付恩駿 黃正陽 陳定均 王斌

【摘要】首先我們通過非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法將連續(xù)的SIS模型化成離散模型.接著分析此模型的無病平衡點E0，地方性平衡點E*以及閾值σ；當(dāng)σ>1時，無病平衡點全局穩(wěn)定；反之疾病持續(xù).

【關(guān)鍵詞】非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法；全局穩(wěn)定；持續(xù)；時滯

1.引言

在連續(xù)的SIS傳染病模型，如文獻[1]根據(jù)傳染病的生物意義考慮潛伏時滯與康復(fù)時滯.在文獻[2]中又考慮這樣的時滯∫ω0I（t-s）dη（s），而文獻[3]的作者根據(jù)非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法將此系統(tǒng)化成差分系統(tǒng)，從而也得到與文獻[2]相同的結(jié)論.基于以上學(xué)者的基礎(chǔ)我們首先考慮一個SIS模型如下：

S（t）′=λ-β（I）S（t）∫τ0I（t-s）dη（s）-μ1s（t）+γe-μ2ωI（t-ω），I（t）′=β（I）S（t）∫τ0I（t-s）dη（s）-（γ+μ2）I（t）.（1）

2.模型以及無病平衡點的穩(wěn)定性

將模型（1）通過非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法化成差分模型如下：

Sn+1-Sn-=λ-μ1Sn+1-β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk+

γe-μ2ωIn-ω，In+1-In=β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk-（μ2+γ）I（t）.（2）

這里Sn，In分別表示易感者組和感染者組；正常數(shù)λ，μ1，μ2，γ分別表示出生率，易感者死亡率，感染者死亡率和康復(fù)率；β（I）表示單位時間內(nèi)有效接觸率，發(fā)生β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk形式也說明時滯的變化.根據(jù)文獻[3]，我們假定β（I）是正定的函數(shù)且存在Iβ>0使β（I）在區(qū)間[0，Iβ]上是非減的；t≥0，ω≥0是時滯；在根據(jù)文獻[2]定義數(shù)列是非減且有界變集ηk：-∞<ηk<+∞（k=0，1，2，…，T=max{τ，ω}）.

我們給出系統(tǒng)（2）的初值條件Sn=ψn（1），In=ψn（2），n=-T，-T+1，…，0（3）

這里ψ（i）n≥0（n=-T，-T+1，…，0，i=1，2）.通過生物意義，我們假定ψ（i）0>0，i=1，2.當(dāng)β（I）=β>0是常數(shù)，系統(tǒng)（6）的無病平衡點是E0=（S0，0），S0=λμ1.我們令正數(shù)A=∑τk=0In-kηk并且定義閾值σ≡β（0）Aλμ1（μ2+γ）.如果σ>1，系統(tǒng)（2）有一個地方性平衡點E*=（S*，I*），S*=μ2+γβA，I*=λ-μ1S*μ2+γ-γe-μ2ω.

引理1對系統(tǒng)（2）任意的解（Sn，In）當(dāng)n∈N時，那么（Sn，In）>0.

證明根據(jù)系統(tǒng)（2）的第一個方程我們得到Sn+1=λ+Sn+γe-μ2ωIn-ω1+μ1+β（In）∑τk=0In-kηk，從初值條件（3）和S0>0，很容易看出S1>0，以此類推我們很容易得到Sn>0.再從（2）的第二方程，我們得到In+1=In+β（In）Sn+1∑τk=0In-kηk1+μ2+γ，當(dāng)n>0時，從初值條件（3）和S1>0，我們得到I1>0，以此類推我們很容易得到In>0.引理1得證.

定理1對于系統(tǒng)（2）的任意解（Sn，In），那么人口總數(shù)Nn≡Sn+In滿足limsupn→+∞Nn≤λμ1.

證明首先我們定義人口總數(shù)Nn≡Sn+In.從系統(tǒng)（2）我們得到

Nn+1-Nn=λ-μ1Sn+1-μ2In+1-μ3Rn+1.（4）

根據(jù)生物的自然意義我們可知μ1≤μ2，又因為γ>0所以μ1<μ2+γ.那么

Nn≤λ+Nn-1-μ1Nn≤λ+Nn-11+μ1≤λ1+μ1×1+λ1+μ1+…+λ1+μ1n-1+1[]1+μ1nN0=λμ11-11+μ1n+1[]1+μ1nN0≤maxλμ1，N0.

如果λμ1≥N0，很容易看出當(dāng)n→+∞時，Nn≤λμ1.如果λμ1≤N0，從等式（4），得到

N1≤λ+N01+μ1<λμ1=N0.因此，我們可知有N1

接下來我將考慮系統(tǒng)（2）的無病平衡點E0的全局穩(wěn)定性.首先我們?nèi)匀患俣é拢↖）=β>0，其次我們使用類似于文獻[3]當(dāng)中的建立Lyapunov函數(shù)的方法證明無病平衡點E0的穩(wěn)定性.

定理2當(dāng)σ<1時，無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定.

證明我們考慮下面的Lyapunov函數(shù)：

Vn=In+c1∑τk=0（∑nl=n-kIl）ηk+c22（Sn-S0）2，這里ci>0（i=1，2），

ΔV=Vn+1-Vn=In+1-In+c1∑τk=0（In+1ηk-In-kηk）+c22{（Sn+1-S0）2-（Sn-S0）2}.

又因為當(dāng)n≥0時Sn

ΔV≤-c2μ1（Sn+1-S0）2-（μ2+γ-c1A）In+1+[βSn+1-c1-c2βSn+1（Sn+1-S0）]∑τk=0In-kηk+c2γe-μ2ω（Sn+1-S0）In-ω

選擇ci>0（i=1，2，3，4）滿足c1A<μ2+γ（5）與βSn+1-c1-c2βSn+1（Sn+1-S0）<0（6）

因為σ<1，可以知道βAS0<μ2+γ，我們選擇c1=βS0那么（5）就成立.將c1=βS0代入（6）得到β（Sn+1-S0）（1-c2Sn+1）<0，只要c2充分小也成立.因此ΔV是負(fù)定的并且ΔV=0時當(dāng)且僅當(dāng)Sn+1=S0，In+1=0.此定理證畢.

【參考文獻】

[1]WangW.GlobalbehaviorofanSIRSepidemicmodelwithtimedelays[J].Appl.Math.Lett.2002，15：423–428.

[2]ZhangH，ChenL，NietoJ.Adelayedepidemicmodelwithstage-structureandpulsesforpestmanagementstrategy[J].NonlinearAnal.RealWorldAppl.2008，9：1714–1726.

[3]SekiguchiM.GlobaldynamicsofadiscretizedSIRSepidemicmodelwithtimedelay[J].J.Math.Anal.App.2010，371：195-202.