普粉麗，張汝美，楊吉英

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665000）

Diophantine方程x3＋53＝2pqy2的整數(shù)解

普粉麗，張汝美，楊吉英

（普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665000）

設(shè)p≡13（mod 24）為奇素?cái)?shù)，q≡19（mod 24）為奇素?cái)?shù).運(yùn)用同余的性質(zhì)、Legendre符號(hào)的性質(zhì)等得出了Dio?phantine方程x3＋53＝2pqy2無正整數(shù)解的一個(gè)充分條件.

Diophantine方程；奇素?cái)?shù)；整數(shù)解；同余；Legendre符號(hào)

三次不定方程：

是一類重要的方程，其整數(shù)解已有不少人研究過．文獻(xiàn)［1］對(duì)（1）中a＝1的情況進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［2－3］對(duì)方程（1）中a＝2的情況進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［4］對(duì)方程（1）中a＝4的情況進(jìn)行了研究．a(chǎn)＝5時(shí)，方程（1）變?yōu)椋?/p>

對(duì)于方程（2），目前結(jié)果還不多見，當(dāng)D不能被6k＋1形素?cái)?shù)整除時(shí)其結(jié)論主要見文獻(xiàn)［5－6］，當(dāng)D能被6k＋1形素?cái)?shù)整除時(shí)其結(jié)論主要見文獻(xiàn)［7－11］．本文主要討論D含2，同時(shí)含2個(gè)6k＋1形素因子方程x3＋125＝Dy2的整數(shù)解的情況．

故由引理1得方程（5）至多有2組正整數(shù)解，所以此時(shí)方程（3）至多有2組正整數(shù)解，故當(dāng)x≡0（mod 5）時(shí)方程（3）在題設(shè)條件下至多有2組正整數(shù)解．

當(dāng)x≡0（mod 5）時(shí)，此時(shí)x＋5≡0（mod 5），則方程（3）為gcd（x＋5，x2－5x＋25）＝1或3，又x2－5x＋25≡0（mod 2），則方程（3）可分解為以下8種可能的情形：

下面分別討論這8種情形下方程（3）的解的情況．

情形Ⅰ 因?yàn)閤2－5x＋25＝x（x－5）＋25，而x（x－5）為偶數(shù)，故x（x－5）＋25為奇數(shù)，即x2－5x＋25為奇數(shù)．又p≡13（mod 24）為奇素?cái)?shù)，q≡19（mod 24）為奇素?cái)?shù)，則由x2－5x＋25＝pqb2得b2為奇數(shù)，則b2≡1（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得2a2≡0，2（mod 8），則x＝2a2－5≡3，5（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，3（mod 8）．又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）為奇素?cái)?shù)，則pqb2≡7（mod 8），因此有1，3≡x2－5x＋25＝pqb2≡7（mod 8），矛盾，故該情形方程（3）無整數(shù)解．

情形Ⅱ 仿照情形Ⅰ的證明可知b2為奇數(shù)，則b2≡1（mod 8）．又p≡13（mod 24）為奇素?cái)?shù)，則pb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得2a2≡0，2（mod 8），因?yàn)閝≡19（mod 24），則2qa2≡0，6（mod 8），則x＝2qa2－5≡1，3（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，7（mod 8）．因此有1，3≡x2－5x＋25＝pb2≡5（mod 8），矛盾，故該情形方程（3）無整數(shù)解．

情形Ⅲ 由x2－5x＋25＝qb2配方得：（2x－5）2＋75＝4qb2，將x＋5＝2pa2代入得：（4pa2－15）2＋75＝4qb2，兩邊同時(shí)取模p得：（4pa2－15）2＋75≡4qb2（mod p）．

情形Ⅳ 由x2－5x＋25＝b2得：x＝－16，－3，0，5，8，21，則2pqa2＝x＋5＝－11，2，5，10，13，26，顯然無解，故該情形不成立．

故該情形方程（3）無整數(shù)解．

情形Ⅴ 仿照情形Ⅰ的證明可知b2為奇數(shù)，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）為奇素?cái)?shù)，則3pqb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：6a2≡0，6（mod 8），則x＝6a2－5≡1，3（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，7（mod 8），則有1，7≡x2－5x＋25＝3pqb2≡5（mod 8），矛盾，故該情形方程（3）無整數(shù)解．

情形Ⅵ 仿照情形Ⅰ的證明可知b2為奇數(shù)，又p≡13（mod 24）為奇素?cái)?shù)，則3pb2≡7（mod 8）．

因?yàn)閝≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：6qa2≡0，2（mod 8），則x＝6qa2－5≡3，5（mod 8），故有x2－5x＋25≡1，3（mod 8），則有1，3≡x2－5x＋2525＝3pb2≡7（mod 8），矛盾，故該情形方程（3）無整數(shù)解．

，故方程（12pa2－15）2＋75≡12qb2（mod p）無整數(shù)解，因此該情形方程（3）無整數(shù)解．

綜上有，當(dāng)x≡0（mod 5）時(shí)方程（3）在題設(shè)條件下無整數(shù)解．

綜上所述，不定方程（3）在題設(shè)條件下至多有2組正整數(shù)解．

［1］萬飛，杜先存.關(guān)于Diophantine方程x3－1＝3py2［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，36（2）：14－15.

［2］萬飛，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3±8＝Dy2的整數(shù)解［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，35（5）：27－29.

［3］普粉麗.關(guān)于不定方程x3＋8＝py2的整數(shù)解［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，36（2）：16－17.

［4］萬飛.關(guān)于不定方程x3＋43＝Py2［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，36（5）：3－4.

［5］李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±125＝Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1996（3）：15－16.

［6］李復(fù)中.關(guān)于一類丟番圖方程x3±（5k）3＝Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998（2）：16－19.

［7］普粉麗，杜先存.關(guān)于不定方程x3±53＝3Dy2［J］.海南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（4）：292－294.

［8］杜先存，劉玉鳳，管訓(xùn)貴.關(guān)于丟番圖方程x3±53＝3py2［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，26（1）：85－87.

［9］萬飛，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3±53＝3py2的整數(shù)解［J］.湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，35（3）：5－6.

［10］廖軍.關(guān)于丟番圖方程x3－53＝Dy2的整數(shù)解研究［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，39（6）：907－909.

［11］廖軍.關(guān)于不定方程x3＋53＝Dy2的整數(shù)解［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（3）：275－277.

［12］管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程x3±1＝2pqry2的整數(shù)解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47（2）：49－52.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

On Integral Solution of the Diophantine Equation x3＋53＝2pqy2

PU Fenli，ZNANG Rumei，YANG Jiying
（School of Statistics and Mathematics，Puer University，Puer 665000，China）

Let p≡13（mod 24），q≡19（mod 24），p，q be odd primes.By using the nature of congruent and Legendre symbol，one sufficient condition is obtained that the equation in title has no integral solu?tions.

Diophantine equation；odd prime；integral solution；congruent；Legendre symbol

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0264－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.007

2015－08－26.

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（2014Y462）；紅河學(xué)院校級(jí)課題（XJ15Y22）.

普粉麗（1980－），女，碩士，副教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論的研究.