李偉榮

2014年年末，吳正憲老師來(lái)哈爾濱市執(zhí)教了一節(jié)“商不變的性質(zhì)”一課。在本次教學(xué)中，吳老師沒(méi)有囿于規(guī)律的完整呈現(xiàn)，而是著力于讓學(xué)生經(jīng)歷建模的全過(guò)程。這節(jié)教學(xué)的高明之處不在于課堂教學(xué)是否完美，而在于教師“謀學(xué)而教”“順學(xué)而導(dǎo)”的教學(xué)細(xì)節(jié)、教學(xué)智慧的彰顯，在于對(duì)生本課堂的詮釋與實(shí)踐。

一、 激發(fā)參與，“經(jīng)歷”必不可少

教學(xué)場(chǎng)景再現(xiàn)：

師：今天吳老師和大家一起來(lái)學(xué)數(shù)學(xué)，這節(jié)課我們研究什么樣的話題呢？

生：商不變的規(guī)律。（學(xué)生看著屏幕上的課題回答。）

師：聽(tīng)說(shuō)過(guò)它嗎？（學(xué)生自由回答后。）有聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，有沒(méi)聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，不要緊，有什么問(wèn)題嗎？

生1：商為什么不變？

生2： 商不變有什么規(guī)律？

生3：商在什么情況下才能不變呢？

師：真好！你們剛才發(fā)問(wèn)的這些問(wèn)題都是這節(jié)課我們要研究的問(wèn)題。商為什么不變？它怎么就不變了？中間有什么樣的秘密和規(guī)律？這正是我們期待，我們就一起走近它，好吧？（邊小結(jié)邊在黑板上寫下三個(gè)問(wèn)號(hào)。）

師：我想請(qǐng)一個(gè)同學(xué)幫我記幾個(gè)式子。你寫式子的時(shí)候?qū)懘笮?，后面的同學(xué)和老師就看到了。我們的課就從這個(gè)故事開(kāi)始。（教師繪聲繪色講述花果山猴王分桃子的故事：6個(gè)桃子3個(gè)猴子分；60個(gè)桃子30個(gè)猴子分，600個(gè)桃子300個(gè)猴子分。黑板上的同學(xué)用算式進(jìn)行記錄，學(xué)生不由得笑了。）同學(xué)們笑了，小猴子笑了，老猴子也笑了，笑聲過(guò)后總得有思考，我的問(wèn)題是：誰(shuí)的笑是聰明的一笑？為什么？

生：這些式子的商都是2。我們的笑是聰明的一笑。

師：猴王也是勝者呢！

生：對(duì)啊，不管怎樣分都是2個(gè)。猴王就這樣把小猴子耍了。

師：（微笑）在這組題中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：結(jié)果都是2。

師：結(jié)果在除法里有自己的名字叫——商。這道題的商是2，這道題的商也是2，那道題的商依然是2。（引答。）

師：我們就在思考：商不變是什么使然呢？被除數(shù)你怎么變，除數(shù)你又怎么變，商就不變呢？要想研究這樣的一個(gè)規(guī)律，恐怕一組題——

生：有點(diǎn)不行，有特殊性。

師：再看一組（出示一次函數(shù)圖像），你看到了什么？

生1：2、4、6、8只；10元、20元、30元、40元。

生2：我還看到了很多格子，像統(tǒng)計(jì)圖一樣。

生3：我還看到線條了。

師：這都是外衣，誰(shuí)還看到這里有故事？

生4：我看到了買筆的事兒，2支筆10元錢，4支筆20元錢， 6支筆30元錢， 8支筆40元錢。

師：是你吧（撫摸著生1），你看到的是數(shù)和箭頭，而這位同學(xué)在這里看到了買筆的故事，2支筆要10元錢，4支筆要20元錢，伸出手，一起感受一下：買6支筆要30元錢，買8支筆要——

生：買的筆越多，需要的錢數(shù)就越多，買的筆越少，錢數(shù)就越少?。ㄟ呎f(shuō)邊做手勢(shì)。）

師：我喜歡你用體態(tài)語(yǔ)表達(dá)自己的理解。他跟你們只看到箭頭的人不一樣，他發(fā)現(xiàn)這兩組數(shù)之間有點(diǎn)——

生1：故事。

生2：有聯(lián)系。

師：你還發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我還發(fā)現(xiàn)每支筆都是5元，因?yàn)?0÷2=5元，20÷4=5元，30÷6=5元，40÷8=5元。（一生在黑板上記錄上述算式。）

