☉浙江省舟山南海實(shí)驗(yàn)初中 張宏政

整體設(shè)計(jì)、自主探究、拓展思維
——等腰三角形概念及性質(zhì)探究的教學(xué)實(shí)錄與說(shuō)明

☉浙江省舟山南海實(shí)驗(yàn)初中 張宏政

2014年9月25日，學(xué)校教研組要筆者開(kāi)設(shè)一堂組內(nèi)觀摩課，借此來(lái)一起研究“學(xué)為中心”理念下數(shù)學(xué)課堂的組織形態(tài)問(wèn)題.按照教學(xué)進(jìn)度是上浙教版八上教材第二章特殊三角形中第2節(jié)等腰三角形的概念.但筆者在仔細(xì)研讀教材后，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重組設(shè)計(jì)，并取得了較好的課堂教學(xué)效果.現(xiàn)將它整理出來(lái)，以饗讀者，也歡迎廣大同仁批評(píng)指正.

一、目標(biāo)定位與學(xué)情分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)分類(lèi)理解等腰三角形的概念，并能正確識(shí)別；

（2）探索并證明等腰三角形的性質(zhì)；

（3）應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的幾何證明問(wèn)題.

2.教學(xué)重點(diǎn)

等腰三角形的概念與性質(zhì)探索是本節(jié)課的重點(diǎn)，其中性質(zhì)證明是本節(jié)課的難點(diǎn).

3.學(xué)情分析

筆者任教的八（1）班是年段10個(gè)平行班中的1個(gè).我校從2002年開(kāi)始就對(duì)八、九年級(jí)施行數(shù)學(xué)、科學(xué)間的A、B班分層教學(xué).本次開(kāi)課的是八（1）班的A班25名學(xué)生，七年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)年段平均分為85.88分，八（1）班的平均分為87.56分，而A班學(xué)生的平均分為92.84分.一年多來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與熏陶，這些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣普遍濃厚，思維活躍，學(xué)習(xí)能力也較強(qiáng)，同時(shí)，對(duì)幾何的整體框架與基本研究思路已有了初步的了解，小學(xué)里對(duì)等腰三角形的知識(shí)也有所涉及，這就為筆者整合教材提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、課堂實(shí)錄

1.開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直指概念

（請(qǐng)學(xué)生朗讀）定義、性質(zhì)、判定——幾何研究的三個(gè)內(nèi)容；觀察、猜想、論證——幾何學(xué)習(xí)的基本途徑.

師：大家都知道，幾何是一門(mén)直觀與邏輯相結(jié)合的學(xué)科.下面就讓我們從觀察開(kāi)始進(jìn)入到今天的學(xué)習(xí)之中（出示圖1與問(wèn)題）.

圖1

觀察圖1中的6個(gè)三角形，你認(rèn)為是否存在特殊的三角形.若存在，是哪幾個(gè)？特殊在什么地方？

生1：我認(rèn)為②③⑥是一類(lèi)，它們都有兩條邊相等；⑤也是一類(lèi)，它的三邊相等.

師：大家都同意他的觀點(diǎn)嗎？

生2：三邊相等其實(shí)也可以包含在兩邊相等之內(nèi)，所以②③⑤⑥都可以算一類(lèi).

師（看到個(gè)別學(xué)生還有一點(diǎn)疑惑）：哦，看來(lái)個(gè)別學(xué)生還有疑惑.舉個(gè)例子吧，今天有很多老師來(lái)聽(tīng)課，那么聽(tīng)課的女老師是老師嗎？

生眾：那當(dāng)然是的.

師：所以，三邊都相等的三角形包含在兩邊相等的三角形中.好，為了研究方便，請(qǐng)給這一類(lèi)三角形取個(gè)名字，并且下一個(gè)定義吧.

生眾：叫等腰三角形吧.它的定義是：至少有兩邊相等的三角形叫等腰三角形.

師：非常好，這樣三角形按邊分類(lèi)就是：

下面我們來(lái)了解等腰三角形的一些概念（PPT呈現(xiàn)）.

如圖2所示，已知△ABC中，AB=AC，則△ABC就是等腰三角形.

等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊.

兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.

圖2

師：大家是否理解了這些概念呢？讓我們從問(wèn)題解決中來(lái)證實(shí).

