☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蘇立標(biāo)

高考圓錐曲線試題中揮之不去的切線“情結(jié)”

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蘇立標(biāo)

近幾年的高考試題中對圓錐曲線的切線問題的考查已經(jīng)不再是“羞答答的玫瑰靜悄俏地開”，而是逐步受到命題者的青睞，而且不斷地加大考查的力度，成為命題者情有獨鐘的切線“情結(jié)”，所以我們有必要對高考試題中圓錐曲線的切線問題進(jìn)行梳理，以便理清高考復(fù)習(xí)的思路.

一、一道試題的探究

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E，取點連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D，點G是點D關(guān)于y軸的對稱點，作直線QG，問：這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

所以直線QG與橢圓只有一個公共點.

“記錄在紙上的思想就如同某人留在沙上的腳印，我們也許能看到他走過的路徑，但若想知道他在路上看見了什么東西，就必須用我們自己的眼睛.”德國哲學(xué)家叔本華的這番話從某種意義上也道出了探究學(xué)習(xí)的重要性，對于一些典型的高考試題，教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，這樣有利于深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的理性認(rèn)識，促進(jìn)其創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展，從而充分發(fā)揮學(xué)生的智能和潛能，所以我們對問題進(jìn)行如下推廣探究：

推廣1：設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓b＞0）上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E，取點A（0，a），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D，點G是點D關(guān)于y軸的對稱點，作直線QG，則直線QG是橢圓C的切線（與橢圓C有唯一的公共點）.

推廣2：設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為雙曲線（a＞0，b＞0）上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E，取點A（0，a），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D，點G是點D關(guān)于y軸的對稱點，作直線QG，則直線QG是雙曲線C的切線（與雙曲線C有唯一的公共點）.

證明：由題意知，AD的方程為x0x-ay+a2=0，所以則QG的直線方程為x0y0x-

推廣3：設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C：b＞0）上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E，取點A（0，a），連接AE，過點A作AE的垂線交x軸于點D，過點Q作橢圓C的切線QG交x軸于點G，則點G為點D關(guān)于y軸的對稱點.

證明：由題意知，AD的方程為x0x-ay+a2=0，所以則QG的直線方程為得到所以點G是點D關(guān)于y軸的對稱點.

推廣4：設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓b＞0）上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為E，取點A（0，a），連接AE，過點Q作橢圓C的切線QG交x軸于點G，若點G是點D關(guān)于y軸的對稱點，則直線AD與AE垂直.

二、高考試題中切線問題

1.證明切線問題

例2（2012年安徽省高考）已知點F1（-c，0）、F2（c， 0）分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，經(jīng)過F1作x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線于點Q.證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點（即直線PQ是橢圓C的切線）.

2.考查切線的幾何性質(zhì)

圖1

（1）已知直線l的斜率為k，用a、b、k表示點P的坐標(biāo)；

（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a-b.

（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析：（Ⅰ）因為|AB|+|AF2|+|BF2|=8，即|AF1|+|F1B|+ |AF2|+|BF2|=8，而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，所以4a=8?a=1?b2=a2-c2=3，故所求橢圓方程為由于對任意m，k恒成立，所以聯(lián)立解得x1=1.故存在定點M（1，0），符合題意.

剖析：由題意易知動直線l是橢圓的一條切線，直線x=4為橢圓的右準(zhǔn)線，定點M（1，0）恰好為橢圓的右焦點，這樣我們就可以把上述高考試題一般化，得到下面的推廣.

推廣：已知點F1（-c，0）、F2（c，0）分別是橢圓（a＞b＞0））的左、右焦點，過橢圓C的上半部分的一點P作橢圓C的切線PQ交橢圓的準(zhǔn)線于點Q，則直線PF2與QF2相互垂直.

3.考查切點弦問題

例5（2013年廣東省高考）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy，由結(jié)合c＞0，解得c=1，所以拋物線C的方程為x2=4y.

（Ⅱ）拋物線C的方程為x2=4y，即求導(dǎo)得y′=

同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

因為切線PA，PB均過點P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1= 0，x2x0-2y0-2y2=0.

所以（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

1.蘇立標(biāo).同根同源的兩道圓錐曲線高考試題的剖析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（10）.