王家東

[摘要]一直以來，高中數(shù)學(xué)解題是教師教學(xué)的難點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.解題的根本是對定義的了解和應(yīng)用.具體的教學(xué)實例證實，利用定義解題，可提高解題效率，取得事半功倍的效果.

[關(guān)鍵詞]定義解題教學(xué)實例

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）020061

“數(shù)學(xué)本身是演繹科學(xué)，常借助于定義和證明，用可靠的方法，按照定律推演，蔚然成為一門學(xué)科.”數(shù)學(xué)推理證明過程的每一步要有理有據(jù)，要嚴密，這就決定了定義是數(shù)學(xué)推理和解題的基礎(chǔ).直接利用定義解題的例子很多，而且利用定義解題有時還會收到意想不到的效果.

一、利用定義求值

【例1】已知圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）和直線l：ax+by=a2+b2.求圓截直線所得的弦長.

解析：解此題時，如果用常規(guī)的解法，將面臨解二元二次方程組的問題，非常復(fù)雜.但如果用定義解這道題，將易如反掌.因為由題意不難發(fā)現(xiàn)，圓心坐標恰好滿足直線l的方程，說明所截的弦恰好是圓的直徑，從而不難求出截得的弦長為2r.

二、利用定義求最值

【例2】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）內(nèi)有一點M（x0，y0），F(xiàn)為橢圓的右焦點，N為橢圓上一動點，求︱MN︱+ac︱NF︱的最小值.

解析：此題若運用代數(shù)方法求解，將計算量非常大，但通過分析，結(jié)合圖形及橢圓的定義易知︱NF︱d=e（e=ca，d為N點到橢圓右準線的距離），所以ac︱NF︱=d，所以︱MN︱+ac︱NF︱=︱MN︱+d，故當M，N連線垂直于橢圓的準線時，︱MN︱+ac︱NF︱有最小值，即M點到橢圓右準線的距離，從而不難求出最小值為a2c-x0.

三、利用定義解不等式

絕對值不等式歷來是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點，因為解決此類不等式要進行分類討論，過程較復(fù)雜，但如果巧妙利用有關(guān)定義，會使問題得到簡化.

【例3】求不等式︱x-2︱+︱x-3︱>1的解集.

解析：要解上述不等式，我們由數(shù)軸上兩點間的距離的定義及其計算公式可知：︱x-2︱+︱x-3︱恰是數(shù)軸上一動點M（x）到兩個定點P（2），Q（3）的距離之和.結(jié)合圖形易知：當M點在線段PQ上時，︱PM︱+︱QM︱=1，否則︱PM︱+︱QM︱>1.從而可知，不等式︱x-2︱+︱x-3︱>1的解集為（-∞，2）∪（3，+∞）.

四、利用定義求曲線的軌跡方程

【例4】已知圓C在y軸的右側(cè)，半徑為r（r>0），圓C與y軸相切，圓心C到F（1，0）的距離為r+1，求圓心C的軌跡方程.

解析：由題意可知，︱CF︱=r+1，而圓心C到y(tǒng)軸的距離為r，所以點C到直線l：x=-1的距離為r+1.所以點C到F（1，0）的距離與到直線l的距離相等，由拋物線的定義可知，C點的軌跡是以F點為焦點，l為準線的拋物線.所以，C點的軌跡方程為y2=4x.

五、利用定義證明結(jié)論

“圓的神奇直線”介紹的是方程x0x+y0y=r2的幾何意義.其實此結(jié)論可以推廣到任意的橢圓和雙曲線上.現(xiàn)在，我用曲線方程與方程的曲線的定義來證明此結(jié)論，過程相當簡單.

定理1：已知曲線C：x2a2±y2b2=1（a>0，b>0）上一定點M（x0，y0），則方程x0xa2±y0yb2=1表示的是曲線C中過M點的切線.

定理2：已知曲線C：x2a2±y2b2=1（a>0，b>0），M（x0，y0）為曲線外一點，過M點向曲線C引兩條切線，切點分別為P1，P2，則直線P1P2的方程為x0xa2±y0yb2=1.

證明：設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），由定理1可知，直線P1M的方程為x1xa2±y1yb2=1，P2M的方程為x2xa2±y2yb2=1.

又因為M點為直線P1M，PM2的交點.所以有M點既在直線P1M上，又在直線P2M上，所以有x1x0a2±y1y0b2=1，x2x0a2±y2y0b2=1.

所以P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐標均滿足方程x0xa2±y0yb2=1，從而定理2得證.

通過上述例題的解答，我們可以看出，有些數(shù)學(xué)問題如果不利用定義去解答，常會出現(xiàn)“山重水復(fù)疑無路”的情況.但通過巧妙的定義運用，往往又會收獲“柳暗花明又一村”的驚喜.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）