做一做：

（1）如圖3，點(diǎn)D在AC上，AB=AC，AD= BD.你能在圖中找到幾個(gè)等腰三角形？說(shuō)出每個(gè)等腰三角形的腰、底邊和頂角.

生3：有兩個(gè)，分別是△ABC與△ABD.△ABC的腰是AB和AC，底邊是BC，頂角是∠A；△ABD的腰是AD和BD，底邊是AB，頂角是∠ADB.

圖3

師：這位同學(xué)回答得怎樣？別的同學(xué)是否有異議.生眾：回答正確.

師：同學(xué)們理解得都很好，圖中的△BDC并沒(méi)有條件支撐，故不能想當(dāng)然地認(rèn)為它也是等腰三角形.請(qǐng)看第（2）題.

（2）已知等腰三角形一邊的長(zhǎng)為3，另一邊的長(zhǎng)為5，求它的周長(zhǎng).

生4：若腰長(zhǎng)為3，則底邊長(zhǎng)為5，于是周長(zhǎng)=3+3+5= 11；若腰長(zhǎng)為5，則底邊長(zhǎng)為3，于是周長(zhǎng)=5+5+3=13.

師：哦，懂得用分類(lèi)討論來(lái)解決問(wèn)題，非常不錯(cuò).那把題目變一變又如何呢？

（3）已知等腰三角形一邊的長(zhǎng)為3，另一邊的長(zhǎng)為7，則它的周長(zhǎng)又為多少？

生5：周長(zhǎng)為17.當(dāng)三邊為7，7，3時(shí)，周長(zhǎng)為17；當(dāng)三條線段長(zhǎng)分別為3，3，7時(shí)，因?yàn)?+3＜7，所以不能組成三角形.

師：看來(lái)，就算是同種類(lèi)型的問(wèn)題，也要充分考慮條件不同所帶來(lái)的變化.下面就讓我們一起來(lái)研究等腰三角形的性質(zhì)吧.

2.操作實(shí)踐，自主探究

猜想、驗(yàn)證、證明：

如圖4，已知△ABC中，AB=AC.

（1）通過(guò)觀察，你認(rèn)為等腰三角形有哪些性質(zhì)？

生眾：∠B=∠C.（師板書(shū)：猜想∠B=∠C）

（2）請(qǐng)你通過(guò)操作驗(yàn)證你的猜想.

圖4

（3）由操作方法，你是否想到了證明的思路？請(qǐng)你完成證明.

給每個(gè)小組發(fā)兩張全等的等腰△ABC紙片，操作前提示學(xué)生：若用一張紙片如何驗(yàn)證，用兩張紙片又該如何驗(yàn)證？約7分鐘后，小組代表匯報(bào).

生6：用一張紙片，可以通過(guò)對(duì)折驗(yàn)證.若用兩張紙片，可以把第一個(gè)三角形的∠B與第二個(gè)三角形的∠C重疊在一起驗(yàn)證.

師：那你們組是如何證明的呢？

生6：如圖5，作∠A的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.又因?yàn)锳B=AC，AD=AD，故△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C.如圖6，因?yàn)锳B=AC，AC=AB，BC=CB，所以△ABC≌△ACB，所以∠B=∠C.

圖5

圖6

生7（補(bǔ)充道）：也可以用SAS證明，因?yàn)檫€有∠A=∠A.

師：很不錯(cuò)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化.兩種方法都是把證明角相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明全等三角形的問(wèn)題，可謂殊途同歸.但第一種是把三角形分割成一對(duì)全等三角形，第二種則是無(wú)中生有，復(fù)制出一對(duì)全等三角形，真是條條大道通羅馬啊.那么，通過(guò)第一種證明還能得到哪些副產(chǎn)品？

生8：因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，所以等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高線與中線互相重合.

生9：因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以等腰三角形還是軸對(duì)稱圖形，角平分線AD所在直線是它的對(duì)稱軸.

師：非常好，這樣我們就從邊、角、重要線段、整體這四個(gè)視角分別詮釋了等腰三角形的定義與性質(zhì)（板書(shū)……）.下面我們把這些性質(zhì)來(lái)鞏固一下.