師：總有一些與眾不同的人。這個(gè)女同學(xué)深刻，她睜開(kāi)數(shù)學(xué)的眼睛看到了圖里沒(méi)有的事兒，那個(gè)5在哪兒呢？

生1：5是用除法算出來(lái)的。

生2： 5是商。

師：我想用一條斜線把它們連在一起，商5都落在哪里呢？

生3 ：斜線上。

師：我要買100支筆，這個(gè)點(diǎn)還落在斜線上嗎？

10 000只呢？

生：還在斜線上。

師：每支筆還是5元，單價(jià)是沒(méi)有發(fā)生改變的。單價(jià)就是商。但是數(shù)量和用的錢數(shù)呢？

生：買的數(shù)量越多錢就越多，買的數(shù)量越少錢就越少，但單價(jià)不變，都是5。

師：謝謝你。我們又寫出了一組算式。這樣一組商不變。這樣一組商又不變。（指著板書中的兩組算式） 選一組獨(dú)立思考，被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生了怎樣的變化商不變？把你的發(fā)現(xiàn)標(biāo)在算式上。（學(xué)生自主進(jìn)行探索。）

由于認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不同，學(xué)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)有一定的內(nèi)隱性。吳老師通過(guò)猴王分桃子的故事，為學(xué)生提供了一個(gè)人人都能參與的問(wèn)題情境，喚醒了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。借助學(xué)生寫出的三個(gè)算式：6÷3=2、60÷30=2、600÷300=2，使學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)得以萌發(fā)，同時(shí)也讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)要研究被除數(shù)、除數(shù)怎么變，商才不變的規(guī)律，一組題目或許會(huì)有特殊性，說(shuō)服力不強(qiáng)，從而積累了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和方法。

吳老師又適時(shí)地出示了一幅“鋼筆支數(shù)與總價(jià)”的一次函數(shù)圖像，鼓勵(lì)學(xué)生：看看能從圖中看到什么故事？在對(duì)話交流中讓我們看到了“個(gè)性差異”“分層教學(xué)”“因材施教”的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，體現(xiàn)了不同層次學(xué)生的讀圖能力。學(xué)生不僅讀出了圖中筆的支數(shù)和錢數(shù)的關(guān)系，還“睜開(kāi)數(shù)學(xué)的眼睛，看到了圖里沒(méi)有的事情”——單價(jià)也就是商不變，它始終落斜線上！在吳老師充滿感情的引導(dǎo)下，學(xué)生自主地把自己的想法化作了一系列商是5的除法算式。這種立足于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)令人贊嘆，既豐厚了探究的資源，又使學(xué)生親歷了思維碰撞、提升的過(guò)程，豐富了學(xué)生的體驗(yàn)，感受到情境中有數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)背后有規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，同時(shí)為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做了孕伏。

二、 促進(jìn)思考，“點(diǎn)撥”尤為重要

教學(xué)場(chǎng)景再現(xiàn)：

自主探索后，集體交流，生生相互質(zhì)疑、釋疑。

（6÷3=2、60÷30=2、600÷300=2組。）

生：大家猜出我們這樣表示的意思了嗎？

生1：第二個(gè)算式的被除數(shù)和除數(shù)都乘10，商不變。

生：猜對(duì)了。有補(bǔ)充的嗎？

生2：不管后面添上多少個(gè)0，哪怕一億個(gè)0，商也不變。

生3：從第一個(gè)式子到最后一個(gè)式子被除數(shù)和除數(shù)都乘100，商也不變。

（生不會(huì)評(píng)價(jià)，冷場(chǎng)后問(wèn)：還有嗎？）

師：就這事，如果是我，我會(huì)說(shuō)，我們就想到乘10，乘10商不變了，我們還真沒(méi)有想到乘100，乘100商也不變。我謝謝你給我們的補(bǔ)充。

生（不好意思了）：謝謝你的補(bǔ)充，讓我們思考的多了、全面了。

師：這就叫對(duì)話，這就是欣賞。這組被除數(shù)乘10，除數(shù)也跟著乘10，商不變；被除數(shù)乘100，除數(shù)也跟著乘100，商也不變，大家看明白了嗎？那下一組。

（10÷2=5，20÷4=5，30÷6=5。）

生1：第二個(gè)算式的除數(shù)是第一個(gè)算式的2倍，第一個(gè)算式的被除數(shù)乘2是第二個(gè)算式的被除數(shù)，商不變。也就是說(shuō)如果被除數(shù)擴(kuò)大幾倍，除數(shù)也擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商不變。

