馮 志，楊 光，許志樂(lè)，李 娜

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢430070)

平行四邊形刀架機(jī)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)曲軸連桿頸的隨動(dòng)車削［1］，但其存在如下不足之處。①平行四邊形機(jī)構(gòu)具有一個(gè)自由度，因此需要一個(gè)原動(dòng)件，那么當(dāng)平行四邊形機(jī)構(gòu)的四桿處在一條直線上時(shí)，從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)方向不確定［2］;②平行四邊形機(jī)構(gòu)由旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成，由于旋轉(zhuǎn)副間隙的存在，刀架連桿將沿水平方向“躥動(dòng)”，從而導(dǎo)致“扎刀”現(xiàn)象［3］。通過(guò)對(duì)平行四邊形機(jī)構(gòu)的變形可以彌補(bǔ)上述不足，并分析新機(jī)構(gòu)中各桿件的桿長(zhǎng)精度對(duì)機(jī)構(gòu)位置的影響。

1 含移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)

為解決平行四邊形機(jī)構(gòu)的不足，在平行四邊形機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)上演化出含一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)是由移動(dòng)副和旋轉(zhuǎn)副聯(lián)接而成的五桿機(jī)構(gòu)［4］，如圖1 所示，滑塊4 長(zhǎng)度為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，D的軌跡變?yōu)橹本€，而D處的旋轉(zhuǎn)副變?yōu)橐苿?dòng)副。

由于帶移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的剛度與桿長(zhǎng)精度是相互獨(dú)立的，不存在耦合問(wèn)題［5］，因此，暫不考慮連接副的精度問(wèn)題，獨(dú)立地分析各個(gè)桿件的桿長(zhǎng)精度對(duì)連架桿2 上尖點(diǎn)M點(diǎn)位置誤差的影響。

2 誤差分析理論

實(shí)際工程的機(jī)構(gòu)中均會(huì)存在測(cè)量誤差、加工制造誤差及裝配誤差等，而機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于各種阻力的存在亦會(huì)產(chǎn)生一定的變形。以上靜態(tài)與動(dòng)態(tài)因素綜合改變著機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，使得實(shí)際機(jī)構(gòu)與理想機(jī)構(gòu)之間存在差別，該差別即為機(jī)構(gòu)誤差［6］。從動(dòng)件的位置參數(shù)φk可由機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)表示，其表達(dá)式為：

可簡(jiǎn)寫為：

式中：m為機(jī)構(gòu)自由度;ln為構(gòu)件尺寸參數(shù);φk為從動(dòng)件k的位置參數(shù);θi為第i個(gè)廣義坐標(biāo);lj為第j個(gè)尺寸參數(shù)值;Xr(r=1，2，…，n)為(θi，lj)的縮寫。

由于加工制造、裝配等影響因素，實(shí)際機(jī)構(gòu)中不可避免存在誤差，當(dāng)從動(dòng)件存在誤差ΔXr時(shí)，上式可變形為：

圖1 五桿機(jī)構(gòu)模型

假定誤差ΔXr相互獨(dú)立，因此將式(1)在X=Xr處按照泰勒級(jí)數(shù)展開，由于ΔXr對(duì)于Xr來(lái)說(shuō)是很小的，因此二階及以上階數(shù)的微分部分忽略不計(jì)，展開后可得：

式中：φk為從動(dòng)件k的實(shí)際位置;φk(Xr)為從動(dòng)件k的理想位置，從而得到從動(dòng)件k的位置誤差為：

3 誤差計(jì)算與分析

3.1 誤差計(jì)算

含一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)的自由度為2，因此需要兩個(gè)主動(dòng)件即連架桿1 和連架桿3 為主動(dòng)件。這里需要兩連架桿的初始相位和轉(zhuǎn)速都相同，可以利用差速輪系做到這點(diǎn)，類似于最基本的同向等角速平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)［8］，即θ1=θ3。由于只考慮桿長(zhǎng)精度誤差對(duì)機(jī)構(gòu)中尖點(diǎn)M的位置誤差的影響，因此，θ1=θ3且為準(zhǔn)確值。L為BM長(zhǎng)度值，L1為AB長(zhǎng)度值，L2為BC長(zhǎng)度值，L3為CD長(zhǎng)度值。計(jì)算過(guò)程如下：