3.鞏固新知，內(nèi)化方法

用一用：

如圖7，已知△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：DE=DF.

生10：因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以BD=CD.又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠DFC=90°，所以△BED≌△CFD，所以DE=DF.

師：利用性質(zhì)來(lái)證明全等，思路很清晰，掌聲鼓勵(lì)一下.還有不同方法嗎？

圖7

生11：如圖8，連接AD，因?yàn)锳B= AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD平分∠BAC.又因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

圖8

師：由距離相等聯(lián)想角平分線性質(zhì)，進(jìn)而聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，真不錯(cuò).看來(lái)，思路決定出路啊.還有不同的方法嗎，由兩條高線你還能聯(lián)想到什么？

生12：如圖8，連接AD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以S=S.因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以AB·DE=AC·

△ABD△ACDDF.因?yàn)锳B=AC，所以DE=DF.

師：面積法在幾何證明中有時(shí)會(huì)有很大用處，值得同學(xué)們好好品味.同時(shí)也告訴我們，具備良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)是多么的重要.下面讓我們來(lái)練一練.

（1）如圖9，已知AB=AC，BD=CD，求證：①∠ABD=∠ACD；②AD⊥BC.

生13：①因?yàn)锳B=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD，所以∠ABD=∠ACD.

圖9

②因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以∠BAD=∠CAD.因?yàn)锳B=AC，所以AD⊥BC.

師：還有不同方法嗎？

生14：①的證明還可以由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，由BD=CD得到∠ABD=∠ACD，再分別相減得到∠ABD=∠ACD，從而問(wèn)題得證.

師：從上面的證明分析，大家已經(jīng)明白了證明邊（角）相等的方法，既可以考慮兩個(gè)三角形全等，也可以考慮用同一個(gè)三角形等邊對(duì)等角的方法，關(guān)鍵是要認(rèn)真分析題中的條件.讓我們?cè)倏聪旅娴膯?wèn)題.

（2）如圖10，已知△ABC中，AB= AC，BD、CE分別為AC、AB邊上的高線，求證：BD=CE.

生15：因?yàn)锽D、CE分別為AC、AB邊上的高線，所以∠AEC=∠ADB= 90°.又因?yàn)锳B=AC，∠A=∠A，所以△AEC≌△ADB，故BD=CE.

圖10

師：能用△BEC≌△CDB來(lái)證明嗎？

生15（思考片刻后）：可以的，因?yàn)椤螧EC=∠CDB= 90°，BC=CB，由AB=AC可得到∠ABC=∠ACB.

師：看來(lái)大家對(duì)全等的證明方法理解得非常好，還有不同方法嗎？

△ABCAC·BD，又AB=AC，所以BD=CD.

師：哦，如此說(shuō)來(lái)，面積法也應(yīng)該成為求證線段相等的基本方法，大家同意吧.同時(shí)，同學(xué)們平時(shí)在解題的過(guò)程中不應(yīng)該僅僅滿足于完成任務(wù)，而應(yīng)該通過(guò)解題來(lái)優(yōu)化思維，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提煉方法.下面大家就來(lái)一起歸納一下本課學(xué)習(xí)的知識(shí)與方法吧……（余略）

三、對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)踐的思考

1.對(duì)教材內(nèi)容重組的認(rèn)識(shí)

先讓我們看看教材的安排，等腰三角形從概念到性質(zhì)共設(shè)計(jì)3個(gè)課時(shí)進(jìn)行探索，其中第1課時(shí)是了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性（基于操作基礎(chǔ)之上的感性認(rèn)識(shí)）并應(yīng)用，第2課時(shí)先探究等腰（等邊）三角形角的性質(zhì)，第3課時(shí)再探索等腰三角形的三線合一性質(zhì).同時(shí)，教材對(duì)等腰三角形的概念是通過(guò)“在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)，有兩邊相等的三角形是等腰三角形”這樣一段文字直接給出的，缺少為什么要研究的動(dòng)因，而教材對(duì)性質(zhì)探究的安排，又人為割裂了知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程與相互聯(lián)系，按照這樣的設(shè)計(jì)展開(kāi)教學(xué)，容易讓學(xué)生只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林，難以對(duì)幾何的基本研究套路形成清晰而完整的認(rèn)知.就像欣賞一首優(yōu)美的曲子時(shí)總是在動(dòng)聽(tīng)處嘎然而止，極不自然.于是便有了本課一氣呵成的重組：從若干三角形中尋求特殊（按邊特殊分類(lèi)）→定義等腰三角形（提出課題）→研究性質(zhì)→觀察猜想→驗(yàn)證解釋→分析證明→鞏固運(yùn)用→歸納小結(jié).這樣的設(shè)計(jì)，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，既為后面直角三角形（按角特殊分類(lèi)）的教學(xué)進(jìn)行了鋪墊，也為今后讓學(xué)生自主研究特殊平行四邊形奠定了必要的方法基礎(chǔ).

