金志春

【摘要】歸納總結(jié)了向量共線定理及其推廣的應(yīng)用，建立了“等勢線”的概念并研究其性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】向量；共線定理；等勢線

向量本身是數(shù)與形的完美結(jié)合的典范，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面.我們又以向量為工具，數(shù)形結(jié)合地解決數(shù)學(xué)的有關(guān)問題.筆者經(jīng)過多年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，向量特別是線性表示運(yùn)算是學(xué)生們較為頭疼的一類問題，本文就這類問題進(jìn)行闡述，并從蘇教版課本必修四《向量》中一道例題出發(fā)，結(jié)合多道例題進(jìn)行探討向量共線定理推廣的應(yīng)用；該題引出了向量共線定理的推廣，也為我們建立“等勢線”概念奠定了基礎(chǔ).

圖1原題：如圖1，△OAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，若AC=λCB（λ≠-1）.求證：OC=OA+λOB1+λ.

解析因為AC=λCB，

所以O(shè)C-OA=λ（OB-OC），

即（1+λ）OC=OA+λOB.

又因為λ≠-1，即1+λ≠0，

所以O(shè)C=OA+λOB1+λ.

反之，亦成立.易得到向量共線定理的一個推論（以下簡稱三點(diǎn)共線推論）：設(shè)OA，OB是平面內(nèi)不共線的兩個向量，則點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在唯一一對實數(shù)α，β，使得OC=αOA+βOB（α+β=1）.

利用這個推論，可以較為輕松的解決兩類問題：一是求系數(shù)和問題，二是求三點(diǎn)共線問題.若我們能利用好此推論，則可以在這兩類問題中省去很多添輔助線和證明過程.本文主要談?wù)劦谝环N問題.

圖2例1如圖2.在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ

SymbolNC@ R，λ+μ=.

分析連接EF，BD分別交AC于點(diǎn)H，O.

因為E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，

所以AH=αAE+βAF（α+β=1）.

易證H為OC中點(diǎn)，所以AH=34AC.

因此AC=43αAE+43βAF.

所以λ+μ=43α+43β=43.

點(diǎn)評這里先由E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線推論得AH用AE和AF線性表示，系數(shù)之和為1，再由AH與AC為共線向量，得其線性關(guān)系，兩者聯(lián)立，大功告成.

圖3例2給定兩個長度為1的平面向量OA，OB，他們的夾角為120°，如圖3所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y

SymbolNC@ R，則x+y的最大值是.

分析連接AB交OC于點(diǎn)H，

則由因為A，B，H三點(diǎn)共線，

所以O(shè)H=αOA+βOB（α+β=1）.

又因為O，C，H三點(diǎn)共線，

所以O(shè)H=λOC，λ

SymbolNC@ （0，1]，即OC=αλOA+βλOB.

因此x+y=αλ+βλ=α+βλ=1λ.

且λ=OHOC=|OH|，由O到AB的距離為12知，

λ

SymbolNC@ 12，1.

所以x+y的最大值為2.

事實上，以上兩題的解法也是眾多解法中比較簡單的，然而山外有山，筆者在研究了例題3基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)一種更為簡潔的解法.

圖4

例3如圖4所示，兩射線OA和OB交于O，給出下列向量：①OA+2OB；②34OA+13OB；③12OA+13OB；④34OA+15OB；⑤34OA-15OB這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)的是.（寫出所有符合要求的向量的序號）

分析在AB上取一點(diǎn)P，作射線OP.

在線段OP上取一點(diǎn)P1，線段OP外取一點(diǎn)P2，OP=αOA+βOB，（α+β=1）.

點(diǎn)P2在陰影部分中，由O，P，P2三點(diǎn)共線知，OP2=λOP，

且λ=OP2OP>1，所以O(shè)P2=λOP=λαOA+λβOB，

因此系數(shù)和λa+λb=λ（α+β）=λ>1所以只能選①②.

