☉安徽省宿州市教育科學(xué)研究所 王鋒☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

關(guān)于數(shù)學(xué)“一題多解”教學(xué)的辯證思考

☉安徽省宿州市教育科學(xué)研究所 王鋒
☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭良

一、案例背景

2014年高考?jí)m埃落定，2015年高考復(fù)習(xí)拉開序幕.一輪復(fù)習(xí)用書第一章首節(jié)“集合的概念與運(yùn)算”，第一課時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“集合的基本概念”與“集合間的基本關(guān)系”兩大考點(diǎn)，本節(jié)課將學(xué)習(xí)“集合的基本運(yùn)算”.授課班級(jí)學(xué)生的基礎(chǔ)較好，授課教師有一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn).

二、案例呈現(xiàn)

師：剛才我們用列舉法、數(shù)形結(jié)合法、屬性分析法等方法解決了交集、并集、補(bǔ)集（教師還補(bǔ)充關(guān)于差集的新定義題）等集合的基本運(yùn)算.交集、并集、補(bǔ)集不僅僅是知識(shí)、運(yùn)算（法則），更是一種思想方法.

例題（2014年重慶卷文科第13題）已知直線x-y+ a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A、B兩點(diǎn)，且AC⊥BC，則實(shí)數(shù)a的值為_________.

師：點(diǎn)A，B可看成集合｛（x，y）|x-y+a=0｝與｛（x，y）|x2+ y2+2x-4y-4=0｝的交集的元素，題目條件有什么？結(jié)論需要什么？如何過渡？

生1：x-y+a=0表示平行直線系，x2+y2+2x-4y-4=0表示以C（-1，2）為圓心，以3為半徑（確定）的圓，通過條件AC⊥BC確定實(shí)數(shù)a的值.

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考，從不同角度給出解答.（約3分鐘，教師展示學(xué)生的解答，并讓學(xué)生還原“思維現(xiàn)場”）

師：三種解法殊途同歸，解法1與解法2的想法更自然，思維層次稍低，解法3充分利用圓的對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化更加徹底，思維更有深度，可見解答的繁簡與條件出現(xiàn)的面目息息相關(guān).請(qǐng)同學(xué)們思考，以上解法中是否需要對(duì)實(shí)數(shù)a的值進(jìn)行檢驗(yàn)，為什么？（過程略）

師：有沒有其他方法？（學(xué)生沉思，教師見學(xué)生沒什么反應(yīng)）前面已經(jīng)提到解決交集問題的兩種思路（先分別求出A，B，再求A∩B的“并列式”；在集合A的條件下驗(yàn)證集合B，確定A∩B的“遞進(jìn)式”），能否從不同視角切入呢？比如更換條件的出場順序，以上解法均先相交后垂直，可嘗試先垂直后相交，設(shè)出直線AC、BC的方程，請(qǐng)同學(xué)們思考、交流.

生4：（解法4）當(dāng)直線AC、BC中一條直線（不妨設(shè)AC）的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，考慮直線AB的斜率為1，有兩種情況：①A（-1，-1），B（2，2），直線AB的方程為x-y=0，對(duì)照x-y+a=0，可知a=0；②A（-1，5），B（-4，2），直線AB的方程為x-y+6=0，對(duì)照x-y+a=0，可知a=6.

根據(jù)kAB=1，解得k=0，與題設(shè)矛盾.

總上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或6.

師：本題的載體為直線和圓，還能怎樣刻畫直線垂直？（學(xué)生面面相覷，不明所以）以上用數(shù)來刻畫垂直，能否用形來表示垂直呢？圓的方程的形式有哪些？

生5：（解法5）由圓的參數(shù)方程可設(shè)A（-1+3cosθ，2+即B（-1-解得cosθ=0.

當(dāng)sinθ=1時(shí)，此時(shí)A（-1，5），B（-4，2），直線AB的方程為x-y+6=0；

當(dāng)sinθ=-1時(shí)，此時(shí)A（-1，-1），B（2，2），直線AB的方程為x-y=0.

總上所述，實(shí)數(shù)a的值為0或6.

教師：能否先利用直線AC、BC交直線AB后，利用點(diǎn)A、B在圓C上呢？請(qǐng)同學(xué)們課下思考交流.

至此，一題多解結(jié)束了，教師沒有過多地總結(jié)停留，直奔下一個(gè)問題的一題多解.

聽課老師在課下與授課教師進(jìn)行交流，對(duì)其教學(xué)進(jìn)行點(diǎn)評(píng).認(rèn)為教師的基本功比較扎實(shí)、教學(xué)準(zhǔn)備充分，不足之處在于內(nèi)容過深，脫離了高考目標(biāo).筆者更關(guān)注其“一題多解”的教學(xué)方式，因?yàn)椤耙活}多解”和“多題一解”是教師攻克（尤其是復(fù)習(xí)課）教學(xué)重難點(diǎn)常采用的一種教學(xué)模式.下面想結(jié)合以上案例談?wù)剬?duì)“一題多解”的一些教學(xué)思考.

