王 毅，劉三陽，程月蒙，余曉東

（1．西安電子科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西西安710071；2．空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

基于傾向性的直覺模糊相似度量方法

王 毅1，2，劉三陽1，程月蒙2，余曉東2

（1．西安電子科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西西安710071；2．空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

針對現(xiàn)有直覺模糊相似度量所存在的不足，提出一種基于傾向性的直覺模糊相似度量方法。首先，基于直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度呈均衡狀態(tài)假設，揭示了影響直覺模糊集相似性大小的3個相互作用因素之間的內部關系，給出了相似度量的幾何表示。其次，對現(xiàn)有部分相似度量方法在某些情況下無法表述的問題進行了分析，定義了滿足直覺模糊相似性的直觀約束條件，給出一種直覺模糊相似度量的公理化定義。再次，揭示了直覺指數(shù)對證據(jù)的傾向性影響，提出了一種基于傾向性的直覺模糊相似度量方法。最后，通過算例分析比較，驗證該方法的正確性、合理性、有效性。

直覺模糊集；相似度量；直覺指數(shù)；傾向性

0 引 言

Zadeh在1965年提出了模糊集理論，其核心是利用隸屬度函數(shù)來描述支持和反對的信息。但客觀世界中往往不僅呈現(xiàn)對模糊概念的支持與反對信息，還應體現(xiàn)出介于支持與反對之間的躊躇性。如投票模型中有支持與反對兩個方面，且有中立的情況發(fā)生。這類問題用模糊集是無法處理的。直覺模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS）作為模糊集的一種拓展，它增加了一個非隸屬度函數(shù)，可以表示支持、反對和中立3方面的信息，可以很好地解決此類問題［1］。由此引起國內外學者廣泛研究，并成功應用于諸多領域［26］。

作為IFS核心理論之一的相似性度量，國內外學者進行了不同方面的研究［7-16］。文獻［7］給出了一個直覺模糊相似度量的公理化定義，但條件過于寬松。文獻［8］對文獻［7］進行分析并給出了修正方法。隨后，文獻［11］通過求解最優(yōu)屬性權重，給出了一種新的相似度量方法。文獻［13］針對文獻［10］進行了分析，發(fā)現(xiàn)該算法在度量多個相近數(shù)組時，區(qū)分能力較弱。此外，文獻［16］從熵的角度研究了相似度量問題，文獻［15］從Vague集特征的不確定性角度討論了相似性度量求解方法，文獻［16］從Sugeno積分的角度給出了一種新的相似度量方法并應用于模式識別。從已發(fā)表的研究成果可以看出，許多學者從不同角度對直覺模糊相似度量方法進行了研究［7-12，1416］，但在其度量過程中忽視了直覺指數(shù)對隸屬函數(shù)的傾向性影響，丟失了部分信息，降低了匹配精度。而文獻［13］雖然考慮了直覺指數(shù)的傾向性影響，但在某些情況下所得結論卻與實際不符。由此，本文將從直覺指數(shù)對隸屬函數(shù)的傾向性影響角度出發(fā)，提出了一種基于傾向性的直覺模糊相似度量方法，該方法綜合考慮了隸屬度函數(shù)、非隸屬度函數(shù)、猶豫度函數(shù)以及直覺指數(shù)對隸屬函數(shù)傾向性影響這4部分信息，進而解決在度量兩個知識模式時信息不丟失的問題，并通過典型數(shù)據(jù)驗證了方法的有效性和適用性。

1 直覺模糊相似度量的幾何表示

文獻［6］給出了直覺模糊熵的構造方法，借鑒其思路，將直覺模糊熵的幾何表示拓展到直覺模糊相似度量中。

在匹配兩個IFS的相似度時，不僅要匹配兩個IFS的熵的相似度，即未知的信息量π（x），還要匹配兩個IFS的已知信息的相似程度，即隸屬度μ（x）和非隸屬度γ（x）。從而才能更加精細地刻畫兩個IFS之間的相似程度。如A＝｛μA（x），γA（x）｜x∈X｝，B＝｛μB（x），γB（x）｜x∈X｝。當｜μA（x）－μB（x）｜很小，｜πA（x）－πB（x）｜很大時，兩個直覺模糊相似度S（A，B）較小；特別地，當1－μA（x）＝1－μB（x）＝0，時，即猶豫度πA（x）＝πB（x）＝0時，有S（A，B）＝0。此時，IFS退化為非模糊集。此外，當｜μA（x）－μB（x）｜很小，｜πA（x）－πB（x）｜很小時，兩個直覺模糊相似度S（A，B）較大；當｜μA（x）－μB（x）｜＝0，｜πA（x）－πB（x）｜＝0時，兩個直覺模糊相似度S（A，B）完全相似。我們也可以這樣認為當｜πA（x）－πB（x）｜→0，點μA（x），μB（x）離直線L［μA（x）－μB（x）］＝0越近，精確相似度S（A，B）值越大，表明兩個直覺模糊集A，B越相似，反之越小，如圖1所示。