生2：第一個(gè)算式和第三個(gè)算式比，被除數(shù)乘4，除數(shù)也乘4，商也不變。

生3：我發(fā)現(xiàn)相鄰兩個(gè)算式之間相乘的倍數(shù)是相同的。

生：這個(gè)補(bǔ)充有一定差別的，比如說(shuō)，如果10不乘2的話，跳過(guò)去，也可以，你的話不嚴(yán)密。

生4：我補(bǔ)充，如果不相鄰的話，如果隔一個(gè)算式，商也不變。比如10到120乘12，2也乘12，120÷24商還是5，商不變。

師：你用例子反駁他，是說(shuō)不一定相鄰，隔著幾個(gè)，只要被除數(shù)和除數(shù)乘的數(shù)相同，商也是不變的。

生：這是我寫的，誰(shuí)看明白了？

生1：第一個(gè)式子被除數(shù)加10，除數(shù)加2，變成第二個(gè)式子，商也不變，是可以的。

生2：我補(bǔ)充：被除數(shù)加10，除數(shù)加2，就是表示的方式不一樣而已。

生3：我覺(jué)得你的發(fā)現(xiàn)沒(méi)有意義。

師：你用了一個(gè)沒(méi)有意義真好。你是怎樣想的？

生3：用加法來(lái)表示，加的數(shù)總在變化，沒(méi)有規(guī)律。

師：他的意思我聽(tīng)懂了，這組題，那組題，幾組題都要有共同的規(guī)律，才有意義。

生4：被除數(shù)加10，除數(shù)加2，就相當(dāng)于都乘2，商也不變。乘法和加法是有聯(lián)系的，所以也是可以的。

師：你覺(jué)得用加法說(shuō)好，還是用乘法說(shuō)好？

“一切為了學(xué)生”是每一個(gè)教育工作者的追求，要真正做到并不容易。但是吳老師做到了，她用自己的教學(xué)行為詮釋著對(duì)每一個(gè)孩子的關(guān)愛(ài)，使每一個(gè)孩子都能在她的課堂上得到滿足，都能在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有所收獲。課堂上，吳老師善于制造、把握、激發(fā)思維矛盾，善于為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流的機(jī)會(huì)，慷慨地把時(shí)空讓給學(xué)生，鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考、發(fā)表自己的見(jiàn)解。由于學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)的角度不同，感受就不一樣，如何依托學(xué)生個(gè)性化的感悟，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)化的思考？吳老師用實(shí)實(shí)在在的教學(xué)行為給了我們最好的解答——她總是捕捉細(xì)節(jié)，順學(xué)而導(dǎo)。因此，吳老師在反饋時(shí)總是“用心良苦”，選取學(xué)生學(xué)習(xí)中的問(wèn)題資源，讓學(xué)生一層層暴露。吳老師從不輕易否定，也不輕易下結(jié)論，她在激起學(xué)生疑惑的同時(shí)，總是把數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的方法滲透其中，慢慢地等待，于是我們常常在學(xué)生爭(zhēng)論與思辨中，聆聽(tīng)到了學(xué)生智慧被開(kāi)啟、數(shù)學(xué)素養(yǎng)在提升的生命成長(zhǎng)的聲音。

在上述教學(xué)情景中，她先抓住了學(xué)生互相評(píng)價(jià)中的“不嚴(yán)密”，把學(xué)生觀察的視角從局限于相鄰兩個(gè)算式，拓展到可以跳躍的更寬泛的算式，提升了學(xué)生思考——只要被除數(shù)和除數(shù)乘的數(shù)相同，商就是不變的；她又捕捉到了“沒(méi)意義”，在生生爭(zhēng)辯中讓學(xué)生明晰了觀察變化時(shí)，要抓住題目中共同的規(guī)律，探索才有意義，同時(shí)又通過(guò)生生間的釋疑，溝通了加法、乘法的關(guān)系，使學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)在變與不變、區(qū)別與聯(lián)系中不斷優(yōu)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在交流、探索、辯論中得以提升，學(xué)生在解決矛盾的過(guò)程中感受著智力活動(dòng)的快樂(lè)?？梢哉f(shuō)，智慧的吳老師帶著智慧走進(jìn)課堂，又在課堂中播種智慧、催生智慧。這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)的就不是書本上的文字，而是屬于自己的、活生生的數(shù)學(xué)；收獲的就不僅僅是知識(shí)、數(shù)學(xué)研究的方法，更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的浸潤(rùn)和濡染！

