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高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”專題教學(xué)研究

2015-06-02 13:29:45張麗
關(guān)鍵詞:專題教學(xué)數(shù)列差分

張麗

摘 要:高中階段的數(shù)列、差分專題教學(xué),對(duì)學(xué)生日后的生活非常有幫助,這一專題教學(xué),可有效提高學(xué)生自身的綜合素質(zhì),對(duì)于滿足學(xué)生多元化的需求,意義重大。本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”進(jìn)行闡述,并在此基礎(chǔ)上就如何進(jìn)行專題教學(xué),談一下自己的觀點(diǎn)和認(rèn)識(shí),以供參考。

關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);數(shù)列;差分;專題教學(xué);研究

中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A 文章編號(hào):1992-7711(2015)04-068-01

高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,尤其是“數(shù)列與差分”專題教學(xué),可幫助學(xué)生有效解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題,實(shí)用價(jià)值非常的大。

1. 數(shù)列與差分關(guān)系分析

第一,數(shù)列是描述世界客觀事物的數(shù)學(xué)模型。數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的特殊函數(shù),對(duì)客觀存在的各種離散變量進(jìn)行描述。實(shí)踐中可以看到,客觀存在的很多變量本身都表現(xiàn)出一定的離散性,比如細(xì)胞分裂、股市等,均具有函數(shù)關(guān)系的離散性特點(diǎn)。同時(shí),還存在著很多連續(xù)函數(shù)關(guān)系,無法用解析式對(duì)其進(jìn)行表示,比如河流的水位變化等,只能通過測(cè)得相應(yīng)數(shù)值來得到數(shù)列。在不影響研究結(jié)果的情況下,為了更加方便分析研究,通常將對(duì)連續(xù)函數(shù)的研究有效地轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)列的研究。

第二,差分是對(duì)數(shù)列變化進(jìn)行描述的一種工具。比如,△an=an+1.其中,an 代表{an}這一數(shù)列中的第n項(xiàng)一階差分,并將“△”稱作差分算子,此時(shí)有△(△an)=△2;an=△an+1;其中△an代表{an}這一數(shù)列的第n項(xiàng)二階差分。對(duì)于二階差分△2an而言,其中的2代表差分兩次運(yùn)算。{an}這一豎列的二階差分,構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)列,即{△2an}。事實(shí)上,高中數(shù)學(xué)數(shù)列與差分之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性,具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:當(dāng){an}={2,2,2,2,2}時(shí),一階差分△an為{0,0,0,0};此時(shí)數(shù)列的一階差分為各項(xiàng)是零的常數(shù)列;再如,當(dāng){an}={3n-5}時(shí),即{an}={-2,1,4,7,10,13,16,19};一階差分△an為常數(shù)列 {3,3,3,3,3,3,3},通項(xiàng)an=3n-5(線性函數(shù))。當(dāng){an}這一數(shù)列是由線性函數(shù)定義的等差數(shù)列時(shí),一階差分即為常數(shù)列;當(dāng){an}= {n2-3n+5}= {3,3,5,9,15,23}時(shí),一階差分為{0,2,4,6,8},二階差分為{2,2,2,2},通項(xiàng)an=n2-3n+5(二次函數(shù))。當(dāng){an}這一數(shù)列由二次函數(shù)定義時(shí),二階差分為常數(shù)列。若將上述由二次函數(shù)、線性函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)定義的不同階差分結(jié)論作為定理,則這些結(jié)論對(duì)基于數(shù)列的一階和二階差分,對(duì)研究數(shù)列遵循變化情況、數(shù)列通項(xiàng),意義重大。

2. 高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”教學(xué)策略

本文以待定系數(shù)法求解差分方程為例,對(duì)如何進(jìn)行數(shù)列與差分教學(xué)深入分析。所謂待定系數(shù)法求解差分方程、常微分方程思想,可以對(duì)比分析;在非齊次線性差分方程求解過程中,采用待定系數(shù)法應(yīng)用效果也非常的好。從應(yīng)用實(shí)踐來看,采用待定系數(shù)法對(duì)差分方程進(jìn)行求解,主要是基于方程自身的特點(diǎn),設(shè)一般模式,然后再根據(jù)相關(guān)條件,確定解之后將其代入方程之中,從而求得待定系數(shù)。比如,當(dāng)K≠1時(shí),一階非齊次差分方程可表示為xn+1=kxn+b①,此時(shí)得到一個(gè)特定解,即xn=A;將xn=A代入公式①中,則可得A=kA+b,A=b/(1-k),此時(shí)xn=b/(1-k),一階非齊次差分方程通解:xn=knc+ b/(1-k),(其中c代表任意常數(shù));當(dāng)k=1時(shí),xn+1=xn+b的一階差分是一個(gè)常數(shù),設(shè)xn=An特解,然后將其代入原方程之中,此時(shí)A(n+1)=An+b,即A=b;xn=bn;方程①的通解:xn=knc+ bn=c+bn(其中,c代表任意常數(shù))。以下可通過具體的例子來說明上述理論分析。

例1:某教室內(nèi)的座位布設(shè)過程中,如果每后一排均比前一排插座數(shù)量多出2個(gè),而且已知首排插座數(shù)量為30,求以下四個(gè)問題的解。

①用yn表示n排插座的數(shù)量,試求yn與yn+1的關(guān)系;

②試求第九排插座的數(shù)量是多少?

③以Sn來表示第n排之前插座的總數(shù),試求Sn與Sn+1的關(guān)系?

④若該教室共有20排插座,試問可以同時(shí)坐多少個(gè)學(xué)生?

解:①yn+1=yn+2;其中n=1,2… ②從題目中可知,k=1,b=2,此時(shí)yn=2n+c,(其中c代表任意常數(shù));已知y1=30,則可求出c=28,此時(shí)的特解方程為yn=2n+28,即y9=46;③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2(n+1)+28,此時(shí)Sn+1= Sn+30,n=1,2… ④通過③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30,即Sn=2n+30,此時(shí)可得到數(shù)列Sn一階差分表達(dá)式二次函數(shù),將這一二次函數(shù)設(shè)為:Sn=An2+Bn+C,可得Sn= A(n+1)2+B(n+1)+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30;A=1,B=29,結(jié)合條件可得y1=30=S1,30=A+B+C, Sn=n2+29n,n=1,2… 由此可得S20=980.

3. 結(jié)語

總而言之,數(shù)學(xué)這門學(xué)科的實(shí)用性非常的強(qiáng),將數(shù)列與差分教學(xué)納入新課改下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程之中,既是課程改革和教學(xué)的需求,又是學(xué)科發(fā)展的必然,因此應(yīng)當(dāng)重視和不斷創(chuàng)新教學(xué)模式,只有這樣才能提高教學(xué)質(zhì)量和效率。

[參考文獻(xiàn)]

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年·下半月,2014(01).

[2] 李昌官.高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)研式教學(xué)”研究與實(shí)踐[J].課程、教材、教

法,2013(02).

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