于伯韜

[摘要]封閉式基金折價之謎是行為金融學(xué)的重要課題，以前學(xué)者已從多個角度進(jìn)行解釋。本文在簡單總結(jié)前人研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，基于有限參與模型，從基金管理費、委托代理問題和風(fēng)險分散效應(yīng)三個角度對封閉式基金折價進(jìn)行新的解釋，并結(jié)合中國市場歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實證檢驗。

[關(guān)鍵詞]封閉式基金折價;行為金融學(xué);有限參與模型;委托代理問題

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.12.027

1封閉式基金折價的已有解釋

封閉式基金折價之謎由來已久，此前國內(nèi)外許多學(xué)者已從多個角度做出理論解釋和實證檢驗。傳統(tǒng)理論試圖在不破壞有效市場假設(shè)的前提下對封閉式基金折價做出解釋，它們認(rèn)為導(dǎo)致基金折價的主要原因有：代理成本、流動性限制、資本利得稅以及未來績效預(yù)期等。這些觀點各有一定的說服力，但都沒有解釋問題的所有方面。20世紀(jì)90年代以來，行為金融學(xué)打破了理性金融學(xué)關(guān)于投資者理性的假設(shè)，發(fā)展了新的觀點，對封閉式基金折價提出了新的解釋，其中包括：噪聲理論（DSSW理論）、非對稱信息解釋、投資者情緒理論、隨機換手理論、均勻流動性解釋、羊群行為等等。

2基于有限參與假說的模型

2.1模型假設(shè)

盡管過去許多學(xué)者從傳統(tǒng)金融學(xué)和行為金融學(xué)的角度對封閉式基金折價提出了各種觀點，但這些觀點仍不能很好地解釋這個謎題。本文參考Youngsoo（2007）的有限參與模型，從一個新的角度解釋封閉式基金折價之謎，并檢驗該模型是否能解釋中國封閉式基金市場的折價現(xiàn)象。這個模型的一大特點是考慮了封閉式基金的委托代理問題，并把這個因素量化到數(shù)學(xué)模型中。

基于有限參與假說考慮一個簡單的兩階段模型，這種假設(shè)的合理性在于投資者必須為了解調(diào)查更多的公司付出相當(dāng)大的固定成本。假定當(dāng)投資者了解一組資產(chǎn)的均值和協(xié)方差矩陣時，他們就算了解這組資產(chǎn)，所有的投資者對其了解的同一組資產(chǎn)具有同質(zhì)預(yù)期，所以具有同質(zhì)預(yù)期的投資者只有初始稟賦不同其他方面均相同。假定投資者僅了解可供投資的所有資產(chǎn)中的一部分，并且投資者只投資他們了解的資產(chǎn)，這種假設(shè)的動機在于從實證檢驗中發(fā)現(xiàn)投資者在其投資組合中通常只持有成千上萬可投資資產(chǎn)的一小部分。

在筆者的模型中，僅有一種無風(fēng)險資產(chǎn)、三種風(fēng)險資產(chǎn)和一種封閉式基金?；鸾?jīng)理用無風(fēng)險資產(chǎn)、風(fēng)險資產(chǎn)乙和風(fēng)險資產(chǎn)丙這三種他了解的資產(chǎn)構(gòu)建封閉式基金的投資組合。基金經(jīng)理在基金結(jié)束期收取基金收益的一部分作為基金管理的回報。在所有的投資者中，只有一部分投資者（我們稱之為投資者N）了解封閉式基金，這些投資者同時了解風(fēng)險資產(chǎn)甲和無風(fēng)險資產(chǎn)。因此投資者N投資于無風(fēng)險資產(chǎn)，封閉式基金份額和風(fēng)險資產(chǎn)甲。

根據(jù)這種假設(shè)，嘗試求解投資者N和基金經(jīng)理M的最優(yōu)選擇和封閉式基金份額的均衡價格?；谟邢迏⑴c假說，考慮三種影響封閉式基金折價或溢價的經(jīng)濟因素：基金管理費、委托代理問題和風(fēng)險分散效應(yīng)。

第一個經(jīng)濟因素是基金管理費。這是封閉式基金折價之謎的最早解釋因素之一。在完全參與假設(shè)下，基金份額價格等于凈資產(chǎn)價值（NAV）減去基金管理費。