三、教學(xué)思考

“一題多解”就是從不同的角度，運(yùn)用不同的思維方法去解決同一個(gè)問題.“一題多解”是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為絢麗的風(fēng)景，是備受推崇并積極推進(jìn)的教學(xué)模式.其教學(xué)價(jià)值何在？是否完美無缺？如何操作實(shí)施？很多教師可能沒有認(rèn)真思考與辯證分析，多是盲目“跟風(fēng)”.

（一）“一題多解”的教學(xué)價(jià)值

1.“一題多解”能拓展知識(shí)寬度，強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

知識(shí)是思想方法的載體，是解題的必備基礎(chǔ).通過“一題多解”，擴(kuò)充課堂容量，鞏固相關(guān)知識(shí)，加深知識(shí)認(rèn)知，全方位、深層次、多角度對(duì)知識(shí)進(jìn)行梳理，使之形成網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)體系.如解法4中，教師可追問“直線AC、BC的斜率均存在時(shí)不合題意，你能一下子看出來嗎？”來增強(qiáng)學(xué)生思維的深刻性，認(rèn)識(shí)到特殊與一般的關(guān)系：直線AB的斜率為1，△CAB是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則直線AC、BC的斜率只能為0與1（或1與0），即符合題設(shè)的圖形只有兩種.

2.“一題多解”能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，促進(jìn)有效協(xié)作

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，缺少解題線路的制約，學(xué)生暢所欲言、各抒己見，視角新穎獨(dú)特，方法靈活巧妙，每個(gè)學(xué)生都能從中找到適合自己的方式方法等，能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)課堂互動(dòng)，增強(qiáng)小組合作交流.

3.“一題多解”能辨別結(jié)果正誤，凸顯繁簡擇優(yōu)，實(shí)行多元評(píng)價(jià)

很多數(shù)學(xué)問題具有開放性致使結(jié)果容易出錯(cuò)，如計(jì)數(shù)問題，可通過直接法、排除法等方法進(jìn)行多解歸一提高結(jié)論的正確率.通過對(duì)解法的比較和反思，進(jìn)而透過現(xiàn)象看本質(zhì)，感悟并逐步掌握各類問題的通性通法與優(yōu)秀解法.對(duì)學(xué)生的解法全方位、立體式地審視與分析，找出學(xué)生的優(yōu)勢和不足，給予多元評(píng)價(jià).不同性質(zhì)的評(píng)價(jià)所產(chǎn)生的心理效應(yīng)大相徑庭.美國心理學(xué)家廉姆·卡耐基曾說：“人性最深切的需求，就是渴望別人的欣賞.”通過多元評(píng)價(jià)和針對(duì)性指導(dǎo)，促使學(xué)生揚(yáng)長避短.

4.“一題多解”能延伸思維廣度，提高思維速度，提升思維深度

數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是認(rèn)識(shí)活動(dòng)和智力領(lǐng)域的核心.通過“一題多解”，調(diào)動(dòng)頭腦中沉睡的知識(shí)，改善學(xué)生固化的思維習(xí)慣，能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、靈活性、深刻性.

5.“一題多解”能升華思想方法，提高應(yīng)變能力，促進(jìn)創(chuàng)新能力

每個(gè)問題的解決都有思想方法的潛流.通過一題多解，使問題中蘊(yùn)含的思想方法顯性化，學(xué)生對(duì)其明晰起來，能夠根據(jù)具體問題情境，將不同的思想方法具體化為不同的解題思路，以具體的解題步驟展示出來.以思想方法統(tǒng)領(lǐng)，能對(duì)解題中的（思維、變形等）障礙進(jìn)行突破，甚至給出創(chuàng)造性的解題方案.

（二）“一題多解”的教學(xué)誤區(qū)

“一題多解”中度的把握尤為關(guān)鍵，否則就會(huì)出現(xiàn)過猶不及.如知識(shí)的堆積導(dǎo)致學(xué)生張冠李戴，方法的泛濫導(dǎo)致學(xué)生無所適從，課堂的活躍異化為個(gè)人表演，常規(guī)的解法演變?yōu)樘厥饧记?，解答的到位脫離學(xué)生實(shí)際，解法的充斥壓縮探索交流空間，解題的失敗導(dǎo)致學(xué)生彷徨倦怠.

