卓為杰

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，實(shí)際上就是關(guān)于正整數(shù)的無(wú)窮性命題。對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的原理的理解是掌握種證明方法的關(guān)鍵，要熟練的掌握與應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，必須準(zhǔn)確的理解其意義及掌握解題步驟，在解題步驟中運(yùn)用歸納假設(shè)尤為重要，運(yùn)用歸納假設(shè)推出結(jié)論最為關(guān)鍵。在高中數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)歸納法是一種直接的證明方法，應(yīng)用十分廣泛，一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)有關(guān)的一些恒等式、不等式、整除性、數(shù)列的通項(xiàng)及前 項(xiàng)和等問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 歸納 應(yīng)用

引言：在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有一類(lèi)問(wèn)題是與自然數(shù) 有關(guān)的命題。當(dāng) 表示一個(gè)命題，當(dāng) 又表示一個(gè)命題，如此循環(huán)，無(wú)窮無(wú)盡，因此，一個(gè)與自然數(shù) 有關(guān)的命題實(shí)際上包含了無(wú)窮個(gè)命題。自然數(shù)有無(wú)限多個(gè)，不可能就所有的自然數(shù)一一加以驗(yàn)證，所以用完全歸納法是不可能的。但就部分自然數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即用不完全歸納法得到的結(jié)論，又是不可靠的，為了證明這一類(lèi)與自然數(shù) 有關(guān)的命題，一種切實(shí)可行又滿足邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的證明方法出現(xiàn)了，它就是——數(shù)學(xué)歸納法。本文就高中數(shù)學(xué)第一歸納法的解題技巧與應(yīng)用，舉一些典型案例。

1.數(shù)學(xué)歸納法的概念

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù) 有關(guān)的命題的一種特殊方法，主要研究與正整數(shù) 有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟

證明與正整數(shù) 有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

（1）（歸納奠基）證明當(dāng) 取第一個(gè)值 時(shí)命題成立；

（2）（歸納遞推）假設(shè) 時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立。

只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)于從 開(kāi)始的所有正整數(shù) 都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可。其中第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的根據(jù)。有第一步?jīng)]有第二步，屬于不完全歸納法，有第二步?jīng)]有第一步，則第二步的假設(shè)就失去了基礎(chǔ)。只有兩個(gè)步驟都完成了，才能斷定命題對(duì)于從 開(kāi)始的所有正整數(shù) 都成立。證明命題時(shí)的難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，主要在于如何合理運(yùn)用歸納假設(shè)，即以“ 命題成立”為條件，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明“當(dāng) 時(shí)命題成立”。

3.數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

3.1數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明 。

證明：（1）當(dāng) 時(shí)，左邊 ，右邊 ，等式成立。

（2）假設(shè) 時(shí)，等式成立，即

。

當(dāng) 時(shí)，

所以 時(shí)，等式也成立。

綜上（1），（2）可知，等式對(duì)任意的 都成立。

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式：（1）第一步是驗(yàn)證 取第一個(gè)值時(shí)等式是否成立，是奠基。第二步在假設(shè) 時(shí)，一定要寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，證明 時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)。（2）第二步證明的關(guān)鍵要看左右兩邊的項(xiàng)和證明的目標(biāo)，合理利用“一‘湊假設(shè)，二‘湊結(jié)論”的證明技巧。

3.2用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題

例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 對(duì)任意的 都能被17整除。

證明：（1）當(dāng) 時(shí)， ，能被17整除，所以命題成立。

（2）假設(shè) 時(shí)， 能被17整除。

當(dāng) 時(shí)，

=

所以 時(shí)，命題也成立。

綜上（1），（2）可知， 對(duì)任意的 都能被17整除。

3.3用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題

例3、證明凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為 。

證明：1）當(dāng) 時(shí)， ，四邊形有兩條對(duì)角線，命題成立。

（2）假設(shè) 時(shí)，命題成立，即凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為 。當(dāng) 時(shí)，凸 邊形是在凸 邊形的基礎(chǔ)上增加了一條邊，增加了一個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)頂點(diǎn)與它不相鄰的 頂點(diǎn)構(gòu)成 條對(duì)角線，再加與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的一條對(duì)角線，所以凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為

，

所以 時(shí)，命題也成立。

綜上（1），（2）可知， 對(duì)任意的 命題成立。

3.4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

例4、證明貝努利不等式：（人教版選修4-5，不等式選講第51頁(yè)）

如果 為大于1的自然數(shù)，那么有 。（證明略）

例5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的 ，不等式 都成立。

證明：（1）當(dāng) 時(shí)， ，命題成立。

（2）假設(shè) 時(shí)命題成，即 。

當(dāng) 時(shí)，

。

所以 時(shí)，命題也成立。

綜上（1），（2）可知，對(duì)任意的 ， 成立。

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，對(duì) 時(shí)是整個(gè)證明的難點(diǎn)和關(guān)鍵，證明時(shí)要分離出該命題中可以使用歸納假設(shè)的部分。放縮法作為不等式證明的特有技巧，在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，常被使用。

3.5用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)列問(wèn)題

例6、（2012.北京海淀模擬）數(shù)列 滿足 。

1） 計(jì)算 的值，并由此猜想通項(xiàng)公式 ；

2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。

解： （1） ， 。

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想。

證明：1）當(dāng) 時(shí)， ，結(jié)論成立。

2）假設(shè) ，結(jié)論成立，即 。

當(dāng) 時(shí)，

所以 ，即

，

即 時(shí)，結(jié)論也成立。

由1），2）知猜想 成立。

點(diǎn)評(píng)：先計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用不完全歸納法得到通項(xiàng)公式的猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法給出證明，這是解決數(shù)列問(wèn)題的一般思路，即“觀察——?dú)w納猜想——證明”。“先猜后證”解與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候如果最初的兩三個(gè)初始時(shí)不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要多舉幾項(xiàng)顯示其規(guī)律，要敢于猜想、善于猜想，做出科學(xué)的猜想和判斷。

數(shù)學(xué)歸納法是專門(mén)證明與正整數(shù)有關(guān)的的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，證明分兩步，第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”，第二步解決的是延續(xù)性問(wèn)題，稱為“歸納遞推”，兩個(gè)步驟缺一不可。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，既可以開(kāi)闊眼界，又可以受到推理訓(xùn)練，數(shù)學(xué)歸納法的出現(xiàn)，使人們的認(rèn)識(shí)“從有限到無(wú)限的飛躍”（華羅庚語(yǔ)）。當(dāng)然，并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，應(yīng)該具體問(wèn)題具體分析。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)典例題，百度文科，2013.7（引用）