第二個因素是委托代理問題。所謂委托代理問題是指代理人和委托人利益并不完全一致，在委托人處于信息劣勢，不能對代理人進(jìn)行完全監(jiān)督的情況下，代理人有動機為了自身利益，做出有損于委托人利益的行為，由此造成的委托人利益受損的現(xiàn)象。在我們的模型中，基金經(jīng)理在構(gòu)建投資組合時考慮的是如何使其基金管理費收入最大化而不是如何使投資者N的收益最大化，這種目的的不一致造成了基金份額價格偏離其NAV，由此產(chǎn)生委托代理問題。

第三個因素是風(fēng)險分散效應(yīng)。盡管基金管理費和委托代理成本能夠解釋封閉式基金份額折價，但它們都不能解釋基金的溢價情況，盡管這種情況很少見。風(fēng)險分散效應(yīng)基于封閉式基金收益和風(fēng)險資產(chǎn)甲收益的相關(guān)系數(shù)，能夠解釋基金的溢價現(xiàn)象。兩者的相關(guān)系數(shù)越低，風(fēng)險分散效應(yīng)越大，基金份額價格因此上升。當(dāng)僅考慮風(fēng)險分散效應(yīng)，忽略基金管理費和委托代理問題，封閉式基金收益與風(fēng)險資產(chǎn)甲收益呈負(fù)相關(guān)時，基金份額溢價交易。

2.2模型推導(dǎo)

在假設(shè)中共有三個不同的風(fēng)險資產(chǎn)，用Fk表示三種風(fēng)險資產(chǎn)在期末支付的隨機收益，k=1，2，3。Fk服從均值為μk的正態(tài)分布。用Fc表示表示封閉式基金份額在期末支付的隨機收益，其均值為μc，方差為σc，與風(fēng)險資產(chǎn)甲的協(xié)方差為σ1c。R表示無風(fēng)險資產(chǎn)在期末支付的收益，無風(fēng)險資產(chǎn)的期末支付R對包括基金經(jīng)理在內(nèi)的所有投資者是公開信息。用xjK表示投資者j持有的風(fēng)險資產(chǎn)k的數(shù)量，用Pc表示封閉式基金一單位份額的價格，用gk表示資產(chǎn)k預(yù)期的額外收益。

gk=E（Fk-PkR）=μk-PkR（1）

考慮一個了解風(fēng)險資產(chǎn)乙丙的基金經(jīng)理M（或一組相同的基金經(jīng)理），在期初建立封閉式基金并以確定的價格（通常溢價）向投資者出售基金份額。當(dāng)基金開始運行時，基金經(jīng)理用出售基金份額所得收入構(gòu)建投資組合，作為回報基金經(jīng)理在期末收取基金投資組合收益的一部分，記為。假設(shè)基金經(jīng)理在其私人賬戶不進(jìn)行任何風(fēng)險資產(chǎn)或基金份額的交易，因為這樣會消除基金的折價或溢價。

投資者在期初的初始稟賦為Wj，效用函數(shù)為負(fù)指數(shù)形式如下：

U（Wj）=-1ajexp（-ajWj）（2）

這樣規(guī)定的意義在于負(fù)指數(shù)形式的效用函數(shù)絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)為aj。

U′（W）=-e-aWU″（W）=-ae-aWRA（W）

=-U″（W）U′（W）=a（3）

投資者N希望其投資組合收益的期望效用最大化，而基金經(jīng)理希望基金管理費收入的期望效用最大化。假設(shè)發(fā)行在外的基金份額數(shù)量為1。

2.2.1對基金經(jīng)理而言的投資組合問題

基金經(jīng)理的目的在于通過持有適當(dāng)數(shù)量的風(fēng)險資產(chǎn)乙，xm2，和風(fēng)險資產(chǎn)丙，xm3，使其基金管理費收入Fc的期望效用最大化?；鹜顿Y組合的收益為：

Fc=WmR+xm2（F2-P2R）+xm3（F3-P3R）（4）

基金經(jīng)理持有風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)數(shù)量為：

xm2=σ23g2-σ2 3g3am[σ22σ23-（σ2 3）2]

和xm2=σ22g3-σ2 3g2am[σ22σ23-（σ2 3）2]（5）

2.2.2對投資者N而言的投資組合問題

投資者N可投資風(fēng)險資產(chǎn)甲、封閉式基金份額和無風(fēng)險資產(chǎn)，他了解風(fēng)險資產(chǎn)甲和基金份額期末隨機支付的均值和方差，同時也知道風(fēng)險資產(chǎn)甲和基金份額收益的協(xié)方差，他不知道的是基金經(jīng)理投資組合的構(gòu)成。

