成此方法的解題.

（大約過了五分鐘）又有學(xué)生舉手了.

生5：老師，從這張圖中發(fā)現(xiàn)x=0肯定是一個(gè)根，既然這樣，那不如找函數(shù)它們的圖像應(yīng)該有三個(gè)交點(diǎn)，豈不是更簡單嘛？

師：恩，觀察很仔細(xì)?。∧敲春瘮?shù)y=|x|（x-3）的圖像怎么畫呢？

生5：（主動(dòng)到黑板上畫出函數(shù)的圖像，如圖8）可以先將y=|x|（x-3）寫成分段函數(shù)然后函數(shù)是常值函數(shù)，圖像是一條平行于x軸的直線，這樣從圖中直接就看出范圍了.

圖7

圖8

聽完這位學(xué)生的解釋，其他學(xué)生也更驚訝了：對啊，這個(gè)方法更簡單呀，一下子就求出范圍了……

師：這位同學(xué)的想法太好了.完全是正確的，而且你的方法也是非常簡單的，請大家按照這個(gè)思路來完成解題……

看到課堂的氣氛如此活躍，學(xué)生討論得這么的津津有味，并且很好地掌握了絕對值函數(shù)，筆者感到非常的欣慰.

反思3：本題考查的是學(xué)生能否正確運(yùn)用函數(shù)方程的思想將求方程解的問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題.學(xué)生在此類問題的解題過程中往往不能等價(jià)轉(zhuǎn)化，就會(huì)出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解.上述四種方法也正是數(shù)形結(jié)合思想在解函數(shù)方程問題過程中的充分體現(xiàn).恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合可以將抽象問題具體化，甚至有時(shí)能很快從圖像中找出答案.在此也應(yīng)須遵循兩個(gè)基本原則：（1）盡量使其中一個(gè)函數(shù)不含參數(shù)，這樣可以固定一個(gè)函數(shù)圖像；（2）所找的兩個(gè)函數(shù)盡量是比較常見的、已學(xué)過的、形式相對簡單一點(diǎn)的.

在完成本題講評之后，為了及時(shí)鞏固學(xué)生對此類問題的掌握程度，筆者當(dāng)場又給學(xué)生出了一道題，如下：

此題要求學(xué)生獨(dú)立完成，大約六分鐘后查看完成情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的回答過程基本都正確.

反思4：“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對象，既是統(tǒng)一又是對立.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，有時(shí)把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形直觀地表達(dá)數(shù)來解決，往往使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化.但是若構(gòu)圖不準(zhǔn)確、不完整，數(shù)與形之間就會(huì)不等價(jià)，易造成錯(cuò)解或漏解.因此，在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡單原則.當(dāng)然在解題教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下兩點(diǎn)：（1）善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系；（2）正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性，以性識(shí)圖.

四、對在解題教學(xué)中有效提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的一點(diǎn)思考

“數(shù)形結(jié)合”作為數(shù)學(xué)中的一種重要思想，在高中數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位.關(guān)于這一點(diǎn)，查查近年高考試卷，就可見一斑.在多年來的高考題中，數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，大多是“以形助數(shù)”，比較常見的是在解方程、解不等式、求函數(shù)的最值、求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)等問題中，巧妙地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解題，可以化抽象為具體，事半功倍.

我們在教學(xué)過程中必須注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況，注意改變觀察和理解問題的角度，揭示問題的本質(zhì)，用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，從而使問題得到解決.在平日的教學(xué)中，教師要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識(shí)聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的思維能力.而且數(shù)形結(jié)合也不能只作為解題工具，只有充分揭示出數(shù)形結(jié)合的意義，深入挖掘其教育價(jià)值，數(shù)形結(jié)合在后續(xù)學(xué)習(xí)中才會(huì)有更旺盛的生命力，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合提高解題能力的研究也才會(huì)有更寬、更好的奠基.

1.薛黨鵬.函數(shù)的圖像與性質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（1-2）.

2.［美］G.波利亞.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2005.

3.趙久勇，王梅蓉.數(shù)形結(jié)合應(yīng)用中的錯(cuò)誤剖析［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（11）.