三、 引導(dǎo)反思，“感悟”不可或缺

教學(xué)場(chǎng)景再現(xiàn)：

師：對(duì)商不變的規(guī)律有感覺(jué)了嗎？有感覺(jué)的做一件事，舉例子，舉兩個(gè)除法的例子，而且商不變。

生書寫例子。（被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘3、乘7、乘5、乘1 000。）

師：乘著乘著，問(wèn)題就來(lái)了，課上寫、課下也寫；今天寫、明天還寫，具有這樣規(guī)律式子寫不寫得完？

生：寫不完。

師：那你有什么發(fā)現(xiàn)？寫下來(lái)。

生1：我發(fā)現(xiàn)一輩子也寫不完。

生2：你乘10，我也跟著乘10，商不變。

師：（轉(zhuǎn)向生1），你在窗外說(shuō)一輩子也寫不完呢，這位同學(xué)已經(jīng)推開(kāi)了一扇窗，他說(shuō)了你乘10，我也跟著乘10，商就怎么樣？（不變，生1回答。）比你怎么樣？他找到原因沒(méi)？

生1：找到了。

師：他已經(jīng)推窗往里去了。再看看第三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)。

生3：被除數(shù)乘幾，除數(shù)乘以相同的數(shù)，商不變。

師：2號(hào)的想說(shuō)些什么？

生2：3號(hào)同學(xué)說(shuō)得更全面、更準(zhǔn)確，范圍更大了。

師：他總結(jié)的帽子戴在乘7、乘9的頭上合適嗎？戴在乘186的頭上合適嗎？

生2：合適。

師：你總結(jié)的帽子怎么樣？

生：小了。

師：1號(hào)同學(xué)站在窗子外邊喊呢，這樣的式子一輩子也寫不完呀！2號(hào)同學(xué)有了偉大的發(fā)現(xiàn)，推開(kāi)了一扇窗，可是回頭一看，發(fā)現(xiàn)了3號(hào)同學(xué)總結(jié)得更有概括性。

師：你能不能再簡(jiǎn)單地寫出發(fā)現(xiàn)？

生：你乘a，我也乘a。

師：此處該有掌聲！第一個(gè)孩子就在門外張望，不肯進(jìn)來(lái)；第二個(gè)孩子把門推開(kāi)了；而第三個(gè)孩子不僅推開(kāi)了門，還為大家打開(kāi)了一扇窗；而這個(gè)孩子（第四個(gè)孩子）發(fā)現(xiàn)了更加本質(zhì)的東西。剛才的過(guò)程對(duì)你有沒(méi)有些幫助？總結(jié)的時(shí)候要把你的、我的、他的發(fā)現(xiàn)都得概括進(jìn)去?？纯茨愕陌l(fā)現(xiàn)和幾號(hào)一樣。

如果說(shuō)，數(shù)學(xué)是思維的體操，那么對(duì)學(xué)習(xí)的“反思”就是體操中的高級(jí)動(dòng)作。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考，但往往是零散的、模糊的、浮于表面的，適時(shí)適度地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，可以使之條理化、清晰化、系統(tǒng)化，這樣才能對(duì)以后類似的學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用。吳老師在本課結(jié)束的時(shí)候，結(jié)合學(xué)生的對(duì)規(guī)律概括的個(gè)性化表達(dá)，以“在門外張望，不肯進(jìn)來(lái)”“把門推開(kāi)了”“不僅推開(kāi)了門，還為大家打開(kāi)了一扇窗”“而這個(gè)孩子發(fā)現(xiàn)了更加本質(zhì)的東西”，引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思維方向是否正確，思維處于什么水平，是否抓住了事物的本質(zhì)和規(guī)律，促使學(xué)生在觀察、傾聽(tīng)、思考、交流中，不斷地對(duì)自身的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思、修正、改進(jìn)，使自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)去偽存真、由表及里、由此及彼地向著更優(yōu)化發(fā)展。這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)的就不是書本上的文字，而是屬于自己的、活生生的數(shù)學(xué)；收獲的就不僅僅是知識(shí)、數(shù)學(xué)研究的方法，更是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維的浸潤(rùn)和濡染！

吳正憲老師謀學(xué)而教，順學(xué)而導(dǎo)的對(duì)生本課堂的詮釋，給了我們啟發(fā)，也留下了思考：一節(jié)課只有40分鐘，哪些問(wèn)題具有引發(fā)討論的價(jià)值？怎樣給生成性資源以著陸之機(jī)？哪些生成性問(wèn)題是資源，須要放大和渲染？我愿意和大家一起且行且思。