σ2c=var（Fc）=（xm2σ2）2+（xm3σ3）2+2xm2xm3σ23（6）

σ1c=cov（F1， Fc）=xm2σ12+xm3σ13（7）

μc=E（Fc）=WmR+xm2g2+xm3g3（8）

投資者N的目的在于選擇持有適當(dāng)數(shù)量的風(fēng)險資產(chǎn)甲，xN1，和基金份額，xNc，使得其期末財富的預(yù)期效用最大化。

N=NR+xN1（F1-P1R）+xNc[（1-）Fc-PcR]（9）

投資者N持有的風(fēng)險資產(chǎn)甲和基金份額的最優(yōu)數(shù)量為：

xN1=（1-）σ2cg1-σ1c[（1-）μc-PcR]aN（1-）[σ21σ2c-（σ1c）2]（10）

xNc=-（1-）σ1cg1-σ21[（1-）μc-PcR]aN（1-）2[σ21σ2c-（σ1c）2]（11）

2.2.3市場出清的均衡價格

當(dāng)投資者N持有全部發(fā)行在外的封閉式基金份額時，市場處于出清狀態(tài)，此時：xNc=1

由式（5）和式（8）得：

μc=E（Fc）=mR+amσ2c（12）

由式（10）、式（11）和“xNc=1”得：

xN1=1aNσ21[g1-aN（1-）σ1c]（13）

用NAV代替m，由式（12）、式（11）和“xNc=1”可得市場出清狀態(tài)下分隔壁是基金的價格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]-aNRσ1cxN1（14）

2.3模型解釋

我們從基金管理費、委托代理問題和風(fēng)險分散因素三個角度解釋上述模型。

2.3.1基金管理費

假設(shè)投資者N完全了解風(fēng)險資產(chǎn)甲、乙、丙，并可投資這些風(fēng)險資產(chǎn)（完全參與假說），那么無套利條件下封閉式基金份額的價格為：

Pc=（1-）NAV（15）

在投資者N完全參與的假設(shè)下，封閉式基金折價僅取決于基金管理費，基金管理費反映了基金經(jīng)理的參與成本或交易成本。

2.3.2委托代理問題

假設(shè)投資者N并不了解任何的風(fēng)險資產(chǎn)，即有限參與假設(shè)下，投資者只能投資無風(fēng)險資產(chǎn)和封閉式基金份額，容易得出這種狀態(tài)下的封閉式基金份額價格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]（16）

上述公式主要表達(dá)第二個因素，即委托代理問題對封閉式基金份額價格的影響，-σ2cR[aN（1-）-am]這一項即是由委托代理問題引起的。通常情況下，委托代理問題導(dǎo)致封閉式基金份額價格偏離其NAV，但是當(dāng)aN（1-）=am時除外，在這種情況下恰好沒有委托代理問題，基金的折價水平僅取決于基金管理費。為了說明這一點，我們回憶基金經(jīng)理和投資者N所面臨的最大化問題：

基金經(jīng)理：Max E[exp（1amFc）]

投資者N：Max E{exp[-aN（1-）Fc]}

當(dāng)aN（1-）=am時，這兩個最大化問題是相同的，也就是說，基金經(jīng)理和投資者N此時的目的是一致的，也就不存在委托代理問題。此時封閉式基金的交易價格等于基金的NAV減去基金管理費。

當(dāng)aN（1-）≠am時，封閉式基金的折價或溢價取決于投資者N和基金經(jīng)理的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)。當(dāng)投資者N更加風(fēng)險厭惡時，即aN>am1-時，投資者N對持有基金份額需要更多的補償，因此基金份額的交易價格發(fā)生折價。相反地，當(dāng)投資者N沒有那么風(fēng)險厭惡時，基金份額的交易價格發(fā)生溢價。因為通常小于2%，所以我們?nèi)菀椎贸鯽N>am1-和σ2cR[aN（1-）-am]>0。所以委托代理問題通常會引起封閉式基金折價。

2.3.3風(fēng)險分散效應(yīng)

假設(shè)當(dāng)aN（1-）=am時，容易得出此時基金份額的價格為：

Pc=（1-）NAV-aNRσ1cxN1（17）

此刻暫時不考慮委托代理問題，我們把-aNRσ1cxN1稱為風(fēng)險分散效應(yīng)。為了看清這一點，我們應(yīng)認(rèn)識到基金投資組合為投資者N提供了風(fēng)險分散效應(yīng)，因為它為投資者提供了更多的投資機會。風(fēng)險分散效應(yīng)主要取決于風(fēng)險資產(chǎn)甲和封閉式基金投資組合的相關(guān)系數(shù)σ1c，兩者間的相關(guān)系數(shù)越低，風(fēng)險分散效應(yīng)帶來的好處就越大，這和馬科維茨的經(jīng)典投資組合理論相一致。