圖1 直覺模糊相似度的幾何表示

由圖1可知，在三維空間MON中，A，B為空間內任意兩點。當A（x）→π軸時，｜μA（x）－μB（x）｜→0，｜πA（x）－πB（x）｜→1時，則直覺模糊集S（A，B）較?。划擜（x），B（x）→π軸時，｜μA（x）－μB（x）｜→0，｜πA（x）－πB（x）｜→0時，則直覺模糊集S（A，B）較大。此外，在等邊三角形MON，過O點向MN線段作垂線交于P點，則線段L為等邊三角形MON的中垂線，當點A（x），B（x）→L，亦即點μA（x），μB（x）離直線L［μA（x）－μB（x）］＝0越近，精確相似度S（A，B）值越大，表明兩個直覺模糊集A，B越相似。

2 新的直覺模糊相似度量方法

2.1 現(xiàn)有直覺模糊相似度量的問題

為了簡便起見，以下記μx表示μA（x），γx表示γA（x），μy表示μB（y），γy表示γB（y）?，F(xiàn)將現(xiàn)有關于研究直覺模糊相似度量的方法列舉如下：

文獻［7］給出的直覺模糊集A，B之間的相似度量公式為

式中，S（x）＝μx－γx；S（y）＝μy－γy。

文獻［8］通過兩個IFS中隸屬度函數(shù)與非隸屬度函數(shù)之和的一半來度量兩個直覺模糊相似度的大小，即

在此基礎上，文獻［9］分析了SC與SH方法的缺陷，給出了一種新的解決方法為

文獻［10］給出了一種新的相似度量方法為

文獻［11］針對上述方法，對相似度量給出公理化定義，并對此提出了式（15）。

式中

文獻［12］分析了文獻［11］的不足，給出一個修正公式為

式中

文獻［13］中考慮了支持、反對和中立3方面的信息，給出一種具有偏好信息的相似度量方法為

文獻［14］分析了熵與相似度量的關系，給出了一種基于熵的相似度量方法為

文獻［15］給出了一種基于特征不確定性建模的相似度量求解方法為

文獻［16］給出了一種新的直覺模糊相似度量方法并用于模式識別，即

根據(jù)直覺模糊相似度量的幾何表示對文獻分析發(fā)現(xiàn)，若x＝（0，0），y＝（0.5，0.5），則有SC（x，y）＝1，SDC（x，y）＝1。當直覺模糊相似度為1時，這表明x與y是完全相似的，但x≠y，說明SC與SDC不合理，即在x和y中直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對證據(jù)呈均衡狀態(tài)時，式（1）和式（5）所得結果與實際不符；若x＝（0.4，0.2），y＝（0.5，0.3），SEp（x，y）＝1，即在x和y中直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對證據(jù)之差呈均衡狀態(tài)時，式（8）所得結果與實際不符。特別地，當進行兩個IFS相似度量時，若想要得到的相似度量值比較精確，則應該考慮到直覺指數(shù)對中立證據(jù)中支持與反對的傾向性影響，當計算（0.4，0.2）與（0.3，0.3）的相似度時，SC、SH、SO、SL、SDC與SHB的相似度均為0.9，這表明以上公式均沒有考慮直覺指數(shù)的傾向性影響。SHW雖然考慮了直覺指數(shù)對證據(jù)的傾向性影響，使其在計算相似度時的分辨能力大大提高，但仍存在某些不足。如比較（0.4，0.2）與（0.3，0.2）、（0.4，0.2）與（0.3，0.3）的相似度時，可以直觀地看出（0.4，0.2）與（0.3，0.2）的相似度應該大于（0.4，0.2）與（0.3，0.3）的相似度，但SHW計算出的相似度卻恰恰相反，這顯然與實際不符，表明文獻［13］所給具有傾向性的相似度量方法，在某些情況下，仍然是不滿足人們直覺的。

