張志仁

以《平面解析幾何》拋物線習題為例，進行“挖潛”與“變式探討”，用以說明深挖習題訓練功能的巨大教育價值。

習題挖潛變式探討用好一些典型例習題，研究其內(nèi)涵與解法，充分“挖潛”與“變式探討”，并力求“舉一反三，推陳出新”，對培養(yǎng)學生發(fā)散思維與創(chuàng)新能力，對掌握一類問題知識間的內(nèi)在聯(lián)系與靈活應用，具有極好的數(shù)學教育價值與訓練功能。

現(xiàn)以《平面解析幾何》拋物線習題為例，進行“挖潛”與“變式探討”，用以說明深挖習題訓練功能的巨大教育價值。

題：過拋物y2=2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1、y2。求證：y1y2=-p2

證明：設過F（p2，0）的直線AB：y=k（x-p2）（k≠0）

代入y2=2px得：

ky2-2py-kp2=0

∴y1y2=-kp2k=-p2

將上題中結(jié)論進行推廣得：

變題1：過拋物y2=2px的焦點的一條直線和這條拋物線相交，兩個交點的橫坐標為x1、x2。

求證：x1x2=p24

證明：由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

又∵ x1=y212p x2=y222p

∴x1x2=（y1y2）24p2=p44p2=p24

進一步，由特殊到一般，將過焦點推廣到過對稱軸上任一點，使問題得到深化得：

變題2：過拋物線y2=2px的對稱軸上一點M（a，0）的一條直線和這條拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）， 則 x1x2=a2，y1y2=-2pa。

證明：只需將AB設為y=k（x-a）同上可證得結(jié)論。

再進一步，利用以上結(jié)論可解：

例1：求證：拋物線的通徑是經(jīng)過焦點的所有弦中的最短線段。

證明：設拋物線方程為y2=2px，（p>0）

焦點弦的端點A（x1，y1），B（x2，y2）

|AB|=x1+x2+p≥2x1x2+p=2p

當且僅當x1=x2=p2時，AB 垂直于x軸，即AB為通徑。

例2：過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q。過P點和拋物線頂點的直線交準線于M點。求證MQ平行于拋物線的對稱軸。

證明：設拋物線方程為y2=2px 點P、Q、M 的縱坐標為y1、y2、y3，由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又∵PM的方程為：y=y1x1x

準線方程為： x=-p2

∴y3=-py12x1 而2x1=y21p

∴y3=-p2y1 即y2=y3

∴MQ 平行于拋物線的對稱軸。

例3：設拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在其準線上，且BC平行于x軸。

求證：AC過原點O。

證明：設A（x1，y1）， B（x2，y2）

由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又BC平行x軸，且點C在準線x=-p2上

得C（-P2，y2）

∴kOC=y2-p2=-p2y1-p2=2py1=y1x1

又∵kOA=y1x1

∴AC過原點O。

通過以上的推廣，充分展示了典型習題的“挖潛”價值，使典型習題真正成為學生領悟數(shù)學思想方法和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的“源頭活水”，使學習可以收到事半功倍的功效。