☉安徽省全椒中學(xué) 胡宗興

尋常之中透著不尋常
——對(duì)高中導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題的思考

☉安徽省全椒中學(xué) 胡宗興

對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)涉及求參數(shù)范圍，常常需要對(duì)變量分離并將其轉(zhuǎn)化為以下兩個(gè)思路進(jìn)行求解.

思路1：若m≥f（x）在x∈D上恒成立，則m≥f（x）max.

思路2：若m≤f（x）在x∈D上恒成立，則m≤f（x）min.

可見利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是不等式恒成立問(wèn)題的一種重要的應(yīng)用，［1］但是在解題中經(jīng)常被解題人忽視，筆者由課堂上一個(gè)學(xué)生的提問(wèn)，引起筆者對(duì)近幾年導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題重新思考.

例1（2013年新課標(biāo)I卷21題）已知函數(shù)f（x）=x2+ ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.

解析：（I）略.

（Ⅱ）由（Ι）知a=4，b=2，c=2，d=2，所以f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）.設(shè)F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2（x≥-2），則F′（x）=2kex（x+2）-2x-4=2（x+2）（kex-1）.由題設(shè)可得F（0）≥0，即k≥1.

①若1≤k＜e2，則-2＜x1≤0.所以當(dāng)x∈（-2，x1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0.即F（x）在（-2，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，故F（x）在x=x1時(shí)取得最小值，即

所以當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

②若k=e2，F(xiàn)′（x）=2e2（x+2）（ex-e2）.所以當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.又F（-2）=0，故當(dāng)x≥-2時(shí)，F(xiàn)（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

③若k＞e2，則F（-2）=-2ke-2+2=-2e-2（k-e2）＜0.所以當(dāng)x≥-2時(shí)，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.綜上，k的取值范圍是［1，e2］.

說(shuō)明：此解法是標(biāo)準(zhǔn)答案給出的解法，屬于構(gòu)造法，學(xué)生也易想，但是對(duì)于“由題設(shè)可得F（0）≥0，即k≥1”這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生都認(rèn)為考慮不到，以致問(wèn)題無(wú)法進(jìn)行，于是在課堂上，筆者提出這是怎么想出來(lái)的呢？緊接著就有一位同學(xué)提出想法：“可否分離參數(shù)”，筆者當(dāng)時(shí)也沒(méi)有在意，隨口說(shuō)了句“可以試試”，心想“答案給出是用構(gòu)造法取特殊值肯定有它獨(dú)到的地方，但是既然學(xué)生提出來(lái)，又不可回避，怎么辦？”于是筆者決定在課堂上和學(xué)生一起從恒成立角度去解決，解答過(guò)程如下.

另解：（Ⅱ）由（Ι）知a=4，b=2，c=2，d=2，所以f（x）=x2+ 4x+2，g（x）=2ex（x+1）.所以f（x）≤kg（x）?2kex（x+1）≥x2+ 4x+2（x≥-2）.

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，y=h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，y=h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

所以h（x）≤h（0）=1，即k≥1.

②當(dāng)x=-1時(shí)，0≥-1，k∈R.

所以當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)，h′（x）＞0，y=h（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，所以解得k≤e2.

綜上：1≤k≤e2.

在筆者和學(xué)生一起推理完時(shí)，教室里頓時(shí)響起了掌聲，都認(rèn)為此解法符合學(xué)生的認(rèn)知，且易于接受，于是筆者將其整理出來(lái)以供參考，無(wú)獨(dú)有偶，筆者在教學(xué)時(shí)又遇到一道類似的模擬題.

（Ι）如果存在x1，x2∈［0，2］，使得g（x1）-g（x2）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M.

解析：（Ι）存在x1，x2∈［0，2］，使得g（x1）-g（x2）≥M?x1，x2∈［0，2］，［g（x1）-g（x2）］max≥M.

因?yàn)間′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，y=g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，y=g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增.

所以g（x）max=max｛g（0），g（2）｝=g（2）=1，g（x）min=g（1）=-2.所以［g（x1）-g（x2）］max=g（x）max-g（x）min=3，即M=3.

所以當(dāng)a≥2時(shí)，原不等式成立，故a≥2.

所以a≥h（1）=2.

總結(jié)：以上兩題都是筆者在教學(xué)中，對(duì)區(qū)間內(nèi)取特殊值問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)加以解決，其實(shí)在每年的高考中，都會(huì)有這樣的例子，例如在2014年的高考試卷中又見此類型問(wèn)題，詳見如下.

例3（2014年陜西卷21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（Ι）令g1（x）=g（x），gn+2（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達(dá)式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（Ι）略.

另解：（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）在［0，+∞）上恒成立，所恒成立.當(dāng)x=0時(shí)，滿足上式，所以a∈R.當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立.令h（x）=

筆者認(rèn)為在高三正常的課堂教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注教師的“給”，更需關(guān)注學(xué)生的“得”，要給機(jī)會(huì)讓學(xué)生大膽的講，老師充當(dāng)引導(dǎo)者、合作者、探究者的角色，也許學(xué)生一個(gè)不經(jīng)意的提問(wèn)便會(huì)引起一個(gè)深刻的問(wèn)題.同樣在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生不僅要關(guān)注技巧，更應(yīng)掌握通法、通解，這是提高課堂教學(xué)有效性的必備要素.