朱保成

（湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000）

平面上的廣義Bonnesen型不等式

朱保成

（湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施 445000）

研究了平面上的廣義Bonnesen型不等式.獲得了平面上Aleksandrov－fenchel不等式的加強(qiáng)形式，這些加強(qiáng)形式是經(jīng)典Bonnesen型不等式的推廣.更一步地，還得到了平面上Aleksandrov－fenchel不等式的上界結(jié)果，這些不等式都很好地刻畫了凸集的相對(duì)均質(zhì)積分的性質(zhì).

均質(zhì)積分；Steiner公式；Bonnesen型不等式；Aleksandrov－fenchel不等式

設(shè)κn表示?n中所有緊致凸集所構(gòu)成的集合，表示?n中所有凸體（具有非空內(nèi)點(diǎn)的緊致凸集）的集合．設(shè)集合K??n，它的體積（即n維Lebesgue測(cè)度）記為V（K）．令ωn表示n維單位球B的體積．凸集K和E的Minkowski和定義為K＋E＝｛x＋y：x∈K，y∈E｝，凸集K和實(shí)數(shù)t的Minkowski數(shù)乘定義為tK＝｛tx：x∈K｝．

設(shè)K1，K2，…，Km是?n中緊致凸集，K1，K2，…，λm≥0，則λ1K1＋λ2K2＋ ＋λmKm的體積是關(guān)于 λ1，λ2，…，λm的n階齊次多項(xiàng)式，即：

其中系數(shù)V（Ki1，Ki2，…，Kin）是非負(fù)的且關(guān)于指標(biāo)對(duì)稱，稱之為Ki1，Ki2，…，Kin的混合體積［1－3］．混合體積具有非常重要的單調(diào)性，即：令兩凸集K，L∈κn滿足K?L，而K2，K3，…，Kn∈κn是任意的凸集，則有：

混合體積的另外一個(gè)重要性質(zhì)是它的Minkowski線性性，即：?K，L，K2，…，Kn∈Kn和A，p≥0，則有：

著名的Minkowski Steiner公式（或相對(duì)Steiner公式）事實(shí)上是外平行體K＋sE的體積關(guān)于s的n階多項(xiàng)式，即：

其中系數(shù)Wi（K；E）稱為K關(guān)于E的相對(duì)均質(zhì)積分，它們是混合體積的特殊形式．特別地，W0（K；E）＝V（K）和Wn（K；E）＝V（E）．當(dāng)E＝B時(shí)，式（3）右邊的多項(xiàng)式就成了經(jīng)典的Steiner多項(xiàng)式［4］，此時(shí)Wi（K；B）簡記為Wi（K）并稱為K的經(jīng)典的i－階均質(zhì)積分［1－3］．在這種情況下，nW1（K）是K的表面積S（K）且W0（K）＝V（K），Wn（K）＝ωn．

K關(guān)于E的相對(duì)內(nèi)半徑r（K；E）和相對(duì)外半徑R（K；E）分別定義如下：

當(dāng)E＝B時(shí)，r（K；B）＝r（K）且R（K；B）＝R（K），分別是K的經(jīng)典的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑［1，5］．

在平面上內(nèi)半徑，外半徑及均質(zhì)積分由著名的Bonnesen型不等式相互聯(lián)系在一起：設(shè)K∈κ2且∈，則有：

該式的證明是由Blaschke給出的［6］，而Bonnesen本人證明了當(dāng)E＝B的情形［7］．這個(gè)不等式加強(qiáng)了Aleksan?drov－fenchel不等式，即式（4）加強(qiáng)了如下不等式的2維情形：設(shè)K∈κ2且∈，則有：

當(dāng)K與E位勢(shì)，即K＝λE＋x（λ≥0，x∈?n）時(shí)，等號(hào)成立．

事實(shí)上，不等式（5）就是著名的Aleksandrov－fenchel不等式的特殊形式.這些不等式都給出了相對(duì)均質(zhì)積分的很好的性質(zhì)，關(guān)于相對(duì)均質(zhì)積分的研究可參看文獻(xiàn)［8－12］，而這些不等式又是經(jīng)典的Bonnesen型不等式的推廣［7，13－20］.

將利用凸體的體積刻畫平面情形的Aleksandrov－fenchel不等式的加強(qiáng)形式.為此，還需要下面的非常重要的命題．

命題1［6］設(shè)K∈κ2且∈κ20，則有：

此時(shí)，式（7）和式（8）的左邊＝0＝右邊，故當(dāng)E＝B且K是一個(gè)圓盤時(shí)，不等式（7）和式（8）等號(hào)成立．將式（7）和式（8）兩邊同時(shí)相加，并平方可得：

因?yàn)閃0（K；E）＝V（K），故不等式（7）得證．

將式（7）的兩邊同時(shí)乘以R（K；E），式（8）兩邊同時(shí)乘以r（K；E），再相加可得：

當(dāng)K與E位勢(shì)時(shí)，式（10）和式（11）等號(hào)成立．

另一方面，因?yàn)椋簉（K；E）E?K?R（K；E）E，結(jié)合混合體積的單調(diào)性（式（1））和線性性（式（2））可得：

如同定理1的證明過程中等號(hào)成立條件的論述一樣可知，當(dāng)E＝B且K是一個(gè)圓盤時(shí)，式（12）和式（13）等號(hào)成立．綜合式（10）～（13）即可證得引理．

定理2 在?2中，設(shè)E是一個(gè)固定凸體及K是任意凸體，則有：

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責(zé)任編輯：時(shí) 凌

The General Bonnesen－type Inequalities on Plane

ZHU Baocheng
（Department of Mathematics，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

This paper studies the general Bonnesen type inequalities on plane.We get the stronger Alek?sandrov－fenchel inequalities on plane，which are extensions of the classical Bonnesen type inequalities. Moreover，we also give the upper bounds for the Aleksandrov－fenchel inequalities on plane.

quermassintegral；Steiner formula；Bonnesen－type inequality；Aleksandrov－fenchel inequality

01841

A

1008－8423（2015）03－0241－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.001

2015－07－16.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11501185）；恩施州科學(xué)技術(shù)局項(xiàng)目（恩州科業(yè)［2014］21號(hào)）；湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目（MY2014B001）.

朱保成（1980－），男，博士，講師，主要從事積分幾何與凸幾何分析的研究.