☉湖北省武漢市第一中學(xué) 薛松

談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中的“回味”

☉湖北省武漢市第一中學(xué) 薛松

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、計(jì)算、證明等活動(dòng)過(guò)程.”而我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)習(xí)慣于對(duì)學(xué)生作一次性的“講深講透”，卻很少想到這樣的講法常常不能促使學(xué)生作更多的思考.如果我們?cè)谔岢鰡?wèn)題后，給學(xué)生足夠時(shí)間與空間，讓他們不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、運(yùn)算求解、演繹證明、反思建構(gòu)、適當(dāng)推進(jìn)擴(kuò)大（以不超綱為限），最后我們?cè)倭粢恍](méi)有完全解決或值得進(jìn)一步探索的問(wèn)題給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生全面思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，并讓學(xué)生在聽(tīng)課或者作業(yè)、考試以后對(duì)有關(guān)知識(shí)或問(wèn)題再進(jìn)行細(xì)嚼、聯(lián)想，猶如對(duì)于一首好詩(shī)、一盞香茗，通過(guò)不斷品嘗加深理解、獲取新知、感受深意，這就是所謂的“回味”.

下面僅從兩個(gè)方面在“不等式證明”中各舉一例談?wù)劇盎匚丁钡漠a(chǎn)生.

一、課堂教學(xué)中適當(dāng)拓寬，促使“回味”產(chǎn)生

問(wèn)題1：試比較log34與log45的大小.

就此止步，則坐失良機(jī)，實(shí)在可惜.若引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上面的解法進(jìn)行分析、研究和聯(lián)系，效果會(huì)完全不同.

分析聯(lián)想1：log23＞log34，log45＞log56，…，一般地，對(duì)任意大于1的自然數(shù)n，必有l(wèi)ogn（n+1）＞logn+1（n+2）①.

分析聯(lián)想2：因?yàn)?、4、5是連續(xù)自然數(shù)，故三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列，此時(shí)數(shù)列具有首末兩項(xiàng)之積小于中項(xiàng)的平方，可聯(lián)想到三個(gè)自然數(shù)成等差數(shù)列，但不連續(xù)時(shí)，是否仍有這個(gè)性質(zhì)呢？進(jìn)一步，產(chǎn)生聯(lián)想：

當(dāng)n、m∈N*，且n＞1時(shí)，必有l(wèi)ogn（n+m）＞logn+m（n+2m）②.

證明：略.

分析聯(lián)想3：從②的證明可知將n換為大于1的實(shí)數(shù)a，將m換成正數(shù)b，證明仍成立，故從橫的方面聯(lián)想到：當(dāng)a＞1、b＞0時(shí)，必有l(wèi)oga（a+b）＞loga+b（a+2b）③.

分析聯(lián)想4：現(xiàn)在放棄③式中兩個(gè)明顯特點(diǎn)，一個(gè)是左邊對(duì)數(shù)的真數(shù)與右邊對(duì)數(shù)的底數(shù)相等，另一個(gè)是兩邊對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之差相等，來(lái)看它更一般的特點(diǎn)：

（1）兩個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)和底數(shù)都大于1；

（2）各個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)都大于各自的底數(shù)；

（3）底數(shù)較小的對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之比大于底數(shù)較大的對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)之比，即

推論：若b＞a＞1，c＞0，則logab＞loga+c（b+c）④.

顯然③式是④式當(dāng)b=a+c的特例，到此，學(xué)生的思維已進(jìn)入了一個(gè)新的境界，無(wú)論是學(xué)生注意力的集中程度還是思維的深度都令人振奮.

二、考試中事先計(jì)劃，預(yù)伏回味

問(wèn)題2：判斷20142015與20152014的大小.

為了避免部分同學(xué)在考試中無(wú)從下手，考試時(shí)將原題改編為：

觀察，試驗(yàn)：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…，請(qǐng)猜想出20142015與20152014有怎樣的大小關(guān)系，并推廣到一般形式，最后證明猜想.

考試后第一步進(jìn)行試卷分析，啟發(fā)學(xué)生猜想：

當(dāng)n＜3時(shí)，nn+1＜（n+1）n（n∈N*）；當(dāng)n≥3時(shí)，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）⑤.

第二步，教師引導(dǎo)學(xué)生分別用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理及構(gòu)造函數(shù)（函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減）進(jìn)行證明，并總結(jié)出構(gòu)造函數(shù)是解決此類(lèi)問(wèn)題的通性通法.

第三步，教師可適時(shí)提出能否將此結(jié)論推廣到n為實(shí)數(shù)的情況，通過(guò)進(jìn)一步探究，作出新的猜想.

當(dāng)0＜x＜y＜e時(shí)，xy＜yx；當(dāng)e＜x＜y時(shí)，xy＞yx⑥.

第四步，利用上述結(jié)論，可指導(dǎo)學(xué)生解決2014年高考湖北省理科壓軸題第二問(wèn)：求e3、eπ、3e、3π、πe、π3的最大數(shù)、最小數(shù).

解：因?yàn)閑＜3＜π，所以eln3＜elnπ，πl(wèi)ne＜πl(wèi)n3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.

根據(jù)函數(shù)y=lnx、y=ex、y=πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中.

由e＜3＜π及⑥的結(jié)論，得3π＞π3；3e＜e3.

綜上所述，6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

第五步，可引導(dǎo)學(xué)生到達(dá)高考的另一制高點(diǎn)，求解2014年江蘇省高考第19題第三問(wèn)：當(dāng)a＞1時(shí)，試比較ea-1與ae-1的大?。ㄅc原題略有變化）.

經(jīng)過(guò)學(xué)生類(lèi)比、推理、計(jì)算、證明，得出解法.

提示：轉(zhuǎn)化為比較（a-1）lne與（e-1）lna的大小，即的大小.構(gòu)造函數(shù)

最后，可布置2014年武漢市高三九月起點(diǎn)考試（理科）壓軸題，供學(xué)生練習(xí).

已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖像在點(diǎn)x=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）若f（x）≤kx2對(duì)任意x＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)n＞m＞1（m、n∈N*）時(shí)，證明：

通過(guò)這樣的試卷評(píng)講，學(xué)生就不會(huì)局限于完成一道孤獨(dú)零碎的考題，而是解決了一類(lèi)問(wèn)題，找到了規(guī)律，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)思維過(guò)程，掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)技能，學(xué)習(xí)了思想方法，并實(shí)現(xiàn)思維方法的學(xué)習(xí)向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過(guò)渡，有了一點(diǎn)學(xué)會(huì)一種把特殊情況推廣到一般情況的新方法的成就感.回過(guò)頭再看原題，就會(huì)有一種居高臨下的感覺(jué)，產(chǎn)生了“回味”，它不但可以使學(xué)生學(xué)到課本上的東西，更可貴的是能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并從中產(chǎn)生探索新知識(shí)的樂(lè)趣，這樂(lè)趣反過(guò)來(lái)又促進(jìn)了一個(gè)人創(chuàng)造能力的增長(zhǎng).邁出這一步十分重要，它將有助于將知識(shí)型人才向創(chuàng)新型人才的轉(zhuǎn)化.

1.沈新權(quán)，顧乙.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)推廣意識(shí)的策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（6）.

2.朱哲.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)與教［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（4）.

3.林少安.在例題教學(xué)中彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014（8）.