由圖1 可知，坐標(biāo)原點(diǎn)A到連桿上點(diǎn)M(xM，yM)的向量為：

將式(4)寫成分量形式：

根據(jù)微分定理可知，dxM≈ΔxM;dyM≈ΔyM;dLi≈ΔLi;dθi≈Δθi。將式(5)兩邊微分并結(jié)合微分定理，可得：

根據(jù)四邊形ABCD的矢量封閉，可得：

可變形為：)

在此需要四邊形ABCD為平行四邊形，故θ2為微量，即sin θ2≈θ2，cos θ2≈1，因此，式(7)可變形為：

將式(8)兩邊微分，可得：

將式(9)代入式(6)中，即可得到機(jī)構(gòu)M點(diǎn)處的位置誤差。根據(jù)式(5)可知，在理想的情況下，θ2應(yīng)為零，進(jìn)而尖點(diǎn)M的理想位置為以點(diǎn)(-L，0)為圓心，以L1為半徑的圓。綜上，在只考慮桿長(zhǎng)精度影響的情況下，相對(duì)于連架桿1 和連架桿2 的桿長(zhǎng)精度而言，連架桿3 的桿長(zhǎng)精度對(duì)尖點(diǎn)M的位置誤差影響更小。在式(6)中，因?yàn)棣?為準(zhǔn)確值，所以可以判斷連架桿1 的加工精度對(duì)連架桿2 上M點(diǎn)的位置誤差影響最大。

3.2 Matlab 仿真計(jì)算分析

筆者分4 種情況進(jìn)行仿真計(jì)算。

(1)各桿件加工精度全部取7 級(jí)精度，尺寸為：L1= 60.5 ± 0.015，ΔL1= 0.03;L2= 600 ±0.035，ΔL2=0.07;L3=60 ±0.015，ΔL3=0.03;L=250±0.025，ΔL=0.05，計(jì)算結(jié)果如圖2 所示。

圖2 各桿件為7 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

圖2 結(jié)果顯示，尖點(diǎn)M水平方向的位置誤差在-0.08 ～-0.02 之間波動(dòng)，而垂直方向的位置誤差在-0.03 ～0.03 之間波動(dòng)。

(2)桿件1 取8 級(jí)精度，其余取7 級(jí)精度，尺寸為：L1=60.5 ±0.023，ΔL1=0.047;其余尺寸與情況(1)相同，計(jì)算結(jié)果如圖3 所示。圖3 顯示，尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差約在-0.10 ～0 之間波動(dòng)，而垂直方向的位置誤差約在-0.045 ～0.045之間波動(dòng)。

(3)桿件2 取8 級(jí)精度，其余取7 級(jí)精度，尺寸為：L2=600 ±0.11，ΔL2=0.22;其余尺寸與情況(1)相同，計(jì)算結(jié)果如圖4 所示，結(jié)果與情況(1)接近。

圖3 桿1 為8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

圖4 桿2 為8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

(4)BM段的桿長(zhǎng)L取8 級(jí)精度，其余取7 級(jí)精度，尺寸為：L=250 ±0.04 ，ΔL=0.08，其余尺寸與情況(1)相同，計(jì)算結(jié)果如圖5 所示。

圖5 BM 段8 級(jí)精度計(jì)算結(jié)果

圖5 結(jié)果顯示，尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差約在-0.11 ～-0.05 之間波動(dòng)，而垂直方向的位置誤差約在-0.03 ～0.03 之間波動(dòng)。