2.對(duì)等腰三角形性質(zhì)探究及內(nèi)化設(shè)計(jì)的說(shuō)明

本課的教學(xué)重點(diǎn)是等腰三角形性質(zhì)的探究，因此，如何讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)證明思路就是本課的關(guān)鍵事件.事實(shí)上，多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴筆者，第一種證明思路學(xué)生容易想到，而第二種證明思路學(xué)生確實(shí)不容易想到.于是，本設(shè)計(jì)借用了兩張全等的等腰三角形紙片，讓學(xué)生在自主驗(yàn)證猜想的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩種證明的思路，并在后面的方法對(duì)比環(huán)節(jié)讓學(xué)生從思想方法的高度體驗(yàn)兩種證明思路的本質(zhì)是一致的.值得一提的是，這樣的設(shè)計(jì)是可行也是有效的，學(xué)生在后面探究勾股定理逆定理的時(shí)候，就比較自然地想到了復(fù)制一個(gè)直角三角形進(jìn)行證明.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維活動(dòng)的教學(xué)，這就要在課堂上給學(xué)生留下充裕的思考時(shí)間.而本課的容量又很大，為克服這對(duì)矛盾，就必須在問(wèn)題的設(shè)計(jì)上做到典型、精煉且解法多樣，能滿足學(xué)生鞏固知識(shí)，領(lǐng)會(huì)方法的目標(biāo).于是筆者僅安排一道內(nèi)涵豐富的例題進(jìn)行鞏固，用兩個(gè)習(xí)題進(jìn)行內(nèi)化.課堂實(shí)踐表明，學(xué)生的思維空前活躍，有效達(dá)成了教學(xué)目標(biāo).

3.對(duì)課堂教學(xué)組織的思考

本課觀摩的初衷是研究“學(xué)為中心”理念下課堂教學(xué)的基本組織形態(tài)，這也是目前課堂教學(xué)變革的熱門(mén)話題.但不可否認(rèn)的是，目前的一些課堂變革存在庸俗化、功利化的傾向.特別是一些不管學(xué)科特點(diǎn)的模式化做法從一個(gè)極端走向了另一個(gè)極端.這里，筆者無(wú)意去評(píng)論這些現(xiàn)象.只是從數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，學(xué)生思維發(fā)展的目標(biāo)思考，我們的數(shù)學(xué)課堂既要不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性，也要有效發(fā)揮教師啟發(fā)、引領(lǐng)的作用；既要重視學(xué)生的獨(dú)立思考，也要給學(xué)生的合作交流、思維碰撞提供機(jī)會(huì).本課的實(shí)踐過(guò)程正是以此為指導(dǎo)思想而展開(kāi)，探究時(shí)放開(kāi)，交流時(shí)等待，介入時(shí)引導(dǎo)，自主時(shí)明確要求.以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展為線索，以學(xué)生鞏固知識(shí)、內(nèi)化方法、體驗(yàn)思想作為教學(xué)的根本與歸宿.正所謂，一節(jié)好課，其深厚之處一定在于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容獨(dú)到的解讀，在于對(duì)學(xué)生精準(zhǔn)的理解，在于對(duì)教育理念的深刻把握.故此，教學(xué)之美一定是在調(diào)動(dòng)教與學(xué)雙方力量的過(guò)程中產(chǎn)生的.它既是規(guī)律之美，也是藝術(shù)之美.

1.義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

2.章建躍.探究數(shù)學(xué)規(guī)律，造就數(shù)學(xué)名師［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（1-2）.

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