（三）“一題多解”的實(shí)施

1.“一題多解”要選擇典型問題

問題是知識(shí)和方法的載體，解題也絕不僅是得到問題答案.并不是所有的問題都適合開展“一題多解”教學(xué)，在上課前一定要深思熟慮，盡可能選擇體現(xiàn)核心知識(shí)、方法及其本質(zhì)內(nèi)容的問題.通過這些內(nèi)涵豐富，學(xué)生切入容易而做對(duì)（好）難的問題，利用“一題多解”復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)，獲得解題方法技能，領(lǐng)悟內(nèi)容本質(zhì).案例載體為直線和圓的位置關(guān)系，學(xué)生入手容易，解法均體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”，這是解析幾何的基本思想方法.從教學(xué)目標(biāo)看，本節(jié)課更關(guān)注例題的表現(xiàn)形式（外殼）及涉及的數(shù)學(xué)思想，本題作為“集合思想在解析幾何中的運(yùn)用”還是可行的，放在“解析幾何初步”更為合適.

2.“一題多解”要體現(xiàn)知識(shí)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)知識(shí)相互交錯(cuò)，具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，如函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系.圓是特殊的圓錐曲線，具有超強(qiáng)的對(duì)稱性，弦長問題可用特性來解決，教師在教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注共性和特性.如何刻畫AC⊥ BC？從不同視角切入就能得到不同的解法.

3.“一題多解”要蘊(yùn)含思想方法

數(shù)學(xué)思想方法，作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍適合的方法，是把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)能力有機(jī)地聯(lián)系起來，提高個(gè)體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，是發(fā)展智力的關(guān)鍵所在，是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的基礎(chǔ)，更是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一.很多問題不是做不到，而是想不到，化歸與轉(zhuǎn)化是最重要的思想方法，解法3起到四兩撥千斤的效果.

4.“一題多解”要注重通性通法和解法的獲取

條條大道通羅馬.不管有多少種方法，解題時(shí)只需要一種合理高效的方法.教學(xué)不應(yīng)是解法的列舉和灌輸，而應(yīng)通過審題確定切入點(diǎn)和解題方案，展示解題方法的調(diào)整過程.教學(xué)時(shí)要注重對(duì)通性通法的滲透與講解，如解法1、解法2、解法3.要清楚解法的使用（數(shù)學(xué)）對(duì)象及學(xué)生理解的難度，畢竟巧妙的方法往往不具有普遍性；對(duì)于顯而易見的方法和“新奇”的技巧，可針對(duì)不同學(xué)生群體單獨(dú)輔導(dǎo)，如解法5.在對(duì)解法多角度對(duì)比與優(yōu)化中發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知能力，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).

5.“一題多解”要相機(jī)而動(dòng)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)什么，學(xué)多少，怎么學(xué)？取決于學(xué)情.我們要研透學(xué)生，不能“失位”或“越位”.不少經(jīng)典問題的多解可審時(shí)度勢分而治之，將它們分解到不同的學(xué)習(xí)階段，作為基本解法強(qiáng)化，到復(fù)習(xí)時(shí)再組成網(wǎng)絡(luò)，并快速融入學(xué)生的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)從量變到質(zhì)變，因此應(yīng)在新授課階段訓(xùn)練單一的解法，在后繼學(xué)習(xí)階段逐步滲透技巧，在復(fù)習(xí)或試卷講評(píng)時(shí)以專題形式融入綜合性解法.作為一輪（集合運(yùn)算）復(fù)習(xí)課，解法5的難度較大，脫離了學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知.“不憤不啟，不悱不發(fā)”（孔子《論語·述而》），在學(xué)生思維受阻或興奮時(shí)開展適合學(xué)生的“一題多解”，合理把握思維的發(fā)散（放）與聚合（收），優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

6.“一題多解”要深化探究和總結(jié)提升

教學(xué)表明：學(xué)生積極探求多種思路解決一道題遠(yuǎn)比老師灌輸性地介紹一道題的多種解法更具積極意義.通過調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，使學(xué)生之間相互啟發(fā)，帶來共同發(fā)展提高的“連鎖反應(yīng)”.如案例中“有沒有其他方法？”范圍過大、指向不明，屬于無效提問；“可嘗試先垂直后相交”等過于聚焦，抑制學(xué)生思維的發(fā)散，為粉飾的“高級(jí)”灌輸行為.解法往往是具體的、瑣碎的，如果嘗試反思：是否還有更為簡捷的方法，或者原本的方法中是否存在著某種迂回可以進(jìn)一步簡化？各種解法之間的區(qū)別和聯(lián)系如何？通過總結(jié)提煉，找出差異，深化認(rèn)識(shí)，提升能力.解法5中的θ具有任意性，直線AC、BC構(gòu)成以C為支點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的（半）十字架，將學(xué)生思維從感性推向邏輯.

“一題多解”的目的是循序漸進(jìn)地尋求最簡捷有效的解題方法，不是教學(xué)的最終目標(biāo)，也不能作為教學(xué)的普遍原則.課堂的主角是學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是教學(xué)的主要目標(biāo)，因此對(duì)各種解法進(jìn)行比較、反思，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，找到其本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)才是教與學(xué)的根本目的.

1.王千.如何認(rèn)識(shí)一題多解的教育功能［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（9）.

2.錢佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

3.陶晶.“收”“放”自如的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（7）.