同理可得，當(dāng)點(diǎn)P1線段OP上時，則OP1=μOP=μαOA+μβOB，μ<1，所以系數(shù)之和小于1.

將此題進(jìn)行推廣，當(dāng)點(diǎn)P取在直線AB上時，OP=xOA+yOB，則x+y=1；當(dāng)點(diǎn)O，P位于直線AB的兩側(cè)時，形成的OP=xOA+yOB，系數(shù)和x+y>1；當(dāng)點(diǎn)O，P位于直線AB的同側(cè)時，形成的OP=xOA+yOB，系數(shù)和x+y<1.如圖5

圖5圖6圖7

若在AB的平行線CD上任取一點(diǎn)P，如圖6所示，OP=xOA+yOB，則系數(shù)和x+y等于一個常數(shù)，證明如下：在直線CD上任取一點(diǎn)P′，線段OP，OP′交直線AB于Q，Q′，由平行線分線段成比例可知OPOQ=OP′OQ′=λ，則OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系數(shù)和x+y=λα+λβ=λ（α+β）=λ；同理可得OP′=OQ′=λsOA+λtOB，其中s+t=1，所以系數(shù)和x+y=λs+λt=λ；證畢.

像這樣平行于AB的直線有無數(shù)條，筆者把這樣的直線叫做“等勢線”，由上面證明知“等勢線”上任意一點(diǎn)P，OP=xOA+yOB，x，y

SymbolNC@ R，系數(shù)和x+y為定值.且點(diǎn)O與“等勢線”位于直線AB兩側(cè)時，系數(shù)和大于1，兩者距離越遠(yuǎn)，系數(shù)和越大；當(dāng)“等勢線”位于直線AB上時，系數(shù)和x+y=1；當(dāng)點(diǎn)O與“等勢線”位于直線AB同側(cè)時，要分三種情況進(jìn)行討論：

①“等勢線”位于點(diǎn)O與直線AB之間時，OPOQ=λ

SymbolNC@ （0，1），則由OP=λOQ=λαOA+λβOB，其中α+β=1，所以系數(shù)和x+y=λ

SymbolNC@ （0，1）.

②“等勢線”位于點(diǎn)O，系數(shù)和x+y=0.

③點(diǎn)O位于“等勢線”與直線AB之間，如圖7，系數(shù)之和x+y=λ<0（λ為定值）.

若將上述結(jié)論用于例題1，延長AE交過點(diǎn)C的“等勢線”于點(diǎn)G，則AG=xAE+yAF，由于AG與AE共線，所以y=0，由“等勢線”概念可知，EF//CG，所以AEAG=AHAC=34，因此AG=43AE，最后λ+μ=x+y=43.

例題2也可用“等勢線”性質(zhì)求解，系數(shù)和取得最大值時“等勢線”恰為半圓的切線，由對稱性易得C為AB的中點(diǎn)，連接AC，BC得四邊形OACB為平行四邊形.所以此時OC=OA+OB，系數(shù)和x+y=1+1=2.

在此基礎(chǔ)上，筆者發(fā)現(xiàn)等勢線的運(yùn)用起來非常方便，絕大部分系數(shù)之和問題可以再很短的時間內(nèi)看出結(jié)論，

課本中的每一個例題、習(xí)題的設(shè)置都有其目的和作用.體現(xiàn)著本節(jié)知識所應(yīng)達(dá)到的能力要求，我們不僅要緊扣課本，認(rèn)識到認(rèn)真鉆研課本的重要性，突出課本基礎(chǔ)知識的作用突出課本例題中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用，也要重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘和利用，指導(dǎo)學(xué)生回歸課本，依“綱”固“本”，挖掘課本的潛在功能，對課本典型問題進(jìn)行引申、推廣，發(fā)揮其應(yīng)有的作用，這與高考命題的“源于課本，高于課本”的理念是相吻合的.