何東

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中已經(jīng)把傳統(tǒng)“雙基”修訂為“四基”，課標(biāo)總目標(biāo)中的第一條就明確地提出了獲得“四基”的要求：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”應(yīng)該說(shuō)，數(shù)學(xué)基本思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已成為共識(shí).那么，初中階段學(xué)生需感悟的數(shù)學(xué)基本思想有哪些呢？教師如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想呢？

一、初中生需感悟的數(shù)學(xué)基本思想

原東北師范大學(xué)校長(zhǎng)史寧中指出：“數(shù)學(xué)基本思想主要指數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想.”由數(shù)學(xué)基本思想派生出來(lái)的基本思想很多，但初中階段學(xué)生最需了解轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等四種數(shù)學(xué)基本思想.

二、教師如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想

2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.學(xué)生在積極參與教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想.”所以，教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想，這并非一招一日之功，需要在“過(guò)程”上著手.

（一）在概念中滲透數(shù)學(xué)基本思想

在教學(xué)中，教師應(yīng)挖掘概念中的數(shù)學(xué)思想，在過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想，在總結(jié)中提煉數(shù)學(xué)思想.如：相反數(shù)和絕對(duì)值的概念的教學(xué)，教師應(yīng)先挖掘出概念中的數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)學(xué)生畫數(shù)軸，感受點(diǎn)表示的數(shù)的位置特征，這便具有了幾何意義，其后，提煉互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上實(shí)質(zhì)是它們到原點(diǎn)的距離相等，方向相反.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.對(duì)于學(xué)生“求絕對(duì)值等于5的數(shù)有幾個(gè)？”這樣問(wèn)題的答案就很清楚很具體，便于學(xué)生理解和掌握.又如，乘方的概念是把未知的乘方轉(zhuǎn)化與化歸為已知的乘法問(wèn)題來(lái)解決，概念中蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，概念通過(guò)上述方法的學(xué)習(xí)，肯定能收到事半功倍的效果.

（二）在公式、法則、性質(zhì)中滲透數(shù)學(xué)基本思想

新課程“以學(xué)生為主體”的教育觀念要求教學(xué)過(guò)程要在探究活動(dòng)中展開(kāi)，也就是說(shuō)，公式、法則、性質(zhì)等的教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生去閱讀、觀察比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出結(jié)論，要揭示數(shù)學(xué)的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)基本思想.如：不等式的性質(zhì)中蘊(yùn)含分類討論思想，我以不等式性質(zhì)的教學(xué)為例，做如下設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1：將不等式5>2的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，比較所得結(jié)果的大小，用“>”“<”或“=”號(hào)填空：

觀察上面的式子，類比等式的基本性質(zhì)，你能歸納出不等式具有什么性質(zhì)嗎？

思考：如果加上（或減去）的是同一個(gè)整式，上述結(jié)論還成立嗎？

問(wèn)題2：將不等式5>2的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)，比較所得結(jié)果的大小，用“>”“<”或“=”號(hào)填空：

觀察上面的式子，類比等式的基本性質(zhì)，你能歸納出不等式還具有什么性質(zhì)嗎？

學(xué)生在整個(gè)性質(zhì)的探索過(guò)程中，進(jìn)行分類、歸納，感悟了數(shù)學(xué)中的分類討論思想.如果在公式、法則、性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程中，老師的問(wèn)題分類引導(dǎo)準(zhǔn)確，學(xué)生自然會(huì)參與其中，那么學(xué)生觀察、探索和逐步感悟數(shù)學(xué)思想的能力一定會(huì)提高.

（三）在例題、習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)基本思想

例題、習(xí)題的教學(xué)是學(xué)生假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動(dòng)的認(rèn)知過(guò)程，為了讓學(xué)生積極參與“過(guò)程”，感悟數(shù)學(xué)思想，設(shè)計(jì)例題、習(xí)題采用“鷹架”理論，搭建腳手架，分步完成.舉幾個(gè)例子說(shuō)明：

例1：（1）一個(gè)等腰三角形中，頂角為 50°，求另外兩個(gè)角是多少度？

（2）一個(gè)等腰三角形中，一個(gè)角為 50°，求另外兩個(gè)角是多少度？

（3）一個(gè)等腰三角形中，一個(gè)角為100°，求另外兩個(gè)角是多少度？

例2：（1）一個(gè)等腰三角形中，底邊長(zhǎng)為3，一邊長(zhǎng)為4，求等腰三角形的周長(zhǎng)？

（2）一個(gè)等腰三角形中，一邊長(zhǎng)為3，一邊長(zhǎng)為4，求等腰三角形的周長(zhǎng)？

（3）一個(gè)等腰三角形中，一邊長(zhǎng)為2，一邊長(zhǎng)為4，求等腰三角形的周長(zhǎng)？

題目由“頂角”變式成“一個(gè)角”，“底邊”變式成“一邊”，設(shè)計(jì)有梯度的問(wèn)題，學(xué)生自然會(huì)把已知角按頂角或底角分類，已知邊按底邊或腰分類.所以設(shè)計(jì)針對(duì)性的分步問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要.

（四）在小結(jié)和復(fù)習(xí)中提煉概括數(shù)學(xué)基本思想

由于同一內(nèi)容可表現(xiàn)為不同的數(shù)學(xué)思想，而同一數(shù)學(xué)思想又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，因此，在單元小結(jié)或復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想應(yīng)做系統(tǒng)的提煉概括.例如：在學(xué)完二元一次方程組、三元一次方程組、分式方程、一元二次方程后，老師可提煉概括這些方程組和方程都可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，把它們等價(jià)或非等價(jià)轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想應(yīng)不是一種形式，教師要將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化成自己的知識(shí)并建構(gòu)成自己的教學(xué)觀，它應(yīng)當(dāng)滲透到教材的各個(gè)方面和教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).但也不能只重視了數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，而又忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的教學(xué)，它們互不矛盾，相輔相成.數(shù)學(xué)課程中的基本思想寫入2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》尚屬初出茅廬，需要分析、研究、嘗試、探求的空間很大，讓我們以積極的心態(tài)共同為之努力.