通過上述分析，可以得出文獻［7－15］在某些情況下存在以下無法表述的問題：（1）直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度呈均衡狀態(tài)時，SC與SDC無法表述；（2）直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度之差呈均衡狀態(tài)時無法表述；（3）直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)對支持與反對證據(jù)具有傾向性時，SC，SH，SL，SO，SDC，SHB，均無法表述。

2.2 直覺模糊相似度量的公理化定義

針對上述文獻在某些情況下存在無法表述的問題，依據(jù)文獻［11］所給出的相似度量一般定義并結合直覺模相似度量的三維表示以及直覺指數(shù)對隸屬度函數(shù)的傾向性程度，對基于傾向性的直覺模糊相似度量進行重新定義。

定義1 稱函數(shù)S：IFSS（X）×IFSS（X）→［0，1］為直覺模糊集A和B之間的相似度量，如果其滿足如下約束條件：

約束1 0≤S（A，B）≤1；

約束2 若αA＝αB，βA＝βB，則S（A，B）＝1當且僅當A＝B；

約束3 S（A，B）＝S（B，A）；

約束4 S（A，B）＝0當且僅當μA（xi）＝［0，1］，γA（xi）＝［1，0］或μA（xi）＝［1，0］，γA（xi）＝［0，1］；

約束5 若A?B?C，則S（A，C）≤min［S（A，B），S（B，C）］。

則稱S（A，B）是直覺模糊集A，B之間的相似度量。α，β表示直覺指數(shù)對支持和反對證據(jù)的傾向性程度。

2.3 基于傾向性的直覺模糊相似度量

文獻［7- 15］從不同角度研究了相似度量方法，雖然給出的方法都滿足相似度量的基本準則，但在考慮影響相似度量的因素時，都存在不足之處。以投票模型為例，假設有10人投票，其中4人贊成，4人反對，2人棄權。那么下一次投票中，這2人是投贊成，還是反對或者仍然棄權，則存在一個猶豫度的傾向性問題。對此受到啟發(fā)，將猶豫度πx進一步細化為3個部分（μxπx，γxπx，πxπx），于是元素x隸屬情況用隸屬度、非隸屬度與猶豫度分別表示為（μx，γx，πx）＝（μ′x＋απx，γ′x＋βπx，πxπx），并提出一種基于傾向性的直覺模糊相似度量方法。

定理1 設

則兩個直覺模糊相似度量S（A，B）為

式中

將式（11）擴展為

式中，α，β表示對元素xi中直覺指數(shù)對支持和反對證據(jù)的傾向性程度，α，β∈［0，1］且α＋β＜1。

證明

約束1 因為

則有

于是有－1≤（αA－βA）πA（xi）≤1。從而可以得出S（A，B）∈［0，1］。

約束2 因為

又因為

所以

即A＝B。

約束3 S（A，B）＝S（B，A）是平凡的。

約束4 因為S（A，B）＝0??xi∈U，

或

于是有πA（xi）＝πB（xi）＝0。又因為

所以μA（xi）＝μ′A（xi），γA（xi）＝γ′A（xi），同理，μB（xi）＝μ′B（xi），γB（xi）＝γ′B（xi）。于是有A＝［1，0］，B＝［0，1］；或A＝［0，1］，B＝［1，0］，即A，B為非模糊集。

約束5 為了簡便，設

因為A?B?C?

所以

于是有

所以

3 算例分析

以下通過現(xiàn)有的10種方法與本文所給方法（記為S*）進行比較，并通過典型數(shù)據(jù)樣本［8－15］，對其分析進而驗證本文方法的正確性與有效性，如表1所示。在這式（12）中，α，β表示對元素xi中直覺指數(shù)對支持和反對證據(jù)的傾向性程度，α，β∈［0，1］（取α＝1／4，β＝1／4）在實際應用中，可以根據(jù)問題的側重點而靈活選擇α和β的值，只要滿足條件α≥0，β≥0且α＋β＝1／2即可。

通過表1可以看出，通過6組典型數(shù)據(jù)驗證，本文所給方法與以上10種相似度量方法在進行知識匹配時，所得結果基本一致，說明本文方法是正確性的、有效的。

