林致桐

摘 要：以動點變化產生的特殊圖形問題已成為中考數學精神、思想、方法的重要載體，是考察數學定義、定理、法則、公式的具體體現.通過對由動點變化產生的特殊圖形的模式與構圖的分析，不僅讓學生明晰了這類題型的解題思路、方法和技巧，也提升了教師自身研究試題的水平和教學能力.

關鍵詞：特殊圖形；模式化；構圖

近年來， 以動點變化產生的特殊圖形問題已成為中考數學精神、思想、方法的重要載體，也是考查數學定義、定理、法則、公式的具體體現，因此，解決動點變化產生的特殊圖形的問題，常常被命制成中考壓軸題，倍受中考命題者的青睞.但學生往往在動點變化產生的特殊圖形的構圖上存在很大的障礙，教師在教學中，若不能很好地引導學生進行模式訓練，提升學生的思維能力，易造成年年考，年年考不好的現象.為了突破這一障礙，起到舉一反三之效，筆者經過多年教學實踐與研究，并結合中考命題的經驗，對數學中考中動點變化產生的圖形的模式與構圖進行剖析，以求對教學有所啟迪和幫助.

1 動點變化產生的等腰三角形問題

例1 （2012年江蘇揚州中考題）已知拋物線y=ax2+by+c經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸如圖1.

（1）求拋物線的解析式.

（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC周長最小時，求P點的坐標.

（3）在直線l上的一個動點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

1.1 等腰三角形存在性問題的模式識別

在等腰三角形問題中，通常是確定一條邊，但這條邊可能作為腰，也可能作為底，則出現二種模式：如圖2

1.2 等腰三角形存在性問題的剖析圖

構成等腰三角形的作圖法為：（1）分別以定邊長的兩個端點為圓心，以定邊長為半徑畫圖，如圖3、圖4；（2）作定邊長的垂直平分線，如圖5所示.

1.3 解題思路點撥

（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中，求出待定系數即可.（2）由于A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的點p.（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC，②MA=MC，③AC=MC；可先設出點M的坐標，然后用M點的縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解.

2 動點變化產生的直角三角形問題

例2 （2012年海南省中考）如圖6所示，頂點為P（4，-4）的二次函數圖像經過原點（0，0），點A在該圖像上，OA交其對稱軸L于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON.

（1）求該二次函數的關系式.

（2）若點A的坐標是（6，-3），求△ANO的面積.

（3）當點A在對稱軸L右側的二次函數圖像上運動，請解答下列問題：

①證明：∠ANM=∠ONM.

②△ANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標，如果不能，請說明理由.

2.1 直角三角形存在性問題的模式識別

在直角三角形問題中，通常會確定一條邊，但這條邊可能是直角邊，也可能是斜邊，則出現二種模式：如圖7

2.2 直角三角形存在性問題的剖析圖

構成直角三角形的作圖法為：①以定邊長為直角邊，兩端點處角為直角如圖8，圖9；②以定邊長為直徑作圓.如圖10

2.3 解題思維點撥

（1）由于二次函數頂點為P（4，-4）以及經過原點，可設頂點式，由待定系數法即可求得.（2）求出直線OA的解析式，從而得到點M的坐標，根據對稱點N的坐標，求得MN的長，從而得到△ANO的面積.（3） 根據正切函數的定義，分別求∠ANM和∠ ONM正切值即可證明等式成立.（4）分∠AON是直角，∠NAO是直角和∠AND是直角三種情況討論，即可得到結論.

3 動點變化產生的相似三角形問題

例3（2012年湖南常德中考）如圖11，已知二次函數y=（x+2）（ax+b）的圖像過A（-4，3），B（4，4）.

（1）求二次函數的解析式.

（2）求證：△ACB是直角三角形.

（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過P點作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

3.1 相似三角形存在性問題的模式識別：

通常在相似三角形問題中，會確定一對應角相等，則可能出現另一對應角相等或相等的角的對應邊成比例兩種模式：如圖12.

3.2 存在相似三角形問題的剖析圖

構成相似三角形的作圖方法：在已知一對應角相等的情況下，只要互換另二個對應角相等.如圖13，圖14.

3.3 解題思維點撥

（1）求二次函數的解析式，也就是要求y=（x+2）（ax+b）中的a、b的值，只要把A（-4，3）、B（4，4）代入即可.

（2）求證：△ACB是直角三角形，只要求出AC、BC、AB的長度，然后用勾股定理及其逆定理去考查.

（3）是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似？先要選擇一點P，然后自P作垂線，構成Rt△PHD，把兩個三角形相似用條件，運用三角形相似的性質去構建關于點P的橫坐標的方程.

（未完待續(xù)）