在以下兩種情況下，風(fēng)險分散效應(yīng)為0 。一是當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)甲為無風(fēng)險資產(chǎn)，即σ1c=0;二是當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)甲為基金投資組合的一部分。第一種情況顯而易見，我們考慮第二種情況，在沒有委托代理問題的大前提下，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)甲為基金投資組合的一部分時，投資者N不必再持有任何額外的風(fēng)險資產(chǎn)甲，因為基金投資組合已為投資者N提供了最佳的風(fēng)險資產(chǎn)甲的數(shù)量，此時xN1=0。

綜上，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)甲和封閉式基金投資組合的相關(guān)系數(shù)為負(fù)時，-aNRσ1cxN1>0， 此時封閉式基金份額價格會上升。當(dāng)兩者間的相關(guān)系數(shù)足夠小，風(fēng)險分散效應(yīng)所造成的價格上升影響超過基金管理費和委托代理問題造成的價格下降影響時，基金份額就會溢價交易。這樣我們的模型就解釋了雖然罕見但有時確實存在的封閉式基金溢價交易情況。

3實證檢驗與結(jié)論

本文的另一個主要目的是檢驗有限參與模型是否能解釋中國封閉式基金的折價現(xiàn)象。我們選取23只在上交所上市的封閉式基金從2001年到2007年的周數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于國泰安數(shù)據(jù)庫。我們用上證指數(shù)代表中國市場投資組合的表現(xiàn)情況，用一年期定期存款利率代表無風(fēng)險利率。因為模型中的一些參數(shù)是以回報的形式展示而不是回報率，所以我們需要對式（14）進(jìn)行調(diào)整得：

PcNAV=（1-）1-NAV×σ2（rc）R[aN（1-）-am]-

cov（r1， rc）Rσ2（r1）[E（r1）-rf]-

aN（1-）×NAV×cov（r1， rc）]（18）

其中rf為無風(fēng)險利率;為基金管理費，=0.015。把風(fēng)險資產(chǎn)甲定義為中國市場投資組合，所以r1為上證指數(shù)收益率，E（r1）=0.13994，σ2（r1）=0.00023。σ2（rc）為封閉式基金NAV回報率的方差，cov（r1， rc）為上證指數(shù)收益率和封閉式基金收益率的協(xié)方差。我們把NAV標(biāo)準(zhǔn)化為1。aN和am是投資者N和基金經(jīng)理的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)，am=0.01055， aN=0.03165。在決定絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)的值時，參考Grundy（2002）的另一篇文獻(xiàn)，相對風(fēng)險厭惡系數(shù)為4對應(yīng)的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)為0.0211，容易假設(shè)投資者N比基金經(jīng)理更加的風(fēng)險厭惡，所以令投資者N的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)比0.0211大50%，令基金經(jīng)理的絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)比0.0211小50%，這樣絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)的平均值仍為0.0211。

根據(jù)上表可得上圖，圖中橫坐標(biāo)為基金NAV增長率與上證指數(shù)收益率的相關(guān)系數(shù)，因為折溢價率均為負(fù)，所以縱坐標(biāo)取折價率絕對值。由圖可以看出，近半數(shù)基金由模型計算出的折價率比較明顯地大于實際折價率，極少數(shù)基金由模型計算出的折價率比較明顯地小于實際折價率，其余基金的實際折價率與由模型計算出的折價率基本相同。由模型計算出的折價率數(shù)據(jù)和實際折價率數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為0.658711。總體來說，模型在一定程度上能解釋中國封閉式基金市場的折價原因，委托代理問題確實也是影響中國封閉式基金折價的因素之一。

但是仍應(yīng)該看到，模型對真實市場的折價情況解釋能力有限，僅在兩階段有限參與假設(shè)的框架下，模型不能解釋基金折溢價與基金發(fā)行時間長短的關(guān)系，也不能解釋為什么在基金發(fā)行的最初一兩個星期投資者會以一定的溢價購買封閉式基金份額等問題。模型假設(shè)只有一種封閉式基金，投資者具有同質(zhì)預(yù)期等等，種種苛刻假設(shè)簡化了許多問題，也為今后的研究提供了思路。

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