任志偉

【摘要】圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，充分體現(xiàn)了解析幾何中代數(shù)與幾何相結合的基本思想.橢圓作為圓錐曲線的典型代表，將這一基本數(shù)學思想表現(xiàn)得淋漓盡致，因此，研究出較為科學合理的橢圓及其標準方程的教學設計，將會影響學生對這一部分知識的掌握以及相應數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng).

【關鍵詞】新課程；橢圓；標準方程；教學設計

一、研究背景及意義

1.橢圓及其標準方程的教材地位及學習價值

圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，在高中數(shù)學選修2-1中，圓錐曲線被安排在第二章中，以“圓錐曲線與方程”的標題出現(xiàn)，其包含曲線與方程、橢圓、雙曲線、拋物線四部分內(nèi)容.“橢圓及其標準方程”具有承前啟后的重要作用：首先，“橢圓及其標準方程”中標準方程的推導需借助“曲線與方程”中的知識，是對上一節(jié)知識的有效鞏固；其次，橢圓位于三種曲線之首，對這三種曲線而言，研究的問題基本一致、研究方法相似，若能夠掌握好研究橢圓的基本方法，學習其余兩種曲線時就會得心應手.故掌握好橢圓及其標準方程對學生學習具有極大的促進作用.

2.橢圓及其標準方程的教學狀況及學生的掌握情況

橢圓及其標準方程如此重要，對于學生的學習及教師的教學均是一種挑戰(zhàn).因而，迫切需要科學合理的教學設計，將知識有效地教授給學生，使其養(yǎng)成良好的數(shù)學品質(zhì).

圓錐曲線在高考中所占分值較大，這給教師、學生帶來了較大的壓力.在時間緊任務重的情況下，多數(shù)的教師沒能很好的利用教材及輔導資料，不進行增減直接照搬資料，常常忽視學生的主體地位，沒能充分調(diào)動學生積極性，缺少探究學習知識的過程.

例如：教授橢圓及其標準方程時，多數(shù)教師按照教材編排，在一個課時內(nèi)對其進行講解，導致課堂內(nèi)容過多，講解時間增加，學生只能被強迫著將知識裝入腦子中，靠死記硬背掌握知識，造成概念理解不到位，進而難以處理相應的問題.因此，本文教學設計中將其分兩個課時進行教授.

二、設計依據(jù)

1.新課程下的教學要求

通過研讀《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》針對圓錐曲線教學內(nèi)容的要求后，歸納出以下幾點關于橢圓及其標準方程的教學要求：

（1）借助豐富的實例，讓學生從探究中抽象出橢圓的定義，并體會其在現(xiàn)實中的實際應用；

（2）橢圓標準方程的推導中，首先從典型的幾何特征入手，選取合適的坐標系，其次利用軌跡問題的本質(zhì)（抓住不變量），創(chuàng)建適當?shù)姆匠?

（3）明確用代數(shù)研究幾何的方法，滲透數(shù)形結合的思想.

2.教學方法

對于橢圓的標準方程來說，它沒有明確的教學類型分類，可以說是橢圓定義的一種應用，也可以說是一種命題，還可以說是一種求解標準方程的數(shù)學題，沒有較為明確的教學設計依據(jù)，但可以汲取著名教育家曹一鳴編寫的《數(shù)學教學論》一書中的經(jīng)典教學方法，完成教學設計.

三、教學設計

1.橢圓定義的教學設計

（1）情景引入

用一個不垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，當截面與圓錐的軸夾角不同時，可得到不同的截口曲線，分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線（多媒體展示圖片便于直觀理解）.

為什么截口曲線會出現(xiàn)不同情形？學習圓錐曲線定義之后依次進行解答（設置問題，激發(fā)學生的好奇心）.

設計意圖：采用總分的教學手段：先提出圓錐曲線再引入橢圓，便于學生總體感知，且由熟悉場景引人新課，易于接受，引起興趣，激發(fā)求知欲.

（2）新課教授

之前就已接觸過圓，現(xiàn)研究第二種圓錐曲線——橢圓.

生活中處處可發(fā)現(xiàn)橢圓的影子：圓柱形水杯傾斜時水面的邊界，陽光下圓球的影子，地球繞太陽運行時的軌道等（展示圖片，數(shù)學來源于生活）.

問題1：觀察以上曲線，它們和圓有那些相識之處——似乎圓被“壓扁”后就得到了橢圓.

問題2：那么可否借助圓從“到定點距離等于定長”的角度來定義橢圓？

設計意圖：將橢圓與圓作類比，借助定點、定長得出橢圓定義順理成章，培養(yǎng)學生敏銳的觀察及類比能力.

師生活動：取一段長為2a的細繩，將兩端點分別固定在圖板同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓，如果把細繩的兩端拉開一段距離，畫出的軌跡又是什么——橢圓.

設計意圖：以圓為基礎，學生在教師的帶領下，通過自己觀察、猜想、動手檢驗得到橢圓的定義，由教師灌輸式轉變?yōu)閷W生自主探究式，加深對橢圓定義的理解，極大的提高了課堂學習效率.

問題1：畫出橢圓的過程中哪些量不發(fā)生變化（即橢圓上的點有何特征）——在筆尖移動過程中，細繩的長度不變，即筆尖到兩定點的距離和為常數(shù)（設計問題，讓學生從動中找靜，培養(yǎng)其對事物的敏感度）.

