王勝華, 潘世富

(1.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001; 2.南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，江西南昌300031))

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細(xì)菌種群中一類遷移算子的占優(yōu)本征值問題

王勝華1, 潘世富2

(1.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001; 2.南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，江西南昌300031))

在L2空間上，研究了一類具增生的細(xì)菌種群中具一般邊界條件的遷移方程，得到了這類方程相應(yīng)的遷移算子的占優(yōu)本征值存在性等結(jié)果。

細(xì)菌種群；一般邊界條件；遷移方程；遷移算子；占優(yōu)本征值

1 引言

本文研究了以下一類具增生的細(xì)菌種群中遷移方程：

(1.1)

其中ψ=ψ(u,v,t)表示關(guān)于細(xì)菌的成熟度u(0

(1.2)

其中α，p≥0表示每一能有絲分解子細(xì)菌的平均數(shù)，p=1時(shí)保證了細(xì)菌通量的連續(xù)性，正核k=k(v,v')表示母體細(xì)菌v'和它的子細(xì)菌v間成熟速率的相互關(guān)系，并滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件

(1.3)

本文關(guān)注更 一般的生物規(guī)律，即在數(shù)學(xué)上表為更一般的邊界條件：

ψ(0,v,t)=Kψ(1,v,t)

(1.4)

其中K表示邊界空間上的有界線性算子。關(guān)于這類具增生的細(xì)菌種群中的遷移方程是由M.Rotenberg在文獻(xiàn)[1]中提出來的，之后對該模型有許多研究工作(部分見文獻(xiàn)[2-7])。最近，文獻(xiàn)[6,7]在L1空間研究了這類模型，在邊界條件α=0和邊界算子為可容許算子[5,6]的情況下，得到了該模型相應(yīng)的遷移算子產(chǎn)生不可約正C0半群，并討論該遷移算子的譜和遷移方程解的漸近行為等。但是對邊界條件(1.2)中αp≠0時(shí)的邊界算子不是可容許算子，我們得到了該模型相應(yīng)的遷移算子的譜分析和遷移方程解的漸近行為等結(jié)果。本文在L2空間得到了這類模型相應(yīng)的遷移算子的占優(yōu)本征值存在性等結(jié)果。

2 準(zhǔn)備知識

本節(jié)主要給出一些本文需要的空間和算子以及相關(guān)的結(jié)果。設(shè)

X=L2(D,dudv),D=(0,1)×(a,b)=I×J,(0≤a

它們分別按范數(shù)

和

構(gòu)成的Banach空間。引進(jìn)邊界空間和范數(shù)分別為

Xi=L2(Γi,dv),i=1,2;Γ1={(0,v):v∈J};Γ2={(v,v):l∈J}.

引理2.1[5]若ψ∈W，則ψ|Γ1∈X1的充要條件為ψ|Γ2∈X2.其中

ψ|Γ1=ψ(0,v),ψ|Γ2=ψ(v,v).

定義遷移算子A為：

其中σ(.,.)∈L∞，邊界算子K為：

K:X2→X1,Kψ|Γ2=ψ|Γ1.

對φ∈X,λ∈C,ψ∈D(A),考慮方程

(λ-A)ψ=φ.

(2.1)

則?λ,Reλ>-σ(σ=essinf{σ(u,v) ∈I×J}),方程 (2.1)可形式地解為：

(2.2)

取u=a,則(2.2)式為：

(2.3)

根據(jù)(2.2)式和(2.3)式引進(jìn)如下算子：

則由H?lder不等式知以上算子都是有界的，且

并在X+(X的正錐)上Bλ、Dλ、Eλ和Fλ都為正算子。從而(2.3)式和(2.2)式分別為：

ψ|Γ2=BλKψ|Γ2+Eλφ.

(2.4)

ψ=DλKψ|Γ2+Fλφ.

(2.5)

3 算子A的譜

假設(shè)(O1):K=K1+K2,Ki≥0,i=1,2;K1為有界算子，K2為緊算子。

定理3.1[5]假設(shè)(O1)被滿足，且存在數(shù)λ0,使得?λ>λ0,有

rσ(BλK1) <1.

(3.1)

(2)若rσ(Bλ0K2) >1,則有σ(A)≠?。

其中σ(A)表示遷移算子A的譜集。

(3)σ(A)∩{λ∈|Reλ>-σ}僅由有限個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值組成。

引理3.2[5]遷移算子A在空間X上產(chǎn)生正不可約C0半群。

引理3.3[8]遷移算子A是空間X上的正不可約C0半群，則A(A*)的正本征函數(shù)為嚴(yán)格正的。其中A*為A的共軛算子。

為了給出遷移方程(1.1)解的大時(shí)間漸近行為，我們將證明該方程(1.1)相應(yīng)的遷移算子A的占優(yōu)本征值的存在性。為此，我們先引入算子的占優(yōu)本征值的定義：

定義3.4[9]設(shè)A是Banach空間X上的閉稠定算子，β0是A的離散本征值，若

(1)β0是一個(gè)實(shí)數(shù)；

(2)β0的代數(shù)重?cái)?shù)為1;

(3)?λ∈σ(A),λ≠β0,Reλ<β0;

(4)β0是A的具非負(fù)本征函數(shù)的唯一本征值。

定義3.5[8]設(shè)F∈X,則對G∈X,定義

從文獻(xiàn)[8,A-III,3.6],我們引入留數(shù)的定義.設(shè)λ0∈σ(A) 是A的離散本征值，函數(shù)R(λ,A)關(guān)于λ的Laurent級數(shù)為：

其中系數(shù)bn是有界線性算子，且

(3.2)

系數(shù)b-1為譜集{λ0}的譜投影，被稱為R(·,A) 在λ0的留數(shù)，且被表示為

由(3.2)式可知：

b-(n+1)=(A-λ0I)n·P,b-(n+1)·b-(m+1)=b-(n+m+1),n,m≥ 0.

