李寧寧

【摘要】多變元問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中思維難度較大，解題過程較繁的一類問題.學(xué)生在解答過程中經(jīng)常陷于盤根錯節(jié)的參數(shù)關(guān)系而無法理清頭緒，這時若能靈巧地確定主元，進行有效地轉(zhuǎn)化，化繁為簡，繼而達到柳暗花明的境界.

【關(guān)鍵詞】多變元；解題；應(yīng)用；主元；研究

研究者對于巧定主元的研究主要是從四個方面展開.第一個方面：確定一個參數(shù)為主元；第二個方面：確定兩個及以上元素（即整體）為主元；第三個方面：大膽增元或減元，為確定主元鋪設(shè)條件；第四個方面：確定非參數(shù)元素為主元.以下首先對這四個方面一一舉例介紹，其次談一下今后在這個領(lǐng)域中的所應(yīng)著重注意的三個方向.

1.確定一個參數(shù)為主元（在確定一個參數(shù)為主元的同時又分為兩個方面）

（1）確定一個參數(shù)為主元在解方程（組）中的應(yīng)用

例1設(shè)K≥9.解方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0.（2006年，上海交通大學(xué)自主招生考試）

分析因為該方程為三次方程很難因式分解，所以，這條路很難.但變換主元，將x看作參數(shù)，k視為主元，則可看成一個關(guān)于k的二次方程

xk2+（2x2+9）k+（x3+27）=0.

xk2+（2x2+9）k+（x+3）（x2–3x+9）=0.

（xk+x2–3x+9）（k+x+3）=0.

x2+（k-3）x+9=0或k=-x-3.

x=（3-k）±（k-9）（k+3）2（k≥9）或x=k+3.

（2）確定一個參數(shù)為主元在求根（不等式）的取值范圍中的應(yīng)用

例2若不等式2x–1>m（x2-1）對滿足∣m∣≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

分析本題若視x為變量，m為常量，進行分類討論，顯然不可取，但若巧變參數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式，再用函數(shù)思想，問題也就迎刃而解了.

解析令f（m）=m（x2-1）-（2x-1）.

當(dāng)x≠±1時，它是關(guān)于m的一次函數(shù)，故由∣m∣≤2時，f（m）<0恒成立，等價于f（-2）<0和f（2）<0，所以解得-1+72

綜上知x的取值范圍是（-1+72，1+32）.

2.確定兩個及以上元素（即整體）為主元

例3（2011年蘇州高三第一學(xué)期期末第13題）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+2a≤3a，c+2a≤3b，求ba的取值范圍.

分析本題中出現(xiàn)三個變量，而且在三角形中，處理方法是把a，b作為主元，通過三角形的三邊關(guān)系消去c.

解因為b+2a≤3a，所以2a≤3a-b.

由于a，b，c為三角形的三邊.

則2（a-b）<2c≤3a-b.（1）

2（b-a）<2c≤3a-b.（2）

由（1）（2），得0

對于c+2a≤3b，同理可得ba>34，34

3.大膽增元或減元，為確定主元鋪設(shè)條件

例4設(shè)拋物線：y=-x2+2x與X軸的一個交點為B（不是原點），P，Q為拋物線上兩個不同的動點，當(dāng)點P在拋物線上運動時，如果使BP⊥PQ，求點Q的存在范圍.

解設(shè)P（a，-a2+2a），Q（b，-b2+2b），其中a≠2，a≠b，又B（2，0），由BP⊥PQ，kBP·kPQ=-1，由此得a2（b-2）a+1=0.

由Δ≥0，得b≤0或b≥4.

故點Q的存在范圍是拋物線y=-x2+2x上x∈（-∞，0）∪[4，+∞）.

4.確實以非參數(shù)元素為主元

例5（2007年廣東卷）已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍.

解以零點為主元進行分類：

Ⅰ.只有一個零點時，分類討論如下：

（1）若a=0，f（x）=2x-3，顯然在區(qū)間[-1，1]上沒有零點，所以a≠0；

（2）a≠0，當(dāng)f（-1）f（1）≤0時，1≤a≤5有零點.

Ⅱ.當(dāng)有兩個零點時，a≠0，當(dāng)f（-1）f（1）>0時，進行分類討論如下：

（1）當(dāng)f（-1）>0，f（1）>0時，a>5有零點；

（2）當(dāng)f（-1）<0，f（1）<0時，a<1，進行分類討論如下：

①當(dāng)0

②當(dāng)a<0時，當(dāng)函數(shù)值最大值大于0，函數(shù)的對稱軸在區(qū)間[-1，1]上有零點，此時a≤-3-72.綜上可得，a的取值范圍是a>1或a≤-3-72.

5.下一步的研究工作

第一，將巧定主元的方法綜合運用.雖然巧定主元的方法繁多，但研究者對它們都是單一的研究，并未能將它們很好地融合在一起.

第二，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維.縱然巧定主元的方法眾多，倘若學(xué)生的思維完全跟不上，豈不是白費功夫，因此要將學(xué)生的思維與巧定主元的方法有效地結(jié)合在一起.

第三，應(yīng)與一線教師進行密切地交流與合作.即使巧定主元的方法較多，但一線教師不能即使或者忽視這種思想，學(xué)生將很難接觸、學(xué)習(xí)并運用這種思想.可以推斷出，倘若研究者與一線教師進行密切地交流和合作定會極大地促進巧定主元思想及方法的發(fā)展.