得出橢圓定義：平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.記為2c（給出橢圓準確定義，將文字語言轉化成為符號語言）.

若設M為橢圓上的任意一點，則|MF1|+|MF2|=2a.

問題2：將學生分成小組再次作圖并討論：如果細繩的長度小于或等于兩定點的距離，作出的圖形又怎么樣

通過實踐得到當且僅當2a>2c時才可作出橢圓.

設計意圖：改變以往教師直接告知學生：2a>2c為橢圓定義中的關鍵，使學生分組操作，對比討論，自我總結得出結論（加深對概念的理解，避免遺漏定義中的注意事項，注重數(shù)學的嚴謹性）.

（3）概念鞏固

現(xiàn)在解決課堂開始的問題：用一個與圓錐軸線夾角為銳角的平面去截圓錐，得到的截線是橢圓.

用教具模擬平面去截圓錐（使用教具直觀展示便于理解，可激發(fā)學生的動手能力）在圓錐內(nèi)放大小不同的兩個球，使其分別相切于圓錐的側面、截面，切點為E，F(xiàn)，現(xiàn)在截口曲線上任取一點A，過點A做圓錐的母線，使其分別與兩個球相切于B，C，那么，據(jù)橢圓定義，只需求證A與E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)即可，為此，需回憶球的切線長定理：過球外一點做球的兩條切線，切線長相等.

圖1

由圖1，不難發(fā)現(xiàn)AE與AC為小球的兩條切線，AF，AB為大球的兩條切線，因而AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

這樣，就得到截口曲線上任意一點A到兩定點E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)，即滿足橢圓定義，故截線為橢圓.

設計意圖：學習橢圓的概念之后，解決教師們常常忽視的截線是橢圓的問題，既要讓學生知其然又要知其所以然（培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)問題，并且利用已學知識解決問題的能力）

2.橢圓標準方程的教學設計

（1）復習引入

回顧求軌跡方程的一般步驟：建系設點→抓住不變量→創(chuàng)建方程→化簡

例如求圓方程的步驟，即：求到定點的距離等于常數(shù)的點的集合

設計意圖：知識具有連貫性，課前及時回顧，有助于提前進入課堂；

以圓為例，有兩處妙用：①用具體的例子幫助識儲備不足的學生，回顧求動點軌跡的方法；②圓作為圓錐曲線的一種，與橢圓聯(lián)系緊密，可以類比圓的對稱性，利用橢圓的對稱性，建立坐標，避免了無規(guī)則地亂建系.

（2）新課教授

類比圓的方程求法，可否求出橢圓的標準方程（明確要解決的問題、可利用的知識，培養(yǎng)學生嚴密的解題思維）

橢圓定義：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓（著重強調(diào)2a>|F1F2|不可或缺）.

類比圓，據(jù)橢圓的對稱性，可能出現(xiàn)兩種建系方法：

①以經(jīng)過橢圓焦點F1，F(xiàn)2的直線為x軸，以線段F1，F(xiàn)2的垂直平分線為y軸.

②x軸、y軸互換，即以經(jīng)過橢圓焦點F1，F(xiàn)2的直線為y軸，以線段F1，F(xiàn)2的垂直平分線為x軸.

自主探究：將學生分成兩組就兩種不同的坐標系，求出對應的橢圓標準方程.

利用多媒體給出第一種建立坐標系的詳細過程（方便學生自行校對）.

設M（x，y）是橢圓上任意一點，焦距2c（c>0），則焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別是（-c，0），（c，0），由定義，得M與F1，F(xiàn)2的距離之和為2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

∴（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

化簡此方程（教師提點化簡過程中的兩次平方和方程兩邊同除以某個式子，最終化解為分式，利用函數(shù)的思想求解曲線方程，深化幾何與函數(shù)的聯(lián)系）.

將左邊的一個根式移到右側，得（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2.

兩邊平方，得a2-cx=a（x-c）2+y2.

兩邊再平方，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

方程兩邊同除a2（a-c2），得x2a2+y2a2-c2=1.

由橢圓的定義可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程較為復雜，故常令b2=a-c2.（及時說明為何要引出b值不會顯得唐突）

最終可得（列出比較內(nèi)容，更加直觀、深刻）

焦點位置x軸，標準方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

焦點位置y軸，標準方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

圖2

尋找標準方程與坐標軸之間的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)：焦點位于哪個軸上，哪個的分母大.

由a，b，c之間的關系b2=a-c2，可在中找出對應的線段（結合圖形給出a，b，c的幾何意義，符合學生的認知過程，便于理解）

|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|=a2-c2=b.

其中a為長半軸、b為短半軸、c為焦半徑，

設計意圖：轉變教師直接板演求解標準方程的過程，兩種不同的建系方式滲透分類討論的思想，合理地安排學生分組討論，由被動聽講轉為主動參與，增強了主體意識，在此過程中教師巡視給予幫助，發(fā)揮其指導、幫助、促進作用

四、設計反思

這次教學設計中很好地貫穿了新課程教學理念，但是也出現(xiàn)了一定的不足，第一：由于教學經(jīng)驗有限，一些數(shù)學教育理論和專業(yè)知識，不能完美應用于教學設計中；第二：在教學設計中針對學生的心理情況的設計比較少.

希望借鑒本設計者據(jù)實際情況進行合理的修改.

【參考文獻】

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