(3.3)

如果存在k>0,使得b-k≠0,且對一切n>k,有b-n=0,則λ0被稱為R(·,A)的k階極點(diǎn)。根據(jù)(3.3)式，有b-k≠0,b-(k+1)=0。由此可知：

(3.4)

由于P是正的，則P*(P的共軛)也是正的。根據(jù)定義3.5，對φ,φ∈X,有

定理3.6如果假設(shè)(O1)成立，則β0是遷移算子A的占優(yōu)本征值。

證明.(1)根據(jù)定理3.1，我們知道β0是實(shí)數(shù)。

(2)現(xiàn)在，我們需要證明β0的代數(shù)重?cái)?shù)為1.以下分兩步證明。

第一步 找一個(gè)函數(shù)ψ0∈ker(β0I-A)是嚴(yán)格正的。

事實(shí)上，對λ>λ0≥β0,其階數(shù)是k,則由(3.4)式知：k是Laurent級數(shù)的最高系數(shù)。即

易知：b-k正算子，則存在g≥0,使得ψ0:=b-kg≥0,且

即ψ0是β0的一個(gè)正本征函數(shù)，根據(jù)引理3.3,知道ψ0是嚴(yán)格正函數(shù)。

此外，若ker(β0I-A)含一個(gè)嚴(yán)格正函數(shù)ψ0,則β0是一階級點(diǎn)。

PD(A)=ker(β0I-A),P*D*(A)=ker(β0I-A*).

(3)現(xiàn)在我們來證明定義3.4(3),即?λ∈σ(A),λ=β0,有Reλ<β0.事實(shí)上，我們僅需證明Reλ≠β0,因?yàn)棣?是譜界。

首先，我們說明：若?ψ∈ker(β0-A),ψ≠0,則|ψ|∈ker(β0-A).

因?yàn)锳ψ=β0ψ,則U(t)ψ=eβ0 tψ([8,A-III,Cor.6.4]).由于U(t)是正的，則

eβ0 t|ψ|=|eβ0 tψ|=|U(t)ψ|≤U(t)|ψ|,i.e.U(t)|ψ| -eβ0 t|ψ| ≥ 0,

(3.5)

(3.6)

A|ψ|=β0|ψ|.

(3.7)

現(xiàn)在，假設(shè)Reλ=β0,令λ=β0+iα,α≠0,根據(jù)(3.7)式，有A|ψ|=β0|ψ|,其中ψ∈ker(β0I-A),所以β0+iαn∈σ(A) (n∈N)[8]。這當(dāng)n充分大時(shí)與定理3.1(3)矛盾即?λ∈σ(A),λ=β0,有Reλ<β0.

(4)最后，我們證明定義3.4(4),即β0是A的唯一具有非負(fù)本征函數(shù)的本征值。

假設(shè)有另一本征值λ,其中λ=β0,ψ∈X,ψ≠0是它的本征函數(shù)，則

因此，根據(jù)定義3.4,我們完成了定理3.6的證明。

[1]RotenbergM.Transporttheoryforgrowingcellpopulations[J].JtheorBiol, 1983, 103： 181-199.

[2]BoulanouarM.Transpotequationincellpopulationdynamics(I)[J].ElecDiffEquaN， 2010, 144：1-20.

[3]BoulanouarM.Transpotequationincellpopulationdynamics(II)[J].ElecDiffEquaN， 2010, 145：1-20.

[4]王勝華，翁去芳，陽名珠.人體細(xì)胞增生中的一類遷移算子的譜分析[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2010,30A(4):1055-1061.

[5]王勝華，吳軍建.種群細(xì)胞增生中一類Rotenberg模型[J]. 應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2014,16(4):296-303.

[6]BoulanouarM.Transpotequationforgrowingbacterialpopulations(I)[J].ElecDiffEqua， 2012, 221：1-25.

[7]BoulanouarM.Transpotequationforgrowingbacterialpopulations(II)[J].ElecDiffEqua， 2012, 222：1-21.

[8]NagelR，GreinerG,LectureNotesinMathematics[M].NewYork:Springer, 1986.

[9]WangShenghua,YangMingzhu，XuGenqi,Thespectrumofthetransportoperatorwithgener-alizedboundaryconditions[J].TransportTheoryandStatisticalPhysics, 1996,25(7):811-823.

[10]YangMingzhu，ZhuGuangtian.Spectrumofneutrontransportoperatorwithanisotropicscat-teringandfission,Scientia

Sinica, 1981，(4)：476-482.

Dominant Eigenvalue's Problem of a Transport Operators in Bacterial Population

WANG Sheng-hua1, PAN Shi-fu2

(1.School of Mathematics & Computer Science, Shangrao Normal University,Shangrao Jiangxi 334001,China; 2.Department of Methmetics of Nanchang University,Nanchang Jiangxi 330031,China)

The objective of this paper is to research that the transport equations for a growing bacterial populations model with generalized boundary conditions inL2space.itistoobtainthattheexistenceofdominanteigenvalueforthetransportoperator.

bacterial populations; generalized boundary conditions; transport equation; transport operator; dominant eigenvalue

2015-11-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461055)；江西省自然科學(xué)基金資助課題(2015BAB201029)

王勝華(1956-)，男，江西余干，教授，博士，研究方向：遷移方程。E-mail:wshua@sru.jx.cn

0177.2

A

1004-2237(2015)06-0001-05

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.001