陳文雅

【摘要】高考試題與聯(lián)賽試題作為兩類高水平試題，它們在命制過程中會(huì)有千絲萬縷的聯(lián)系，本文通過兩道高考與聯(lián)賽試題，來揭示試題命制過程中的同源性背景，以期把握試題命制的方向，提高復(fù)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】斜率；相反數(shù)；切線

圓錐曲線中有許多精彩、漂亮的性質(zhì)與結(jié)論，而且在這些性質(zhì)與結(jié)論中經(jīng)常會(huì)遇到一些定點(diǎn)與定值問題，縱觀近年高考與競賽試題也不乏類似問題的考查，本文試圖將兩道高考與競賽試題羅列在一起，對(duì)它們的來龍去脈進(jìn)行本質(zhì)的剖析，以期把握試題的命題方向，提高復(fù)習(xí)效率.

一、試題精彩回放

試題1（2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C過點(diǎn)A1，32，兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0）.（1）略；（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值.

試題2（2011年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）作斜率為13的直線l與橢圓C：x236+y24=1交于A，B兩點(diǎn)，且P32，2在直線l的上方.（1）證明：△PAB的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.

點(diǎn)評(píng)這兩道高考與競賽試題考查的是圓錐曲線同一個(gè)內(nèi)容，揭示的是同一個(gè)幾何性質(zhì)，它們一正一反將相同的曲線，相似的結(jié)論，命制在不同試卷上，真可謂“英雄所見略同”.

二、對(duì)試題源的正向剖析

既然兩道試題具有同源性質(zhì)，那么我們就有必要對(duì)試題的來由進(jìn)行一些背景剖析，研究試題命制的依據(jù)，容易得到如下性質(zhì)：

性質(zhì)設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值x0b2y0a2.

證明設(shè)A（x0，y0），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則直線AE的方程為：y-y0=k（x-x0），代入橢圓方程得：（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，

∴E（a2k2-b2）x0-2a2ky0b2+a2k2，-2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2；設(shè)直線AF的方程為：

y-y0=-k（x-x0），∴F（a2k2-b2）x0+2a2ky0b2+a2k2，2b2kx0+（b2-a2k2）y0b2+a2k2.

∴直線EF的斜率kEF=y2-y1x2-x1=b2x0a2y0.

引申1設(shè)A（x0，y0），A′（x0，-y0）（y0≠0）為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上兩定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為橢圓C在點(diǎn)A′（x0，-y0）處切線的斜率.

證明橢圓C：x2a2+y2b2=1在A′（x0，-y0）處的切線方程為：x0xa2-y0yb2=1，

∴在A′（x0，-y0）處的切線斜率k=b2x0a2y0，即k=kEF.

引申2設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為雙曲線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值-b2x0a2y0，且為雙曲線在A′（x0，-y0）處切線的斜率.

引申3設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）為雙曲線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)，那么直線EF的斜率為定值-py0，且為拋物線在A′（x0，-y0）處切線的斜率.

三、對(duì)試題源的逆向探究

引申2設(shè)A（x0，y0）（y0≠0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)，斜率為-py0的直線EF交拋物線不同于點(diǎn)A的E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線AE，AF的斜率互為相反數(shù).

四、高考真題鏈接

1.（2004年北京市高考數(shù)學(xué)試題）過拋物線y2=2px（p>0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y0>0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為p2的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；

（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y1+y2y0的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

2.（2005江西省高考數(shù)學(xué)試題）M是拋物線y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，且MA=MB，若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值.

優(yōu)秀試題的“迷人風(fēng)光”應(yīng)體現(xiàn)在對(duì)高層次理性思維的考查上，同時(shí)也蘊(yùn)含了更一般化的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法.本文正是從兩道高考和競賽試題出發(fā)，以題中所考查的知識(shí)點(diǎn)為源頭，尋根問底，在橫向與縱向的聯(lián)系中尋找“題源”，在題目的拓展中，強(qiáng)化了知識(shí)的應(yīng)用.作為教者，如果能在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中做個(gè)有心人，重視挖掘課本與高考習(xí)題中所蘊(yùn)含的價(jià)值，重視習(xí)題的進(jìn)一步拓展改造，必將使得考生在高考中游刃有余.