此外，在度量數(shù)組3、數(shù)組4、數(shù)組5的相似度時，S*的區(qū)分能力明顯優(yōu)于SC、SH、SO、SL、SDC、SHB與SG的匹配結果，進一步提高知識匹配的分辨能力。SHW、SHwang雖然也能進行分辨，但在匹配數(shù)組3與數(shù)組6時，我們可以直觀看出，數(shù)組3比數(shù)組6中包括的支持度更高，從而得到數(shù)組3的相似度大于數(shù)組6的相似度，而SHW、SHwang所得結果卻是較小，顯然與事實相反，也是不符合直覺的。

表1 直覺模糊集之間的各種相似度量方法比較

通過上述典型數(shù)據(jù)算例驗證，本文所給方法不僅考慮了支持、反對、中立3方面的信息，而且還體現(xiàn)了直覺指數(shù)對支持、反對及其中立三者的傾向性影響，使其在度量兩個知識模式時，信息不丟失，匹配精度值顯著提升，具有更強的區(qū)分與辨別能力。

4 結 論

本文的主要貢獻是從直覺指數(shù)對隸屬函數(shù)的傾向性影響的角度，研究了直覺模糊相似度量方法。通過分析現(xiàn)有直覺模糊相似度量方法，給出了直覺模糊相似度量的幾何表示，揭示了文獻［7- 15］中直覺指數(shù)所表征的中立證據(jù)中支持與反對的程度呈均衡狀態(tài)以及支持與反對之差的程度呈均衡狀態(tài)時，所得結果無法表述的問題。探討了滿足直覺模糊相似度量的直觀約束條件并對其進行了公理化定義?？坍嬃酥庇X指數(shù)對隸屬函數(shù)的傾向性影響，構建了基于傾向性的直覺模糊相似度量模型。通過典型算例驗證了本文方法的正確性與有效性，并通過數(shù)組3～數(shù)組6高精度數(shù)據(jù)匹配實驗充分體現(xiàn)了基于傾向性的直覺模糊相似度量方法與其他10種方法相比，具有更強的區(qū)分能力和分辨能力?？蛇M一步為近似推理、模式識別、威脅評估等問題提供更高的精度值。

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Intuitionistic fuzzy similarity measure approach based on orientation

WANG Yi1，2，LIU San-Yang1，CHENG Yue-Meng2，YU Xiao-Dong2
（1.School of Mathematics and Statistics，Xidian University，XI’an 710071，China；2.Air Defense and Anti-missile Institute，Air Force Engineering University，Xi’an，710051，China）

A approach to intuitionistic fuzzy similarity measure based on orientation is proposed．Aiming at the deficiency of the present Intuitionistic fuzzy similarity measures．First，the internal relationships of three interacting factors which directly affect intuitionistic fuzzy similarity are revealed and then three-dimensional illustration is presented based on the hypothesis that the supportability and opposability of neutral evidences are in an equilibrium state indicated by the intuitionistic index．Second，the problems that existing intuitionistic fuzzy similarity measures cannot express are analysed，some explicit constraints for intuitionistic fuzzy similarity are given and thus an axiomatic definition of intuitionistic fuzzy similarity measures is put forward．Third，with the revelation of the impact of intuitionistic index on evidence，a approach to intuitionistic fuzzy similarity measure is proposed．Finally，through analyzing and comparing by a set of calculating examples，it is proved that the proposed approach is correct，reasonable and valid．

intuitionistic fuzzy set（IFS）；similarity measures；intuitionistic index；orientation

TP 182；TP 391

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．21

王 毅（1979-），男，講師，博士，主要研究方向為智能信息處理。E-mail：wangyi．kgd＠gmail．com

劉三陽（1959-），男，教授，博士，主要研究方向為智能信息處理和最優(yōu)化。E-mail：liusanyang＠126．com

程月蒙（1982-），男，講師，碩士，主要研究方向為智能信息處理。E-mail：chengmm＠126．com

余曉東（1985-），男，博士研究生，主要研究方向為智能信息處理。E-mail：yuxiaoDong＠163．com

1001-506X（2015）04-0863-05

2014- 11- 07；

2014- 10- 21；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014- 11- 19。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141119．2150．002．html

國家自然科學基金（61402517）；中國博士后基金（2013M542331）；國家重點實驗室開放基金（2012ADL－DW0301）；陜西省自然科學基金（2013JQ8035）資助課題