比較圖2 與圖3 可知，連架桿1 的桿長(zhǎng)精度降一個(gè)等級(jí)，即變?yōu)? 級(jí)時(shí)，尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差由-0.08 ～-0.02 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.10 ～0 之間波動(dòng)，而尖點(diǎn)M的垂直方向的位置誤差由-0.03 ～0.03 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.045 ～0.045 之間波動(dòng)。由此可見，連架桿1的桿長(zhǎng)精度對(duì)尖點(diǎn)M的位置誤差影響很大。

比較圖2 與圖4 可知，連架桿2 的桿長(zhǎng)精度降一個(gè)等級(jí)，即變?yōu)? 級(jí)時(shí)，尖點(diǎn)M的水平方向和垂直方向的位置誤差均與連架桿2 的桿長(zhǎng)精度為7 級(jí)時(shí)的位置誤差很接近，因此，適當(dāng)降低連架桿2 的桿長(zhǎng)精度對(duì)誤差影響不大。連架桿3 的桿長(zhǎng)精度對(duì)尖點(diǎn)M的位置誤差的影響比連架桿2的桿長(zhǎng)精度對(duì)尖點(diǎn)M的位置誤差的影響更小。

比較圖2 與圖5 可知，BM段桿長(zhǎng)L的精度降為8 級(jí)時(shí)，尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差由-0.08 ～-0.02 之間波動(dòng)變?yōu)榧s在-0.11 ～-0.05 之間波動(dòng)，而尖點(diǎn)M的垂直方向的位置誤差依然約在-0.03 ～0.03 之間波動(dòng)，可以看出，BM段桿長(zhǎng)L的桿長(zhǎng)精度對(duì)尖點(diǎn)M的水平方向的位置誤差影響較大。

4 結(jié)論

構(gòu)建機(jī)構(gòu)位置方程組后，利用全微分法對(duì)其求全微分可以直接得到機(jī)構(gòu)位置誤差方程組［9］，因此利用全微分法對(duì)含有一個(gè)移動(dòng)副的五桿機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)誤差導(dǎo)致的機(jī)構(gòu)誤差進(jìn)行計(jì)算，而借助Matlab 軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力［10］，將尖點(diǎn)M的位置誤差隨著曲柄變化顯示出來(lái)，即連架桿1的旋轉(zhuǎn)而變化的具體數(shù)據(jù)可視化，有助于更加科學(xué)地分析出兩者之間的關(guān)系，為以后的工作提供科學(xué)的指導(dǎo)。

［1］楊光，王三武，黃繼雄，等.曲軸外圓切削加工方法：中國(guó)，CN200810046773.8［P］.2008 -07 -16.

［2］孫恒，陳作模.機(jī)械原理［M］.北京：高等教育出版社，2000：100 -134.

［3］李輝鵬，楊光，薛利峰，等.實(shí)現(xiàn)曲軸隨動(dòng)車削的刀架機(jī)構(gòu)分析［J］. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，34(5)：127 -128.

［4］盧迪.可調(diào)曲柄長(zhǎng)度圓度平動(dòng)刀架的研究及精度分析［D］.武漢：武漢理工大學(xué)圖書館，2013.

［5］薛利峰.基于齒輪-連桿組合機(jī)構(gòu)的曲軸復(fù)合車削刀架系統(tǒng)研究［D］. 武漢：武漢理工大學(xué)圖書館，2012.

［6］鄒蕾.曲軸復(fù)合車削工藝試驗(yàn)裝置誤差因素分析與研究［D］.武漢：武漢理工大學(xué)圖書館，2011.

［7］吳石林.誤差分析與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2010：54 -55.

［8］王忠.平行四邊形機(jī)構(gòu)的拓展及其應(yīng)用［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2005，22(12)：57 -58.

［9］閔學(xué)習(xí)，賈育秦.齒輪五桿機(jī)構(gòu)位置誤差分析［J］.機(jī)械工程師，2011(9)：36 -37.

［10］周建興. Matlab 從入門到精通［M］. 北京：人民郵電出版社，2012：152 -157.